(公开课)3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、两角和与差的正弦、余弦、正切公式正切公式一、复习引入一、复习引入sinsincoscoscos)(sinsin(coscos(cos(cos)sinsin(coscos(cos(cos)22(coscos )(si nsi n)2cos()2ababab+-=2sinsincoscos2cos22)()()(一、复习引入一、复习引入两角差的余弦公式两角差的余弦公式C（-）coscoscossinsin （）-cos()C （）能能不不能能由由公公式式推推出出的的值值吗吗？二、基础知识讲解二、基础知识讲解cos()cos() 由由于于cos()coscossi

2、nsinC （）所所以以，对对于于任任意意角角 ，有有简简记记为为coscos()sinsin() coscossinsin 于是，对于任意角于是，对于任意角、都有都有coscoscossinsin（）CCSS符号相反cos75二、基础知识讲解二、基础知识讲解-sin,sinCC （）（） 探探究究：上上面面我我们们得得到到了了两两角角和和与与差差的的余余弦弦公公式式，我我们们知知道道，用用诱诱导导公公式式五五（或或六六）可可以以实实现现正正弦弦、余余弦弦的的互互化化。你你能能根根据据，及及诱诱导导公公式式五五（或或六六），推推导导出出用用任任意意角角 ， 的的正正弦弦、余余弦弦值值表表示示（

3、） （）的的公公式式吗吗？2()sin 诱诱导导公公式式五五：c co os s二、基础知识讲解二、基础知识讲解sin()cos()2sin()cos()2cos()2cos()cossin()sin22sincoscossincos()2cos()cossin()sin22sincoscossin():两两角角和和 差差 的的正正弦弦公公式式二、基础知识讲解二、基础知识讲解()()S sin()sin coscos sin ()()S sin() sin coscos sin 123:( );( ),;( ):sincoscossin . 公公式式的的特特点点公公式式对对 、 取取任任意意值

4、值都都成成立立公公式式中中右右边边有有两两项项 中中间间符符号号与与左左边边两两角角间间的的符符号号相相同同右右边边三三角角函函数数的的排排列列的的顺顺序序是是、正余余正符号相同sin15sin75二、基础知识讲解二、基础知识讲解()tan() tan()CS（），探究：你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角 ， 的正切表示的、公式吗？cossintan:提示tan().首先推导sin()tan()cos()sincoscossincoscossinsin(这里有什么要求这里有什么要求?)sin coscos sincos coscos coscos cossin si

5、ncos coscos cos(又有什么要求又有什么要求?)tantan1tantan2()kkZ 22()kkkZ 二、基础知识讲解二、基础知识讲解tantantan()1tantan:?问 如何解决两角差的正切问题tantan()tan()tan()1tantan() tantan1tantantan():两角差的正切公式12134( ),;( ),(),().( ),(),.( )tantan,tantan,. 公公式式中中、 、的的取取值值要要使使正正切切值值有有意意义义公公式式中中右右边边是是分分式式 分分子子是是 与与 的的正正切切和和 差差 分分母母是是 与与、 的的正正切切积积

6、的的差差 和和公公式式中中都都是是正正切切运运算算 分分子子的的运运算算与与左左边边的的和和 差差 相相同同 分分母母相相反反两两角角和和的的正正切切公公式式中中有有式式子子 因因此此常常又又与与一一元元二二次次方方程程联联系系在在一一起起:两角和的正切公式4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3):公公式式的的特特点点():T 代号():T 代号二、基础知识讲解二、基础知识讲解tantantan()1tantan:?问 如何解决两角差的正切问题tantan()tan()tan()1tantan() tantan1tantantan():两角差的正切公式:

7、两角和的正切公式():T 代号():T 代号二、基础知识讲解二、基础知识讲解注意： 1 1 必须在定义域范围内使用上述公式。必须在定义域范围内使用上述公式。 即：即：tantan ，tantan ，tan(tan( ) )只要有一个不存只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。如导公式来解。如: :已知已知tan tan =2, =2,求求 不不能用能用 tan()2()T 2 2 注意公式的结构，尤其是符号。注意公式的结构，尤其是符号。4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3)二、基础知识讲

8、解二、基础知识讲解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系C(-)C(+)- 代代 S(-)2S(+)2- 代代 - 代代 T(+)CS相除T(-)CS相除三、例题分析三、例题分析利用和（差）角公式，求下列各式的值：(1)sin15 (2)cos75 (3)sin75 (4)tan15课本P131练习1正用公式正用公式6262sin15,cos15,tan1523446262sin75,cos75,tan752344 记忆三、例题分析三、例题分析335444sin,sin(),cos(),tan(). 例例 ：已已知知是是第第四四象象限限角角，求求的

9、的值值,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1 sin1 (),5 sin3tancos4 所 以)sincoscossin444于是有sin(24237 2();252510 正用公式正用公式三、例题分析三、例题分析335444sin,sin(),cos(),tan(). 例例 ：已已知知是是第第四四象象限限角角，求求的的值值)coscossinsin444cos(24237 2();252510 tantantan14tan()41tan1tantan4314731()4正用公式正用公式三、例题分析三、例题分析335444sin,sin(),cos(),tan(). 例例

10、 ：已已知知是是第第四四象象限限角角，求求的的值值7 2)410cos(7 2)410sin(4cos4sin证明利用诱导公式利用和(差)角公式P131练习2,3,4正用公式正用公式 =( =()2=2=（）- - （-）=- =- （-）2 =2 =（）+ + （-）=（）- - +=( -)+( -)222 变通公式变通公式二教P74例1三、例题分析三、例题分析000000000041 sin72 cos42cos72 sin42 ;2 cos20 cos70sin20 sin70 ;1tan15(3)1tan15例 ：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（）（ ）44143 02co s

11、co ssinsin ()sin; 。解解 ： （ 1 1 ) ) 由由 公公 式式 得得 ： s s i i n n 7 7 2 22 27 7 2 22 27 7 2 22 22207020702070900() coscossinsincos()cos 。逆用公式逆用公式三、例题分析三、例题分析000000000041 sin72 cos42cos72 sin42 ;2 cos20 cos70sin20 sin70 ;1tan15(3)1tan15例 ：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（）（ ）115451531545154515603tantantan( )tantantantan

12、()tan 。1 1- -1 1- -0000cos15sin15cos15sin15变式：P131练习5逆用公式逆用公式三、例题分析三、例题分析P132练习6(1)(2)sincosxbx(3)asincosxbxa222222sincosbabxxababa令令2222cossinabbaba22sin coscos sinxabx22sinabx22cosabx逆用公式逆用公式三、例题分析三、例题分析P131练习6(1)(2)sincosxbx(3)a xcosbxsina)xsin(ba 22.sinbab,cosbaa 2222其中其中:统一函数名P131练习6(3)(4),7逆用公

13、式逆用公式思考：根据公式思考：根据公式 ，tantantantan可变形为什可变形为什么？么？ Ttantan=tan(+)(1-1- tantan)求值：求值：tan17tan28+tan17tan28逆用公式逆用公式t ta an n+ +t ta an n= =t ta an n( (+ +) )( (1 1- -t ta an nt ta an n) )t ta an n- -t ta an n= =t ta an n( (- -) )( (1 1+ +t ta an nt ta an n) )tantantantan(1tan(1tantantan)=)=tan()tan()tant

14、antantan=1tan()tantantantan=1tan()二教P75借题发挥3例5ABC中,求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：,tantan1tantanBABA tanA+tanB=tanA、tanB、tanC都有意义，ABC中没有直角， tan(A+B)=tan(180C)tanAtanBtan(180C)= tanC+tanAtanBtanC，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)tanAtanBtan(A+B)tanAtanB1.二教P75例7规律总结給給值求角值求角( (二教二教P75P75例例6) 6)

15、来确定角数值，再探讨角度范围要求角度，先求三角函510sin,cos,510例：已知 ， 均为锐角，且求两角和与差三角公式的变通两角和与差三角公式的变通 1 1：若：若coscosa，sinsinb，则则cos()等于什么？等于什么？2 2：若：若sincosa，cossinb，则则sin()等于什么？等于什么？222cos()2abab+-+=222si n()2abab+-+=三、例题分析三、例题分析2235tan.sin(),sin(),.tan 例例5 5已已知知求求的的值值tansincos:,tancossinsincos,cossin. 分分析析从从已已知知条条件件中中 应应用用方方程程的的思思想想解解出出代代入入即即可可三、例题分析三、例题分析200.()tan,tan,tan().axbxcaac 例例6 6已已知知一一元元二二次次方方程程且且的的两两个个根根为为求求的的值值tantan:tan()1tantan分析tantan.tantanbaca 而代入即可cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossin四、小结四、小结差角公式、和角公式：差角公式、和角公式：变形：变形：t ta an n+