直线的倾斜角和斜率

1、3.1直线的倾斜角和斜率Robin解析几何 在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。 这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。在平面直角坐标系里 点用坐标表示:yxo),(yxp思考？ 一条直线的位置由哪些条件确定呢？ 直线如何表示呢？两点确定一条直线。 yxo过一点A的直线可以作无数条直线那么这些直线有什么异同呢？问题1 一点能确定一条直线

2、的位置吗？相同点：都过点A不同点：倾斜程度不同A一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义： 当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角倾斜角（angle of inclination） yxola注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )练习： ayxoAyxoaBayxoCyxaoDA 2、直线倾斜角的范围： 当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：01800 axlyxo零度角 ayxo锐角 yxo直角 yxoa钝角 按倾斜角去分类，直线可分几类？ 3、直

3、线倾斜角的意义 体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。 倾斜角倾斜程度 2l3lx1lyo倾斜角相同能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线4、如何才能确定直线位置？yxola一点+倾斜角 确定一条直线 过一点且倾斜角为 能不能确定一条直线？ a（两者缺一不可） 能 问题：滑滑梯怎样更刺激？安全考虑，滑滑梯如何问题：滑滑梯怎样更刺激？安全考虑，滑滑梯如何设计更合理呢？设计更合理呢？滑滑梯滑滑梯的坡度的坡度缓冲缓冲1、直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。用小写字母 k 表示，即： aaktan例

4、如： 30a3330tank45a145tank60a360tank二、直线的的斜率思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ 如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即前进量升高量坡度 升高量前进量A B C D 设直线的倾斜程度为K ABBCACkABBDADktantan?90ka时当不存在即不存在kaa)(tan90 思考：当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是多少？xxyo课中小结确定一条直线的方法1.两个确定一条直线2.一个点和直线的倾斜程度（倾斜角，斜率）3、探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP212

5、112,yyxxQPP且如图，当为锐角时， 能不能构造能不能构造一个直角三一个直角三角形去求？角形去求？tankxyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角 xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图，当为钝角时， 2121,180yyxx且tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk01x2x1y2y钝角 思考？xyo(3),(12yxQ),(111yxP),(222yxPyox(4),(12yxQ),(111yxP),(222

6、yxP21pp1、当 的位置对调时， 值又如何呢？ k思考？2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0 4、直线的斜率公式：综上所述，我们得到经过两点),(111yxP)(21xx ),(222yxP的直线斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？不存在不存在k)(90tan,90答：不成

7、立，因为分母为0。 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？yxo. .ABC 直线AB的斜率04822ABk2184)8(022BCk14404)2(2CAk直线BC的斜率直线CA的斜率0ABk 直线CA的倾斜角为锐角直线BC的倾斜角为钝角。解： 0CAk直线AB的倾斜角为零度角。 0BCk例1例例2 2、在平面直角坐标系中，、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别画出经过原点且斜率分别为为1 1，-1-1，2 2和和-3-3的直线的直线 。4321,llll及Oxy3l1l2l4lA3A1A2A4例3已知三点A(a,），（，），（，a）在同一直线上，求a的值例4，已知过点 ，的直线的倾斜角为45o，求实数的值.) 3, 2(22mmA)2 ,3 (2mmmB三、小结： 1、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：aktan3、斜率k与倾斜角 之间的关系：0tan18090)(tan900tan90000tan