Chapter随机变量函数及其分布

1、12一、离散随机变量函数的分布一、离散随机变量函数的分布设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为由由对对应应关关系系，其其分分布布列列为为XYg X() 的的函函数数也也是是随随机机变变量量，nnYg xg xg xPP xP xP x1212()()()()()()nnXxxxPP xP xP x1212()()()当当Y的取值有相等的情况时的取值有相等的情况时, ,把相应的概率相加即可把相应的概率相加即可3例例1 1 已知已知X的分布列如下：的分布列如下：XP10122.50.20.10.10.30.3 XXX21,2,. 求求的的分分布布列列X10122.5 21011.5 20245

2、 10146.25P0.20.10.10.30.3解：解：X1 X2 X24整理，得整理，得XP121011.50.20.10.10.30.3 XP2202450.20.10.10.30.3 XP20146.250.10.30.30.35二、连续随机变量函数的分布二、连续随机变量函数的分布1 1、公式法、公式法定定理理：XXpx( ),设设连连续续型型随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为( )yg x 严严格格单单调调，h y( ).且且其其反反函函数数有有连连续续导导数数Yg X() 则则的的密密度度函函数数为为： ( )( ) ,( )0,XYph yh yaybpy 其其他他 mi

3、n(), () ,max(), ()aggbgg 其其中中, ,g(x)严格单调严格单调6定理的证明定理的证明:( ) ( )( ) ,.YXpyph yh yayb g x( ) 假假设设( )0g x h y( ),( )0.h y agbg(),(),记记 yg x a b( )( , ) 则则在在内内取取值值. . ya 当当时时，YFy( ) P Yy 0. yb 当当时时，YFy( ) P Yy 1. ayb 当当时时，YF yP Yy( ) P Xh y( ) h yXpx dx( )( ) ( )( )YYpyFy ( ) ( ),0,Xph y h yayb 其其他他7XNY

4、X22.(1)(10,2 ),35例例求求的的密密度度函函数数；yg xx( )35. 解解：显显然然满满足足定定理理条条件件yxh y5( ),3 且且1( ).3h y x y. ( ) ( )( )YXpyph yh y ye2(/3 5/3 10)2 41132 2 yey2(35)2 361,.6 2 YN2(35,6 ).即即xX pxe2(10)2 41( )2 2 8XNYX22. (2)(0,2 ), 例例求求的的密密度度函函数数. .( ) ( )( )YXpyph yh y 解解：xh yy( ) ，( )1h y ye2()2 4112 2 yey22 41,.2 2

5、YN2(0,2 ).即即xX pxe22 41( )2 2 9补充说明补充说明: :.X若若 服服从从正正态态分分布布, ,则则其其线线性性函函数数也也服服从从正正态态分分布布即即有有：XN2( ,), YaXb YN ab a22(,). ab1, 特特别别地地，取取YN(0,1).即即得得到到一一般般的的正正态态分分布布的的标标准准化化公公式式：XN2( ,) XYN(0,1). 102 2、分布函数法、分布函数法 g(x)为任意形式为任意形式Yg X() ayb.如如：YFy( ) P Yy() P g Xy( () X利利用用 的的分分布布( )YFyYyYFypy( )( )对对 求

6、求导导11例例3 3 设设X服从区间服从区间(0,1)(0,1)上的均匀分布上的均匀分布, ,求求Y=X2的分布的分布YX2 解解：的的可可能能取取值值范范围围是是：y01.y01当当时时，YPyP Yy( )() P Xy2() PXy(0) ydx01 y YFy( ) YYdFfydy( ) y1.2 Xfxx( )1,(01) 1,012( )0 ,Yyyfy 即即得得：其其他他12例例4 4 设设 X 的密度函数为的密度函数为: :Xxxpx 22,0;( )0 , 其其他他 . .sin( ).YYXPy 求求的的密密度度函函数数YXysin01. 解解：的的可可能能取取值值范范围

7、围是是yy,01,对对 Yy 事事件件可可以以表表示示为为 如如图图 Yxx120/2 yXarcsin Yy Xy0arcsin 13y01当当时时，YFyP Yy( )()yXpx dxarcsin0( ) Xypx dxarcsin( ) y对对 求求导导Ypy( ) yy222arcsin1 yy222(arcsin )1 yxdxarcsin202 yxdx2arcsin2 y22.1 PXy(sin) YyXyyX0arcsinarcsin 例例4 4 设设 X 的密度函数为的密度函数为: :Xxxpx 22,0;( )0 , 其其他他 . .sin( ).YYXPy 求求的的密密

8、度度函函数数例例5 5 假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分布布N(11,1),(11,1),内径小于内径小于1010或大于或大于1212为不合格品。销售每为不合格品。销售每件合格品获利，而销售不合格品件合格品获利，而销售不合格品则亏损，已知销售利润则亏损，已知销售利润Y与销售与销售零件的内径零件的内径X的关系：的关系： 求求Y的分布列。的分布列。XYXX1,10;20,1012;5,12. 分析：分析：Y的可能取值有那些？的可能取值有那些？如何求离散随机变量的分布？如何求离散随机变量的分布？ 计算概率计算概率. .利用等价事件，考虑利用等价事件

9、，考虑X与与Y的关系。的关系。P Y(1) P X(10), P Y(20)PX(1012), P Y(5) P X(12) 1,5, 20.15P Y(1) P X(10), XN(11, 1)XN11(0,1)1 0.16 XP111011()11 ( 1) 1(1) 0.68 P YPX(20)(1012) 10 111112 11()111XP (1)( 1) 2(1)1 0.16 P YP X(5)(12) XP111211()11 1(1) 从而得到从而得到Y的分布列为的分布列为P Y(5)0.16. YP51200.160.160.68P Y(1)0.16, P Y(20)0.6

10、8, 例例5 5 假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分布布N(11,1),(11,1),内径小于内径小于1010或大于或大于1212为不合格品。销售每为不合格品。销售每件合格品获利，而销售不合格品件合格品获利，而销售不合格品则亏损，已知销售利润则亏损，已知销售利润Y与销售与销售零件的内径零件的内径X的关系：的关系： 求求Y的分布律。的分布律。1,1020,10125,12XYXX 1718一、二维离散随机变量函数的分布一、二维离散随机变量函数的分布如果如果( (X, ,Y) )是二维随机变量，且分布函数已知，是二维随机变量，且分布函数已知， Z=

11、 =g( (X, ,Y) )是关于是关于X和和Y的二元函数，则的二元函数，则Z是一个一维是一个一维随机变量，当然也存在着分布问题，而且与随机变量，当然也存在着分布问题，而且与( (X, ,Y) )的分布有着必然的联系。的分布有着必然的联系。X Y(, )例例1 1. . 设设的的联联合合分分布布列列为为21011/121/121/41/21/61/12031/601/6 XYXY(1) 求求: :的的分分布布列列； X Y(2) max,的的分分布布列列. .X Y(,)解解：的的联联合合分分布布列列也也可可以以表表示示为为：X YP11(,) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0) (

12、 , 2) ( , 1) (3, 2) (3,0)221/121/121/41/61/121/61/6 与与一一维维离离散散随随机机变变量量函函数数分分布布类类似似，X Y(, )把把换换成成 XYX Ymax, 和和， 概概率率不不变变，.再再整整理理可可得得X YP11(,) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0) ( , 2) ( , 1) (3, 2) (3,0)221/121/121/41/61/121/61/6 XYP3132113221/121/121/41/61/121/61/6 XY(1) 的的分分布布列列: :X YP11(,) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1

13、,0) ( , 2) ( , 1) (3, 2) (3,0)221/121/121/41/61/121/61/6 X YP11max,11033221/12 1/121/4 1/61/121/6 1/6 X Y(2) max,的的分分布布列列. . X YP1max,10321/61/41/41/3 22X Y2.(, )例例设设的的联联合合分分布布列列为为11215/202/206/2023/203/201/20 XY X Ymin,.求求的的分分布布列列解：解： X Ymin,的的可可能能取取值值有有1, 1,2. X Ymin,P112 16/203/201/2023二、连续随机变量函数

14、的分布二、连续随机变量函数的分布1 1、和的分布、和的分布TH :X Yp x y(,)( , ),设设ZXY 则则的的密密度度函函数数为为Zpzp x zx dx( )( ,) ( )(, ).Zpzp zy y dy 或或X Y,特特别别地地，若若相相互互独独立立，则则ZXYpzpx pzx dx( )( )() ( )()( )ZXYpzpzy py dy 或或连续场合下的卷积公式连续场合下的卷积公式24例例3 3 设设XU(0,1),YExp(1),ZX+Y的密度函数的密度函数。解：解：X和和Y的的密度函数分别是密度函数分别是Xxpx1, 01;( )0, . 其其他他yYeypy,0

15、;( )0, . 其其他他ZXY 的的可可能能取取值值范范围围是是：z0. X Y(,)的的联联合合取取值值范范围围是是：xy01,0. x01y25ZXYpzpx pzx dx( )( )() 解解法法一一：利利用用公公式式x01yxy01,0. zxy yzxX Z(,)的的联联合合取取值值范范围围：xzx01,0. x01z Zpz ( ) z0; 0,z01;zz xedx()01 ze1, z1. z xedx1()01 zee(1), xz 126ZXYpzpzy py dy( )()( ) 解解法法二二：利利用用公公式式xzyy 01,0 由由yzyz01.且且zyzZzyzzz

16、pzedyezedyeez010,0;( )11,01;1(1),1; yzyz yz1 10272 2、分布函数法、分布函数法(, )( , ),(, ),( ).ZX Yf x yZg X YZfz 设设求求 的的密密度度函函数数Z(1).确确定定 的的可可能能取取值值范范围围ZZFz(2)( ).在在 的的可可能能取取值值范范围围内内计计算算分分布布函函数数ZFzP ZzP g X Yz( )()( (, ). ZFzZ(3)( ),对对求求导导即即得得 的的密密度度函函数数ZZdFzfzdz( )( ). (4),.整整理理 补补充充完完整整注注: :分布函数法是普遍适用的一种重要方法

17、分布函数法是普遍适用的一种重要方法. .28例例3 3 设设XU(0,1), YExp(1), ZX+Y的密度函数。的密度函数。XYp x yPx py( , )( )( ) 解解：yexy,01,0;0 ,. 其其他他ZFzP Zz( )() P XYz() yxy zedxdy x01yZXY 的的可可能能取取值值范范围围是是：z0. xyz 29x01yx01yxyzz(01) xyz z (1)Zzpz0( )0; 时时，z01 时时，ZFz ( ) zz xyedy dx00 zze1 , ,zZpze( )1; z1 时时，ZFz ( ) z xyedy dx100 zzee11,

18、 zZpzee( )(1). zz30 xxyxX Yf x y3 ,01,0;4.(,)( , )0,. 例例设设其其他他ZXY. 求求的的密密度度函函数数ZXY 解解：的的可可能能取取值值范范围围是是：z01.z01 当当时时，ZFzP Zz( )() P XYz()zxdxxdy003 xzx zdxxdy13 zz33122Zzzfz23(1),01;( )20,. 其其他他y0 x1xyz zyx 31 分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性，分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性，对任意的对任意的Z= =g( (X, ,Y) )都适用，且不需要都适用，且不需要X, ,Y相互独立

19、的相互独立的条件。而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布条件。而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布时，必须注意定理或公式应满足的条件。时，必须注意定理或公式应满足的条件。 因此，该方法是最重要的一种方法，必须熟练掌因此，该方法是最重要的一种方法，必须熟练掌握。同时，也是证明其他方法的依据。握。同时，也是证明其他方法的依据。 补充说明：补充说明：32xyX Yf x ye221()215.(, )( , ),2 例例设设ZXY22 求求的的密密度度函函数数. .Z解解： 的的可可能能取取值值范范围围是是：z0. ZzFzP Zz0( )() 当当时时，PXYz22()X Y(, ).利利用用的的联联合合密密度度函函数数计计算算这这个个概概率率 Dx yxyz22( , ).积积分分区区域域ZDFzf x y dxdy( )( , ) xyDedxdy221()21.2 33xyZDFzedxdy221()21( )2 Dx yxyz22( , )利用极坐标计算