Ch正态总体均值的假设检验

1、概率论与数理统计概率论与数理统计单个正态总体单个正态总体 均值的检验均值的检验两个正态总体均值差的检验两个正态总体均值差的检验小结小结第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验 1. 已知，关于已知，关于 的检验（的检验（Z检验）检验） 在上一小节中已讨论过正态总体在上一小节中已讨论过正态总体 , 当当 已知时关于已知时关于 的检验问题的检验问题.在这些检验在这些检验问题中，我们都是利用在问题中，我们都是利用在 为真时服从为真时服从 分布的统计量分布的统计量 来确定拒绝域。这种检验法来确定拒绝域。这种检验法常称为常称为 Z检验法检验法。0Xn(0,1)N0H2( ,)N 202

2、2(,)N 一、单个总体 均值 的检验),(2 N)( ,. 12检检验验的的检检验验关关于于为为已已知知Z ),( 2 N体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总: ,02的检验问题的检验问题关于关于为已知时为已知时当当 . : , : )3( ; : , : )2( ; : , : )1(010001000100 HHHHHH假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验 一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验00 (0,1) , /. HNXZnZ讨论中都是利用为真时服从分布的统计量来确定拒绝域的这种检验法称为检验法 例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切

3、割每段金属切割每段金属棒的平均长度为棒的平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一今从一批产品中随机的抽取批产品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10 假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没且标准差没有变化有变化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因因为为 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验

4、验假假设设 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得0.05 21.96,z00.025 0.5161.96, /xzn而 . , 0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 拒绝区域为拒绝区域为00.05 2=1.96, /xzn)( ,. 22检检验验的的检检验验关关于于为为未未知知t . , , ),(22 显著性水平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX . : , : 0100的的拒拒绝绝域域求求检检验验问问题题 HH , , 21的的样样本本为为来来自自总总体体设设XXXXn , 2未知

5、未知因为因为 . / 0来确定拒绝域来确定拒绝域不能利用不能利用nX , 22的的无无偏偏估估计计是是因因为为 S, 来来取取代代故故用用S . / 0来作为检验统计量来作为检验统计量即采用即采用nSXt ,/ 00Hnsxt过过分分大大时时就就拒拒绝绝当当观观察察值值 ./ 0knsxt 拒拒绝绝域域的的形形式式为为),1(/ ,00 ntnSXH 为为真真时时当当00PH H拒绝为真 , /00 knSXP根据根据第六章第六章2定理三定理三知知, , )1( 2/ ntk 得得 . )1(/ 2/0 ntnsxt 拒拒绝绝域域为为22( ,), , .N 类似可以给出正态总体当未知时关于

6、的单边检验的拒绝域 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服服从正态分布从正态分布, 均为未知均为未知. 现现测得测得16只元件的只元件的寿命如下寿命如下:170485260149250168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大

7、于225(小时小时)?2, 例例2解解 ,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t 6685. 0/0 nsxt .225 , 0小小时时大大于于认认为为元元件件的的平平均均寿寿命命不不故故接接受受 H二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN. . ,),(,),( , 22212121注意两总体的方差相等注意两总体的方差相等且设两样本独立且设两样本独立样本样本的的为来自正态总体为来自正态总体的样本的样本为来自正态总体为来自正态

8、总体设设 NYYYNXXXnn 利用利用t检验法可以检验检验法可以检验具有相同方差具有相同方差的两正的两正态总体态总体均值差均值差的假设的假设. , , , 2212221均均为为未未知知方方差差是是样样本本分分别别是是总总体体的的样样本本均均值值又又设设 SSYX .)( : , : 211210的拒绝域的拒绝域为已知常数为已知常数求检验问题求检验问题 HH . 取显著性水平为取显著性水平为 : 统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量引入引入 t,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt根据根据

9、第六章第六章2定理四定理四知知,其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为,11)(21knnsyxw , 00HHP拒拒绝绝为为真真 knnSYXPw2111)(21).2( 212/ nntk 得得故拒绝域为故拒绝域为 2111)(nnsyxtw ).2(212/ nnt 关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表8.1, 当两个正态总体的方差均为已知当两个正态总体的方差均为已知(不一定相不一定相等等)时时,我们可用我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值检验法来检验两正态总体均值差的假设问题差的假设问题, 见表见表8.1 . 0 的的情情况况常常用用 例例3 在平炉进

10、行一项试验以确定改变操作方在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的法的 建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，其得率分别为炉，其得率分别为 标准方法标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法新方法 79.1 81.0

11、77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.10.0521(,)N 22(,)N212, 设这两个样本相互独立，且分别来自正态总设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体体 和和 , 均未均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？知。问建议的新操作方法能否提高得率？（取（取 ）解解 0. : 0, : 211210 HH需需要要检检验验假假设设分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差方差:,101 n,23.76 x,325. 321 s,102 n,43.79 y,225. 222 s,775. 221010)110

12、()110( 22212 sssw且且,7341. 1)18( 05. 0 t查查表表可可知知101101 wsyxt因为因为,295. 4 , 0H所以拒绝所以拒绝即认为建议的新操作方法较原来的方法为优即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.).2(21 nntt ,7341. 1)18(05. 0 t查表查表8.1知其拒绝域为知其拒绝域为三、小结三、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:; . 1检验检验的检验的检验单个总体均值单个总体均值Z ; . 221检检验验的的检检验验两两个个总总体体均均值值差差t 正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 ) ( 显显著著性性水水平平为为 4)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz32 17),(21222122212221未知)(000成对数据DDD