自动控制原理-A1-07-2013

1、1根轨迹及其用根轨迹及其用第第7 7次次电子信箱：电子信箱：手手 机：机q根轨迹的根是闭环特征根根轨迹的根是闭环特征根q轨迹是闭环特征根随着参数变化而变轨迹是闭环特征根随着参数变化而变化的轨迹！化的轨迹！) 1()()(ssKsHsGKssK) s (R) s (C) s (20Kss) s (D2Ks4121212, 14/1K2/121 ss01s1s2K K0 0时时4/10 K两个负实根两个负实根K K值增加值增加相对靠近移动相对靠近移动离开负实轴，分别离开负实轴，分别s=-1/2 s=-1/2 直线向上和向下移动。直线向上和向下移动。 K4/1一对共轭复根一

2、对共轭复根从根轨迹看系统的动态性能从根轨迹看系统的动态性能q是否有是否有考察系统是否考察系统是否q主导极点的主导极点的观察观察，主导极点，主导极点离虚轴距离考察离虚轴距离考察从根轨迹看系统的稳定性从根轨迹看系统的稳定性根轨迹是否进入根轨迹是否进入s平面的右半平面？平面的右半平面？从根轨迹看系统的稳态性能从根轨迹看系统的稳态性能系统的型号？系统的型号？0) s (H) s (G1) s (D1) s (H) s (G根轨迹方程根轨迹方程mm个零点个零点n n个极点个极点（n n mm）1)ps ()zs (K) s (H) s (Gn1iim1ii1pszsKn1iim1ii幅值条件幅值条件1

3、1）幅值条件不但与开环零、极点）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；有关，还与开环根轨迹增益有关；2 2）必要条件）必要条件n1iim1ii) 1k2()ps ()zs (幅角条件（幅角条件（k k=0,1,2, =0,1,2, ） 1 1）幅角条件只与开环零、极点）幅角条件只与开环零、极点有关有关2 2）充要条件）充要条件根轨迹方程就是闭环特征方程！根轨迹方程就是闭环特征方程！凡是满足幅角条件的点凡是满足幅角条件的点一定是根轨迹上的点！一定是根轨迹上的点！n1iim1ii) 1k2 ()ps ()zs (幅角条件（幅角条件（k k=0,1,2, =0,1,2, ） p1p

4、21()s p 2()s p S1S211ssK幅值条件幅值条件2sK K2 2幅值条幅值条件成立件成立！不是根轨迹上的一点不是根轨迹上的一点27212, 1js根轨迹上的一点根轨迹上的一点 S S平面上的某一点平面上的某一点s s是根轨迹上的点，则幅值是根轨迹上的点，则幅值条件条件成成立；立；S S平面上的任一点平面上的任一点s s满足幅值条件，该点却满足幅值条件，该点却不一定不一定是是根轨迹上的点。根轨迹上的点。幅值条件是必要条件幅值条件是必要条件)js)(js)(T/1s ( s)/1s (K) 1sT2sT)(1sT( s) 1s(K) s (H) s (Gdndn122221221T

5、T/KK2nT/122dT112T/1pdn4, 3jp/11z)()ps ()zs ()s (H)s (G432141i1i11ii11开环极点（开环极点（“”）p p1 1=0=0开环零点（开环零点（“”）! !幅角均以反时针方向进行。幅角均以反时针方向进行。如果幅角条件成立，则如果幅角条件成立，则s s1 1即根轨迹上的一个点。即根轨迹上的一个点。 1 1开开环零点至环零点至s s1 1的幅角的幅角 1 1、 2 2、 3 3、 4 4：开环：开环极点至极点至s s1 1的幅角。的幅角。由幅值条件由幅值条件114131211zspspspssKq1iif1iiG222221222221G

6、)ps ()zs (K) 1sTsT)(1sT(s) 1ss)(1s(K) s (G前向通道根轨迹增益前向通道根轨迹增益221221TTKKGGh1jjl1jjH)ps ()zs (K) s (H反馈通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益前向通道增益h1jjl1jjq1iif1ii)ps ()zs ()ps ()zs (K) s (H) s (GHGKKK izjzipjp开环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益前向通道零点前向通道零点反馈通道零点反馈通道零点前向通道极点前向通道极点反馈通道极点反馈通道极点f1il1jjiq1ih1jjif1ih1jjiG)zs ()zs (K)ps ()p

7、s ()ps ()zs (K) s (H) s (G1) s (G) s (mm个零点个零点(m=f + l )(m=f + l )n n个极点个极点(n= q + h) (n= q + h) mm个零点个零点(m=f + l )(m=f + l )n n个极点个极点(n= q + h)(n= q + h)filjjiqihjjifihjjiGzszsKpspspszsKs111111)()()()()()()(3 3）闭环系统根轨迹增益）闭环系统根轨迹增益= =开环系统前向通道的根轨迹增益。开环系统前向通道的根轨迹增益。1 1）闭环系统的零点）闭环系统的零点= =前向通道的零点前向通道的零点

8、+ +反馈通道的极点；反馈通道的极点；2 2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；增益均有关； ！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统单位反馈系统（1 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2 2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。）闭环系统的零点就是开环系统的零点。HGKKK 一、根轨迹的起点和终点一、根轨迹的起点和终点二、根轨迹分支数二、根轨

9、迹分支数三、根轨迹的连续性和对称性三、根轨迹的连续性和对称性四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹五、根轨迹的渐近线五、根轨迹的渐近线六、根轨迹的分离点六、根轨迹的分离点 七、根轨迹的起始角和终止角七、根轨迹的起始角和终止角八、根轨迹与虚轴的交点八、根轨迹与虚轴的交点九、闭环特征方程根之和与根之积九、闭环特征方程根之和与根之积根轨迹起始于开环极根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点点，终止于开环零点幅值条件幅值条件miiniizspsK110Ks s值必须趋近于值必须趋近于某个开环极点某个开环极点根轨迹起始于根轨迹起始于开环极点开环极点Ks s值必须趋近于值必须趋近于某个开环零点某个开环零点根轨迹

10、终止于根轨迹终止于开环零点开环零点n n阶系统，根轨迹有阶系统，根轨迹有n n个起始点，个起始点，系统根轨迹有系统根轨迹有n n个分支个分支2 2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点，）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点， 即即 n n mm。 mm条终止于开环零点（有限值零点条终止于开环零点（有限值零点) )；（n nmm）条根轨迹分支终止于（）条根轨迹分支终止于（n nmm）个无）个无限远零点。限远零点。1 1）系统特征方程的阶次为）系统特征方程的阶次为n n次次特征方程有特征方程有n n个根个根 K K变化变化( (0 0到到 ),),n n个根随着变化个根随着变化n n条根轨迹

11、。条根轨迹。几阶系统？几阶系统？几条根轨迹？几条根轨迹？从哪里出发？从哪里出发？终止于何处？终止于何处？根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下：各根分别是各根分别是K K的连续函数；的连续函数；特征方程的根为实根或共轭复数根。特征方程的根为实根或共轭复数根。仅需先画出仅需先画出S S平面上半平面上半部和实轴上的根轨迹，部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。下半部由镜象求得。如果实轴上某一区段的右边的实数开如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该环零点、极点个数之和为

12、奇数，则该区段实轴必是根轨迹。区段实轴必是根轨迹。51ii11ii11)ps ()zs ()s (H)s (G180) 12()()(11ksHsG开环零点：开环零点：z z1 1开环极点：开环极点：p p1 1、p p2 2、p p3 3、p p4 4、p p5 5每对共轭复数极点所提供每对共轭复数极点所提供的幅角之和为的幅角之和为360360；s s1 1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0 0。s s1 1右边所有位于实轴上的每一个极右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为点或零点所提供的幅角为180180； ？

13、已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。22)3s)(2s (s)6s)(4s)(1s (K) s (G-1-1，-2 -2 右侧实零、极点数右侧实零、极点数=3=3。-4-4，-6 -6 右侧实零、极点数右侧实零、极点数=7=7。654321oj平面s表示两重极点根轨迹根轨迹的渐近线的渐近线mnka180) 12(mnzpm1iin1iia沿着沿着渐近线渐近线趋于无限远处，趋于无限远处，渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的倾角（渐近线与实轴的倾角（k=k=0 0，1 1，2 2，） ：渐

14、近线与实轴交点的坐标值：渐近线与实轴交点的坐标值：1)()()()(111111nniinmmiimniimiispsszsKpszsKsHsG证明证明1111Kszsspsmmiimnniin长除法长除法111KszpsmnmiiniimnKK时，时，s s，取前两项，取前两项改写为模和相角的形式改写为模和相角的形式)12(111kjmnmiiniimneKszps两边开（两边开（n nmm）次方）次方mnkjmnmnmiiniieKszps)12(11111牛顿二项式定理展开，由于牛顿二项式定理展开，由于s s，忽略分母为，忽略分母为s s的二次幂和二次幂以上的二次幂和二次幂以上各项各项m

15、nkjmnimiinieKszpmns)12(11111aeKeKmnzpsmn1amn)1k2( jmn1n1iin1iimnka180) 12(mnzpm1iin1iia1 1）当）当k k值取不同值时，值取不同值时， a a 有（有（n nmm）个值，而）个值，而 a a不变；不变；mnka180) 12(2 2）根轨迹在）根轨迹在s s时的渐近线为时的渐近线为（n nmm）条与实轴交点为）条与实轴交点为 a a 、倾角、倾角 a a为的为的一组射线。一组射线。mnzpm1iin1iia说明说明已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。)

16、5s)(1s ( s)4s ( K) 1s2 . 0)(1s ( s) 1s25. 0(K) s (G渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角：三个开环极点：三个开环极点：0 0、-1-1、-5-5 一个开环零点：一个开环零点：-4-4n-m=3-1=2n-m=3-1=2渐近线与实轴交点：渐近线与实轴交点：113)4()5() 1()0(mnzpm1iin1iiamn180) 1k2(a270、900a根轨迹的渐近线例一根轨迹的渐近线例一已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。)2s2s)(4s ( s) 1s (K) s (G2四

17、个开环极点：四个开环极点：0 0、-1+j-1+j、-1-j-1-j、-4-4一个开环零点：一个开环零点：-1-1 n-m=4-1=3n-m=4-1=3渐近线与实轴交点：渐近线与实轴交点：3514) 1()4() j1() j1()0(mnzpm1iin1iia渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角：mn180) 1k2(a300、180、600a根轨迹的渐近线例二根轨迹的渐近线例二平面s4351j1j根轨迹根轨迹的分离点的分离点 分离点（或会合点）分离点（或会合点）：根轨迹在：根轨迹在S S平面某一点相遇后又立即分开。平面某一点相遇后又立即分开。分离点必然是为分离点必然是为D(s

18、)D(s)某一数值时的某一数值时的重根点重根点。njjbmiibpz11111 1、 b b坐标值由分式方程解出坐标值由分式方程解出0dsdK2 2、由、由 极值点求解极值点求解 b b 坐标值由坐标值由 解出解出 b b 4/1 KK2/121 ss必要条件：当解得多个必要条件：当解得多个s s值时，其中值时，其中kk值为正值为正实数时才有效。实数时才有效。0) s ( K0) K, s (D3 3、重根法求解、重根法求解 b b) s (B) s (AK) s (BK) s (A) K, s (D由由 解出解出 b b 0ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B b b

19、坐标值由分式方程解出坐标值由分式方程解出njjmiipszsKsHsG11)()()()(miinjjzsKpssD110)()()(根轨迹在根轨迹在S S平面上相遇并有重根，设重根为平面上相遇并有重根，设重根为s s1 1，根据代数中，根据代数中的重根条件，有的重根条件，有 miinjjzsKpssD111110)()()(0)()()(1111111miinjjzsKpsdsdsDdsdmiinjjzsKps1111)()(miinjjzsdsdKpsdsd111111)()(或或miimiinjjnjjzszsdsdpspsdsd1111111111)()()()(miinjjzsdsd

20、psdsd111111)(ln)(ln两式相除两式相除miinjjzsdsdpsdsd111111)ln()ln(或或njjmiipszs111111即得即得解出解出s s1 1，即为分离点，即为分离点 b b已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。规则规则1 1、2 2、3 3根轨迹有三条分支，分别起始于开环根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点极点0 0、2 2、3 3，终止于一个开环，终止于一个开环有限零点有限零点1 1和二个无限零点。和二个无限零点。根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。规则规则4 4实轴上实轴上0 0到到1 1和

21、和2 2到到3 3两个区域段为根轨迹两个区域段为根轨迹规则规则5 5根轨迹有两条渐近线（根轨迹有两条渐近线（n nmm2), 2), 令令k k=0=0 902180180) 12(mnka22) 1()3()2(0mnzpm1iin1iia规则规则6 6在实轴上有根轨迹分离点，且在区段在实轴上有根轨迹分离点，且在区段2 2到到3 3之间之间 31210111bbbb47. 2b902180b由由 极值点求解极值点求解 b b 假定假定s s点沿实轴自点沿实轴自p p2 2点移向点移向p p1 1点点, ,kk增益：从零开始逐渐增大，增益：从零开始逐渐增大， 到达到达 b b点时为最大，点时为

22、最大， 逐渐减小，逐渐减小， 到到p p1 1点时点时kk为零。为零。根轨迹分离点处所对应的根轨迹分离点处所对应的kk增增益具有极值益具有极值 0)()(11miiniizspsdsddsdK？！取在根轨迹上的解。？！取在根轨迹上的解。分离点（或会合点）分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角处的根轨迹的会合角（或分离角）（或分离角）l) 1k2(b会合（或分离）的会合（或分离）的根轨迹的条数根轨迹的条数分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角例例)204)(4()()(2ssssKsHsG规则规则1 1、2 2、3 3、4 4 根轨迹对称于实轴，根

23、轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起有四条根轨迹分支，分别起始于极点始于极点0 0，4 4和和2 2j j4 4，终，终止于无限远零点。止于无限远零点。 实轴上实轴上0 04 4区段为根轨迹。区段为根轨迹。 辐角条件辐角条件 p p3 3、p p4 4的连接线的连接线为根轨迹为根轨迹)ps ()ps (21)ps (4)ps (3n1iim1ii) 1k2()ps ()zs ()204)(4()()(2ssssKsHsG13545180) 12(，mnka根据规则根据规则5 5 根轨迹有四条渐近线根轨迹有四条渐近线24)2()2()4(0mnzpm1iin1iia0)204)(4(1)(

24、)(12ssssKsHsG)80368()204)(4(2342ssssssssK0)8072244(23sssdsdK根据规则根据规则6 6求根轨迹的分离点求根轨迹的分离点21b45. 223, 2jbp3p3、p4p4的连接线上的连接线上七、根轨迹的起始角和终止角七、根轨迹的起始角和终止角起始角起始角 p p : :从开环复数极点出发从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式根轨迹起始角的一般计算式(0(0360360 ) )nji1iijm1iijjp)pp()zp() 1k2(k

25、 k0 0，1 1， 终止角终止角 z z: :进入开环复数零点进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。的夹角。mji1iijn1iijjz)zz()pz() 1k2(根轨迹终止角一般计算式根轨迹终止角一般计算式(0(0360360 ) ) 根轨迹上，靠近起点根轨迹上，靠近起点p p1 1处取一点处取一点s s1 1相角方程相角方程) 12()()()()(31211111kpspspszss s1 1p p1 1)(11ps 起始角起始角 p p)pp()pp()zp() 1k2(3121111p)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()

26、2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG起始点起始点p p1 10 0、p p2 2、3 30.5+0.5+j j1.5 1.5 、 p p4 42.52.5终止点终止点z z1 11.51.5、z z2 2，3 3 2 2j j、实轴上实轴上0 01.51.5和和2.52.5两区段是根轨迹两区段是根轨迹37905 .10859195 .56) 1k2()pp()pp()pp()zp()zp()zp() 1k2(4232123222122p792p取取k k0 0793p281793603pp p3 3和和p p2 2为共轭复数，为共轭复数，根轨迹起始角对称。根轨迹起始

27、角对称。或或2p901175 .63121199153) 1k2()zz ()zz ()pz ()pz ()pz ()pz () 1k2(3212423222122z5 .1492z5 .1493z取取k k1 1z z2 2和和z z3 3为共轭复数为共轭复数，根轨迹，根轨迹终止角对称。终止角对称。根轨迹根轨迹与虚轴的交点与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。处于稳定边界。1 1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值KK， 由由KK值求出相应的值求出相应的 值值2 2）代数法

28、）代数法js 0)()(1jHjG0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG代入特征方程代入特征方程联立求解，联立求解，根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 值和相应的值和相应的临界临界KK值。值。系统的系统的开环传递函数开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交求根轨迹与虚轴的交点点 。)2)(1()()(sssKsHsG闭环特征方程闭环特征方程023)2)(1(23KsssKsss0123ssss3631kk02k系统稳定的临界系统稳定的临界KK值：值：K=6K=6阵列中阵列中s s2 2行元素构成辅助方程行元素构成辅助方程0632s2js例子：根轨迹例子：根轨迹与虚轴的交点与虚轴的交点 js

29、 代入系统闭环特征方程代入系统闭环特征方程0)2()3()(2)( 3)(3223jKKjjj032K02326K九、闭环特征方程根之和与根之积九、闭环特征方程根之和与根之积系统闭环特征多项式系统闭环特征多项式ninnnnnimiiniiasasasassszsKps11221111)()()(z zi i 开环零点开环零点s si i闭环极点闭环极点p pi i开环极点开环极点11asniinnniias) 1(1闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：的系数关系：niiniips111 1）(n-m)(n-m) 2 2时，根之和与根轨迹增

30、益时，根之和与根轨迹增益KK无关，是个常数，无关，是个常数， 且有且有2 2）根之和不变）根之和不变KK增大，一些根轨迹分支向左移动，则增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。)22)(3()2(3)()(2sssssKsHsG根轨迹增益根轨迹增益K=3KK=3K。根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点于开环极点0 0，3 3，1 1j j，终止于零点，终止于零点2 2和另和另外三个无限远零点。外三个无限远零点。实轴上区段实轴上区段0 02 2和和3 3为根轨迹。为根轨迹。根轨迹有三条渐近线（根轨迹有三条渐近线（n nmm3 3），与实轴的倾角为），与实轴的倾角为3180) 12(ka取取k k0 0、1 16060、6060、180180114)2()1130(jja渐近线与实轴交点坐标为渐近线与实轴交点坐标为系统特征方程系统特征方程02)6(85234KsKsss01234sssss234506) 6(51851