第七章2由差分方程求响应和卷积

1、Z代入边界条件迭代法时域经典法零输入与手算逐次代入：仅得数值解利用计算机：先求齐次解与特解=求系数（求解过程麻烦）：利用齐次解得零输入响应，利用卷积和求零状态响应：利用 变变换域法换法（简便有效）零状态求法( )(1)( )y nay nn( )(1)( )( )( )( 1)0,( )y nay nx nx nnyy n例题：差分方程为若已知求)()(nuanyn二、二、时域经典法时域经典法 差分方程的时域经典求解与微分方程的求解差分方程的时域经典求解与微分方程的求解过程完全一样：过程完全一样：方程的方程的完全解完全解齐次解齐次解特解特解齐次解齐次解：由齐次方程的：由齐次方程的特征根特征根的

2、形式确定的形式确定特解特解：由：由输入序列输入序列的形式确定的形式确定对右移序差分方程：对右移序差分方程：)()2() 1 ()0(Nyyyyzizizizi)()2() 1 ()0(Nyyyyzszszszs)()2() 1 ()0(Nyyyy00)(mmyzsNkMrrkrnxbknya00)()(N阶差分方程：阶差分方程：Nkkknya00)(0.110NNNaaa特征方程特征方程NN,.,21个个特特征征根根：0.110NNNaaa特征方程特征方程NN,.,21个个特特征征根根：112211212111( ).(K( )(.).nnnNNkknnnkkkNNy ncccy nc nc

3、nccc无无重重根根）若若为为 重重根根0)2(1 . 0) 1(7 . 0)( nynyny例：求解齐次差分方程nngccny)2 . 0()5 . 0()(2 . 0, 5 . 001 . 07 . 0212121)5(, 1) 3(, 0)2(, 1) 1 (0)4() 3(2)2(2) 1(2)(yyyynynynynyny例：求解差分方程特解由差分方程右边自由项函数的形式决定特解由差分方程右边自由项函数的形式决定)(10)(9) 1 (15)0()()2() 1(5)(6nynxyynxnynyny求若例：求解完全响应的分解：11( )( )Nnkkky nnDC hp强迫自由响应

4、y (响应 n)y)n(（）112( )( )NNnnzikkkkkzsky nnDCC zszi零状态响应 y (n)零输入响应 y (n)（ ）（齐次解加特解）（齐次解加特解）( 1), ()( 1),()(0),(1( )zikziziziziziCyyNyyyyNkyN （直接带入求解零输入响应）或迭代其中是由零输入条件下边界值求得， 由起始状态 初始条件；( 1),()0(0),(1)( )zskzszszszszsCyyNyyyNk 输入序列x(n)代入方程迭代是由零状态条件下边界值求得， 由零状态条件 初始条件。例题：已知系统的差分方程表达式为例题：已知系统的差分方程表达式为)(

5、05. 0) 1(9 . 0)(nunyny(1)若边界条件若边界条件y(-1)=0，求系统的完全响应，求系统的完全响应(2)若边界条件若边界条件y(-1)=1，求系统的完全响应，求系统的完全响应离散时间系统x(n)y(n)( )( )nh n：单位样值作为激励而产生的 系统零状态单应响应位样值响( )(0)( )( )hhh nnn 等效求解齐次方程求：单位样值作用起始条件解的闭式解( )0,0( )nh nnh nM因果系统的充要条件稳定系统的充要 条件： ：y(n)5y(n1)6y(n2)x(n)2(3)()2(6) 1(5)(nxnxnynyny先求解如下差分方程的单位函数响应先求解如

6、下差分方程的单位函数响应h h1 1(n)(n)()2(6) 1(5)(nxnynyny则所求单位函数响应为：则所求单位函数响应为：11( )( )3 (2)h nh nh n( )5 (1)6( )()(2)32y ny ny nx nx n )(te)(tr)(*)()(*)()(teththtetrzs)(nx)(ny?)(nyzsmmnmxnx)()()()()(nhnLTI)()(mnhmnLTI( )( )()()LTIx mxnmnmm h()()( )( )LTImmxnmmxmhmn( )( )()( )LTIzsmxx nynhmnmmmnxmxnxnx)()()()(21

7、21)(nx)(ny)(*)()(nhnxnyzs)(*)()(*)(1221nxnxnxnx)(*)()(*)()()(*)(3121321nxnxnxnxnxnxnx)(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)(321321321nxnxnxnxnxnxnxnxnx)()(*)(nxnnx举例：求解图示序列的自卷积。1023572511n)(nx1023572511m)(mx1023572511m)( mx 02n1m)(mnx2nl n-4时 y(n)=0l n=-4时1023572511m)(mx021m)4(mx60257251m)4()(mxmx1)4(yl n=3时102357

8、2511m)(mx031m( 3)xm 50257251m( ) ( 3)x m xm 12( 3)( ) ( 3)2myx m xm l n=2时1023572511m)(mx021m)2(mx40257251m)2()(mxmx02( 2)( ) ( 2)3myx m xm l n=1时1023572511m)(mx011m( 1)xm 312( 1)( ) ( 1)4myx m xm 0257251m( ) ( 1)x m xm l n=0时1023572511m)(mx021m)( mx 21023572511m)()(mxmx5)()()0(22mmxmxyl n=1时1023572

9、511m)(mx021m(1)xm21023572511m( ) (1)x m xm21(1)( ) (1)4myx m xm2l n=2时1023572511m)(mx021m)2(mx2102357511m)2()(mxmx20(2)( ) (2)3myx m xml n=3时1023572511m)(mx021m(3)xm31023572511m( ) (3)x m xm21(3)( ) (3)2myx m xm2l n=4时1023572511m)(mx021m)4(mx2102357511m)4()(mxmx22(4)( ) (4)1myx m xm2025751n)(ny5( )(

10、 ),01( )( )()( )( )* ( )nh na u nax nu nu nNy nx nh n例例：系系统统单单位位样样值值响响应应激激励励求求：响响应应(1)10110(1)0( )()( )0(2)01,01( )1(3)10N11( )1nnnn mmnNNn mmnx mh nmy nnNmnaay naanNmaay naa，与与无无交交迭迭从从 至至 交交迭迭， 从从 至至 交交迭迭 1423 ,152 ,y(n)=nnnnnnn1212已知x (n)=2x (n)=3求卷积x (n)*x (n)n12解：表示成序列 x(n)= 1 4 1x (n)= 1 5 （指针表

11、示 30处）20m)(1mx)0(1x) 1 (1x)2(1x)3(1x0nm)(2mnx2n)0(2x) 1 (2x)2(2x0m)2(2mx2)0(2x) 1 (2x)2(2x)0()2() 1 () 1 ()2()0()2(212121xxxxxxy)0()2() 1 () 1 ()2()0()2(212121xxxxxxy)0(2x)0(1x) 1 (1x)2(1x)3(1x)2(2x) 1 (2x)3(1x)2(2x)2(2x1(2)x)2(2x ) 1 (1x)0(1x)2(2x) 1 (2x )3(1x) 1 (2x)0(1x)0(2x)3(1x)0(2x) 1 (1x)0(2x

12、 )2(1x) 1 (1x) 1 (2x) 1 (2x)2(1x)0(2x )0(1x02)0(1x)2(2x) 1 (1x) 1 (2x)0(2x )2(1x解：利用“对位相乘求和”方法来求卷积12 按右端对齐 x(n)：2 1 4 1x (n)： 3 1 5 10 5 20 56 3 12 3 2 1 4 1 y(n)= 5 23 12 21 56410410页表页表7 71 1：因果序列因果序列的卷积和的卷积和解卷积解卷积已知已知y(n),h(n)确定确定x(n)；或者已知；或者已知y(n)、x(n)确定确定h(n)的过程。的过程。mmnhmxnhnxny)()()(*)()(nmmnh

13、mxny0)()()(nmmnhmxny0)()()(nmmhmnxny0)()()(10)()()0()()(nmmnhmxhnxny)0(/ )()()()(10hmnhmxnynxnm)0(/ )()()()(10 xmnxmhnynhnm同理：同理：)0(/ )()()()(10hmnhmxnynxnm(0)(0)/ (0)(1) (1)(0) (1)/ (0)(2) (2)(0) (2)(1) (1)/ (0)(3) (3)(0) (3)(1) (2)(2) (1)/ (0)xyhxyxhhxyxhxhhxyxhxhxhh)(ny?)(nh)(nx)0(/ )()()()(10 xm

14、nxmhnynhnm(0)(0)/ (0)(1) (1)(0) (1)/ (0)(2) (2)(0) (2)(1) (1)/ (0)(3) (3)(0) (3)(1) (2)(2) (1)/ (0)hyxhyhxxhyhxhxxhyhxhxhxx)(ny?)(nh)(nx)(nx1.离散时间信号离散时间信号-序列序列2.离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型3.常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应离散时间系统的单位样值（冲激）响应5.卷积卷积6.反卷积反卷积差分方程与微分方程：( ),(),y ttnTy nTT对连续若在各点取样值且 足够小1)(ynTy nTdTty td则)()()1 () 1()()()() 1()()()(nxRCTnyRCTnynxnyTnynyRCtxtydttdyRc例：讨论海诺塔（Tower of Hanoi），有n个直径不同，中心有孔的圆盘，穿在一个木桩上，如图由大到小，最大的在下面，现在要把它们近按原样搬到另一个木桩上，传递时：（1）每次在木桩之间传递1个（2）传递时不