灰色关联分析

1、设设)(,)2(,)1(1111dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX nkxxkxdkx, 2 , 1, 0)1(,)1()()(1 为为则称则称1D,初值化算子初值化算子的的为为称称XXD1.初值象初值象设设)(,)2(,)1(2222dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX ,)()(2Xkxdkx 为为则称则称1D,均值化算子均值化算子的的为为称称XXD1.均值象均值象 nkkxnX1)(1nk, 2 , 1 设设)(,)2(,)1(3333dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX ,)(min)(max)(min)()(3kxkxkxkxdkxk

2、kk 定义定义3为为则称则称3D,区间值化算子区间值化算子的的为为称称XXD3.区间值象区间值象nk, 2 , 1 命题命题1 、D1初值化算子初值化算子2D均值化算子均值化算子3D算子算子皆可使序列无量纲化皆可使序列无量纲化.和区间值化和区间值化设设)(,)2(,)1(4444dnxdxdxXD ),(,),2(),1(nxxxX ),(1)(4kxdkx 定义定义4为为则称则称4D,逆化算子逆化算子的的为为称称XXD4.逆化象逆化象nk, 2 , 1 1 , 0)( kx设设)(,)2(,)1(5555dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX ,)(1)(5kxdkx 定义定义

3、5为为则称则称5D,倒数化算子倒数化算子的的为为称称XXD5.倒数化象倒数化象nk, 2 , 1 , 0)( kx命题命题2,0呈负相关关系呈负相关关系和系统主行为和系统主行为若系统因素若系统因素XXi4DXXii的逆化算子作用象的逆化算子作用象则则和倒数化算子作用和倒数化算子作用.0具具有有正正相相关关关关系系与与X5DXi象象命题命题1,0为增长序列为增长序列设系统特征行为序列设系统特征行为序列X,为相关因素行为序列为相关因素行为序列iX则有则有:,)1(为增长序列时为增长序列时当当iX,0为正相关关系为正相关关系与与XXi,)2(为衰减序列时为衰减序列时当当iX.0为负相关关系为负相关关

4、系与与XXi转化为正相关关系转化为正相关关系. 负相关关系可通过负相关关系可通过逆化算子逆化算子或或倒数化算子倒数化算子),(,),2(),1(nxxxX 设设则称则称, 3 , 2),1()()1(nkkxkx ;, 1上的斜率上的斜率kk 在在为为X, 2 , 1,)()()2(nkkskskxsx ;,上的斜率上的斜率在在skX为为1)1()()3( nxnx .的平均斜率的平均斜率为为XminxxxXiiii, 2 , 1),(,),2(),1( )(,),2(),1(nxxxX ),(),(0kxkxi 给定实数给定实数若若 nkiikxkxnXX100)(),(1),( 满足满足:

5、(1) 规范性规范性, 1),(00 iXX iiXXXX 001),( (2) 整体性整体性mjijiXXXXijji, 1 , 0,),(),( (3) 偶对称性偶对称性jiijjiXXXXXX,),(),(只有两个序列只有两个序列 (4) 接近性接近性,)()(0越小越小kxkxi 越大越大)(),(0kxkxi ),(,),2(),1(nxxxXiiii 设设mi, 1 , 0 ),1 , 0( 对于对于令令)()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin0000kxkxkxkxkxkxkxkxikiiikiiki )(),(0kxkxi )(, )(1),(100

6、kxkxnXXinki ,),(0满满足足灰灰关关联联四四公公理理则则iXX .称称为为分分辨辨系系数数 ,),(00的的灰灰色色关关联联度度与与称称为为iiXXXX :),(0的的计计算算步步骤骤iXX 第一步第一步: 求各序列的初值象求各序列的初值象(均值象均值象):)(,),2(),1()1(nxxxxXXiiiiii mi, 1 , 0 第二步第二步: 求差序列求差序列. 记记, )()()(0kxkxkii )(,),2(),1(niiii mi, 1 第三步第三步:求两极最大差和两极最小差求两极最大差和两极最小差.记记),(maxmaxkMiki )(minminkmiki 第四步

7、第四步: 求关联系数求关联系数,)()(0MkMmkii )1 , 0( mi, 1 nk, 2 , 1 第五步第五步:计算关联度计算关联度., )(1100 nkiikn mi, 1 例例1商商业业各各部部门门的的行行为为工工业业、农农业业、运运输输业业、)4(),3(),2(),1(11111xxxxX :数据如下数据如下工工业业：)9 .41, 3 .42, 4 .43, 8 .45( )4(),3(),2(),1(22222xxxxX 农农业业：)9 .44, 9 .43, 6 .41, 1 .39( )4(),3(),2(),1(33333xxxxX 运运输输业业：)5 . 3 ,

8、5 . 3 , 3 . 3 , 4 . 3( )4(),3(),2(),1(11111xxxxX 商商业业：)9 .41, 3 .42, 4 .43, 8 .45( 1先以先以 为系统特征序列为系统特征序列求关联度求关联度:1X第一步第一步：求初值像：求初值像),4(),3(),2(),1()1(/iiiiiiixxxxxXX 由由, 4 , 3 , 2 , 1 i)9138. 0 ,9235. 0 ,9475. 0 , 1(1 X)1483. 1 ,1227. 1 ,063. 1 , 1(2 X)0294. 1 ,0294. 1 ,97. 0 , 1(3 X)7 . 0 ,805. 0 ,0

9、148. 1 , 1(4 X第二步第二步：求差序列：求差序列, 4 , 3 , 2; )()()(1 ikxkxkii 由由得得:)2335. 0 ,1992. 0 ,1155. 0 , 0(2 )1146. 0 ,1059. 0 ,0225. 0 , 0(3 )2148. 0 ,1185. 0 ,0674. 0 , 0(4 得得第三步第三步：求两极差：求两极差)(maxmaxkMiki 2335. 0 )(minminkmiki 0 第四步第四步：计算关联系数：计算关联系数有有取取, 5 . 0 ,11675. 0)(11675. 0)(1 kkii 从而从而3333. 0)4(,3695.

10、 0)3(,503. 0)2(, 1)1(12121212 504. 0)4(,5244. 0)3(,8384. 0)2(, 1)1(13131313 352. 0)4(,4963. 0)3(,634. 0)2(, 1)1(14141414 4 , 3 , 2 i4 , 3 , 2 , 1 k第五步第五步：求灰色关联度：求灰色关联度551. 0)(41411212 kk 717. 0)(41411313 kk 621. 0)(41411414 kk 2对于对于 为系统特征序列，为系统特征序列，2X由由, 4 , 3 , 1, )()()(2 ikxkxkii 得得)2335. 0 ,1992.

11、 0 ,1155. 0 , 0(1 )1189. 0 ,0933. 0 ,093. 0 , 0(3 )4483. 0 ,3177. 0 ,0481. 0 , 0(4 于是于是)(maxmaxkMiki 4483. 0 )(minminkmiki 0 有有取取, 5 . 0 22415. 0)(22415. 0)(2 kkii 从而从而3333. 0)4(,3695. 0)3(,503. 0)2(, 1)1(21212121 504. 0)4(,5244. 0)3(,8384. 0)2(, 1)1(23232323 352. 0)4(,4963. 0)3(,634. 0)2(, 1)1(2424

12、2424 于是于是670. 0)(41412121 kk 766. 0)(41412323 kk 643. 0)(41412424 kk 关联公理中的关联公理中的整体性整体性。联系联系1中结果中结果 ，551. 012 显然显然 这正是灰色这正是灰色2112 3广广义义灰灰色色关关联联度度一、灰色绝对关联度一、灰色绝对关联度命题命题4.1 设行为序列设行为序列)(,),2(),1(nxxxXiiii 记折线记折线)1()(,),1()2(),1()1(iiiiiixnxxxxx 令令为为),1(iixX niiidtxXs1)1(则则1当当 为增长序列时，为增长序列时，iX; 0 is2当当

13、为衰减序列时，为衰减序列时，iX; 0 is3当当 为震荡序列时，为震荡序列时，iX.符号不定符号不定is定义定义4.1设行为序列设行为序列),(,),2(),1(nxxxXiiii D为序列算子，且为序列算子，且)(,)2(,)1(dnxdxdxDXiiii 其中，其中，nkxkxdkxiii, 2 , 1),1()()( ，则称，则称D为始点零化算子，为始点零化算子，iiXDX为为的始点零化像，的始点零化像，记为记为)(,),2(),1(0000nxxxXiiii 命题命题4.2设行为序列设行为序列)(,),2(),1(nxxxXiiii )(,),2(),1(nxxxXjjjj 的始点零

14、化像分别为的始点零化像分别为)(,),2(),1(0000nxxxXiiii )(,),2(),1(0000nxxxXjjjj 令令 njijidtXXss100)(则则; 0 jiss3若若,00相交相交与与jiXX.符号不定符号不定jiss 1当当 恒在恒在 上方，上方，0iX0jX; 0 jiss2当当 恒在恒在 下方，下方，0iX0jX(4.1)定义定义4.2称序列称序列 各个观测数据间时距之和为各个观测数据间时距之和为iXiX的长度的长度.定义定义4.3长长度度相相同同，与与设设序序列列iXX01 . 4,0如命题如命题iss所示，所示，则称则称iiiissssss 000011 为

15、为 与与 的灰色绝对关联度，的灰色绝对关联度，iX0X简称简称绝对关联度绝对关联度。注：注： 对于长度不同的序列，对于长度不同的序列， 可采取删去较长序列可采取删去较长序列过剩数据过剩数据或用灰色系统或用灰色系统GM(1,1)进行预测，进行预测，补齐补齐较短序列不足数据等措施，较短序列不足数据等措施，化成长度相同的序列。化成长度相同的序列。但这样一般会影响灰色绝对关联度的值。但这样一般会影响灰色绝对关联度的值。定理定理4.1灰色绝对关联度灰色绝对关联度iiiissssss 000011 满足灰色关联公理中规范性、满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，偶对对称性与接近性，但不满足整体性。

16、但不满足整体性。命题命题4.3的的长长度度相相同同，与与设设序序列列iXX0令令bXXaXXii ,00为常数。为常数。其中其中ba,，的灰色绝对关联度为的灰色绝对关联度为与与若若iiXX00 ii00 则则定义定义4.4若序列若序列 各对相邻观测数据间时距相同，各对相邻观测数据间时距相同，X则称则称 为为等时距序列。等时距序列。X引理引理4.1设设 为等时距序列，为等时距序列，X，1 l若其时距若其时距则时则时间轴变换间轴变换TTt:ltt/可将可将 化为化为1-时距序列。时距序列。X引理引理4.2的的长长度度相相同同，与与设设序序列列iXX0且皆为且皆为1-时距时距序列，而序列，而)(,)

17、,2(),1(00000000nxxxX )(,),2(),1(0000nxxxXiiii 的的始始点点零零化化像像，与与分分别别为为序序列列iXX0则则)(21)(002000nxkxsnk )(21)(0120nxkxsinkii iss 0)()(21)()(00012000nxnxkxkxinki 定理定理4.2的的长长度度相相同同，与与设设序序列列iXX0当它们时距不当它们时距不同或至少有一个非等时距序列时，同或至少有一个非等时距序列时， 若通过均值生成若通过均值生成填补相应空穴使之化成时距相同的等时距序列，填补相应空穴使之化成时距相同的等时距序列， 则则此时灰色绝对关联度此时灰色绝

18、对关联度 不变。不变。i0 注：注：对于序列中两个行为数据之间有多个空穴的情形，对于序列中两个行为数据之间有多个空穴的情形，可采取分层逐次进行可采取分层逐次进行均值生成均值生成依次填补空穴，依次填补空穴，亦可亦可通过作图，通过作图， 将空穴左邻第一个数据与右邻第一个数据将空穴左邻第一个数据与右邻第一个数据连成直线，连成直线，按照时序在直线上依次填补空穴。按照时序在直线上依次填补空穴。同理同理可证，可证，这样不会改变灰色绝对关联度的值。这样不会改变灰色绝对关联度的值。例例1设序列设序列)7(),5(),4(),3(),2(),1(0000000 xxxxxxX )98,70,46()7(),3(

19、),1(1111 xxxX)16,14,14,15, 9 ,10( .01 试求其绝对关联度试求其绝对关联度解：解：时时距距相相同同的的序序列列。化化为为与与将将01XX1令令)7()3(21)5(11xxx1 84)9870(21 )3()1(21)2(11xxx1 58)7046(21 )5()3(21)4(11xxx1 77)8470(21 于是有于是有)7(),5(),4(),3(),2(),1(1111111xxxxxxX )98,84,77,70,58,46( 2化化为为等等时时距距序序列列。将将10,XX令令15)7()5(21)6(000 xxx91)7()5(21)6(111

20、 xxx于是有于是有)7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(00000000 xxxxxxxX )16,15,14,14,15, 9 ,10( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(11111111xxxxxxxX )98,91,84,77,70,58,46( 已皆为已皆为1-时距序列。时距序列。3求始点零化像，得求始点零化像，得)7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(0000000000000000 xxxxxxxX )6 , 5 , 4 , 4 , 5 , 1, 0( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(010101010101

21、0101xxxxxxxX )52,45,38,31,24,12, 0( 40110,ssss 和和求求)7(21)(0062000 xkxsk 20 )7(21)(0162011xkxsk 176 )7()7(21)()(0001620001xxkxkxk 01ss 156 5计算灰色绝对关联度计算灰色绝对关联度1010100111ssssss 353197 5581. 0 定理定理4.3 灰色绝对关联度灰色绝对关联度 具有下列性质：具有下列性质：i0 1; 100 i 2，XXii的的几几何何形形状状有有关关和和只只与与00 而与其空间而与其空间相对位置无关。相对位置无关。或者说，或者说，平

22、移不改变绝对关联度的值；平移不改变绝对关联度的值；3 任何两个序列都不是绝对无关的，任何两个序列都不是绝对无关的，不为零；不为零；即即 恒恒i0 4几几何何上上相相似似程程度度越越大大，与与0XXi越越大大；i0 5平平行行，与与当当0XXi摆摆动动，围围绕绕或或000XXi在在且且0iX，之之下下部部分分的的面面积积相相等等时时在在000XXi；10 i 之上部分的面积与之上部分的面积与00X定理定理4.3 灰色绝对关联度灰色绝对关联度 具有下列性质：具有下列性质：i0 67长长度度变变化化，iXX08, 100 9中中任任一一观观测测数数据据变变化化时时或或当当0XXi亦亦变变；i0 将随

23、之变化将随之变化i0 ; 1 ii .00ii 定义定义4.5长长度度相相同同，与与设设序序列列iXX0且初值皆不且初值皆不等于零等于零,00的的初初值值像像分分别别为为iiXXXX iX 与与则称则称0X的的灰灰色色绝绝对对关关联联度度为为,0的的灰灰色色相相对对关关联联度度与与iXX简简称为称为相对关联度相对关联度,.0ir记记为为命题命题4.4等等于于为为长长度度相相同同且且初初值值皆皆不不与与设设iXX0,零零的的序序列列,0,0为常数为常数其中其中若若 ccXXi. 10 ir则则命题命题4.5等等于于为为长长度度相相同同且且初初值值皆皆不不与与设设iXX0,零零的的序序列列则其相对

24、关联度则其相对关联度ir0i0 与绝对关联度与绝对关联度没没有必然联系有必然联系,较大时，较大时，当当i0 可能很小；可能很小；ir0很小时，很小时，i0 .0也可能很大也可能很大ir例例2设序列设序列)7(),5(),4(),3(),2(),1(0000000 xxxxxxX )98,70,46()7(),3(),1(1111 xxxX)16,14,14,15, 9 ,10( 试求二者的相对关联度。试求二者的相对关联度。解：解：1 由由例例1知，知，的的等等时时距距序序列列为为与与10XX)7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(00000000 xxxxxxxX )16,15,

25、14,14,15, 9 ,10( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(11111111xxxxxxxX )98,91,84,77,70,58,46( 2初初值值像像与与求求10XX)6 . 1 , 5 . 1 , 4 . 1 , 4 . 1 , 5 . 1 , 9 . 0 , 1(0 X)13. 2 ,98. 1 ,83. 1 ,67. 1 ,52. 1 ,26. 1 , 1(1 X3的始点零化像的始点零化像求求10,XX )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(0000000000000000 xxxxxxxX )6 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 ,

26、 4 . 0 , 5 . 0 , 1 . 0, 0( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(0101010101010101xxxxxxxX )13. 1 ,98. 0 ,83. 0 ,67. 0 ,52. 0 ,26. 0 , 0( 40110,ssss 和和求求)7(21)(0062000 xkxsk 6 . 0215 . 04 . 04 . 05 . 0)1 . 0( 2 )7()7(21)()(0001620001xxkxkxk 01ss 925. 1 )7(21)(0162011xkxsk 828. 3 5计算灰色相对关联度计算灰色相对关联度1010100111ssssssr 75. 8825. 6 78. 0 命题命题4.6等等于于为为长长度度相相同同且且初初值值皆皆不不与与设设iXX0,零零的的序序列列为为非非零零常常数数，ba,的相对关联度的相对关联度与与ibXaX0,0ir 为为.00iirr 则则或者说，或者说，数乘不改变相对关联度数乘不改变相对关联度。定理定理4.51; 100 ir2灰色相对关联度灰色相对关联度 具有下列性质：具有下列性质：ir0率率的相对于始点的变化速的相对于始点的变化速和和只与只与iiXXr00有关，有关，