第八章第九节课时限时检测

1、(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1已知椭圆1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA，则直线PB的斜率kPB为()A.B.C D解析：设点P(x1，y1)(x1±2)，则kPA，kPB，kPA·kPB·，kPB×2.答案：D2如图，过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay2x By29xCy2x Dy23x解析：分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂

2、足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130°，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的方程为y23x.答案：D3(2010·烟台二模)已知抛物线y22px(p>0)与双曲线1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是()A(0，) B(，)C(，) D(，)解析：由抛物线与双曲线有相同的焦点可得c，再由AFx轴可得，在双曲线中|AF|，在抛

3、物线中|AF|p，故又有p2c2，即b44a2(a2b2)b44a2b24a40，解得22>3tan2(或22<0舍去)，故l的倾斜角所在的区间可能是(，)答案：D4(2010·东北三校)已知曲线C1的方程为x21(x0，y0)，圆C2的方程为(x3)2y21，斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与曲线C1相交于点B，|AB|，则直线AB的斜率为()A. B.C1 D.解析：设B(a，b)，则由题意可得解得则直线AB的方程为yk(x1)，故1，k，或k(舍去)答案：A5已知椭圆1，若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y4xm对称，则实数m的取

4、值范围是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)，kAB，x1x22x，y1y22y,3x4y12，3x4y12，两式相减得3(xx)4(yy)0，即y1y23(x1x2)，即y3x，与y4xm联立得xm，y3m，而M(x，y)在椭圆的内部，则<1，即<m<.答案：B6斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.解析：设直线l的方程为yxt，代入y21，消去y得x22txt210，由题意得(2t)25(t21)0，即t25.弦长|AB|4×.答案：C二、填

5、空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7(2010·龙岩模拟)已知曲线1与直线xy10相交于P、Q两点，且·0(O为原点)，则的值为_解析：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由题意得，则(ba)x22axaab0.所以x1x2，x1x2，y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x2，根据·0，得x1x2y1y20，即1(x1x2)2x1x20，因此12×0，化简得2，即2.答案：28已知以坐标原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A、B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：由题意知，抛物线的顶点为坐

6、标原点，焦点在x轴上，所以可设抛物线的方程为y2ax(a0)将直线方程和抛物线方程联立，得：x2ax0，解得x10，x2a，故AB中点的横坐标为x0(x1x2)a，由题意得a2，解得a4.所以该抛物线的方程为y24x.答案：y24x9当x>1时，直线yaxa恒在抛物线yx2的下方，则a的取值范围是_解析：由题可知，联立，整理可得x2axa0，当a24a0，解得a0或a4，此时直线与抛物线相切，因为直线横过定点(1,0)，结合图形可知当a(，4)，x>1时直线yaxa恒在抛物线yx2的下方答案：(，4)三、解答题(共3个小题，满分35分)10已知椭圆1(a>b>0)的一个

7、焦点在直线l：x1上，离心率e.设P、Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R(，0)(1)求椭圆的方程；(2)试证：对于所有满足条件的P、Q，恒有|RP|RQ|.解：(1)椭圆的一个焦点在直线l：x1上，所以c1.又因为离心率e，即，所以a2，从而b23，所以椭圆的方程为1.(2)证明：设T(1，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(，y0)，(x2x1，y2y1)，·(x2x1)y0(y2y1)又因为P、Q都在椭圆1上，所以1，1，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，因为点T是PQ的中点，所以x1x22，y1y22y0，于是(x1

8、x2)y0(y1y2)0，所以(x1x2)y0(y1y2)0，即·0，所以RTPQ，即RT是线段PQ的垂直平分线，所以恒有|RP|RQ|.11(2011·宜春三校联考)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4，l1，l2是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N.(1)求椭圆E的方程；(2)求l1的斜率k的取值范围；(3)求·的取值范围解：(1)设椭圆方程为1(a>b>0)，由得，椭圆方程为1(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为零l

9、1ykx2，l2yx2.由消去y并化简整理，得(34k2)x216kx40根据题意，(16k)216(34k2)>0，解得k2>.同理得()2>，k2<4，<k2<4，k(2，)(，2)(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)那么x1x2，x0y0kx02，M(，)，同理得N(，)，即N(，)···<k2<4，2k2<<即·的取值范围是，)12(2010·江南十校)如图，过圆x2y24与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC

10、、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R.(1)求动点R的轨迹E的方程；(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记1，2，求证：12为定值解：(1)设点H的坐标为(x0，y0)，则xy4.由题意可知y00，且以H为切点的圆的切线的斜率为：，故切线方程为：yy0(xx0)，展开得x0xy0yxy4.即以H为切点的圆的切线方程为：x0xy0y4，A(2,0)，B(2,0)，将x±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(2，)，D(2，)，则lAD：，及lBC：.将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：x24y24，即y21.(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(，0)()当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，不妨设M(2,0)，N(2,0)