D(,,)多元函数微分学在几何上的简单应用图文

1、目录 上页 下页 返回 结束 1二、曲线的弧长二、曲线的弧长第六节一、一、空间曲线空间曲线的切线与法平面的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学在几何上的简单应用 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 2一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 1、空间曲线、空间曲线 的参数方程（单参数）的参数方程（单参数）: 可以看作是从区间可以看作是从区间MrxzyO的一个连续映射的一个连续映射3R,r 的像的像, 的轨迹就是曲线的轨迹就是曲线 。 : x= x t , y= y t , z= z t , t.( )( )( ) = (t), t ,rr r

2、(t)的像就是向径的像就是向径 OM 当当 t 在区间在区间上变化时向径上变化时向径的终点的终点M ,OM ( )( )( )( )t =x t , y t , z tt.r 曲线也可以写为曲线也可以写为(直线的直线的)目录 上页 下页 返回 结束 3zyxO例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, 称为称为螺距螺距 .M目录 上页 下页 返回 结束 4设空间曲线设空间曲线 的方程为的方程为2. 简单曲线和有向曲线简单曲线和有向曲线上连续，上连续， 为为连续曲线连续曲线；(

3、 )tt .(rr 如果向量值函数如果向量值函数 r(t) 在区间在区间,如果如果 为连续曲线，且任取为连续曲线，且任取1 212,( , ),t ttt 都有都有 ，12( )( )ttrr即在即在),(上上 r(t) 为单射，为单射， 则称则称 为为简单曲线简单曲线。如果如果 为简单曲线为简单曲线, 且且( )( )rr则称则称 为为简单简单闭曲线闭曲线。则称则称目录 上页 下页 返回 结束 5对于选定了参数对于选定了参数 t 的曲线的曲线 ，我们规定我们规定 t 增大增大的的的方向为曲线的的方向为曲线的正方向正方向。对于规定了方向的曲线，。对于规定了方向的曲线，我们称为我们称为有向曲线有

4、向曲线。一般讨论的曲线均为。一般讨论的曲线均为有向曲线有向曲线。3.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面设设空间曲线空间曲线 的方程为的方程为( )( )( )( )t =x t , y t , z tt.r ( )( )( )( )t =x t , y t , z tt.0,r 其中其中向量值函数向量值函数 r(t)在在,上可导上可导目录 上页 下页 返回 结束 6切线方程。切线方程。我们来讨论我们来讨论 在在点点处的处的 ()()()x t , y t, z t0000P与平面曲线的切线一样，与平面曲线的切线一样， 空间曲线上点空间曲线上点0P处的切线也定义为曲线处的切线也定义为曲

5、线当点当点P沿曲线趋向于点沿曲线趋向于点0P时的极限位置时的极限位置0P T0P处的割线处的割线0P P上过点上过点目录 上页 下页 返回 结束 7要求此切线方程。关键在于求出一个要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量方向向量。ttt00( ),()rr 。从而向量。从而向量为此在为此在0P的临近取点的临近取点(+)(+)(+)x tt , y tt , z tt000P与与P 对应的向径分别为对应的向径分别为0Pppttt000()( )rrr 为割线为割线0P P的一个方向向量的一个方向向量.易知易知pptt0r 也是割线也是割线0P P的一个方向向量。的一个方向向量。 对上式取极限有对

6、上式取极限有目录 上页 下页 返回 结束 8从而割线变为曲线从而割线变为曲线 的的切线，切线，由此可见向径由此可见向径 r (t) 的导数的导数limlimttppttt0000( )rr 相应的方向向量变为相应的方向向量变为切线的切线的方向向量方向向量t0( ).r 表示曲线表示曲线 在相应点在相应点t0( )r 的的切线的方向向量。切线的方向向量。t00( ( )P r处处切线的向量方程切线的向量方程为为曲线曲线 在相应点在相应点切向量切向量目录 上页 下页 返回 结束 9其中其中为曲线上动点为曲线上动点 M(x,y,z) 的向径，的向径，t 为参数。为参数。tt00( )( )rtr 时

7、，曲线时，曲线 上都存在切线。上都存在切线。()= x,y,z 000000( )( )( ):.( )( )( )xx tyy tzz tx ty tz t 0P消去参数消去参数 处的处的切线的对称式方程切线的对称式方程为为 t0( )0r 若切线方向连续变化，此时称曲线为若切线方向连续变化，此时称曲线为光滑曲线光滑曲线。如果如果 不是不是光滑曲线，但将光滑曲线，但将 分成若干段后，如果每分成若干段后，如果每目录 上页 下页 返回 结束 10段都是光滑曲线，则称为段都是光滑曲线，则称为分段光分段光滑曲线滑曲线。 过点过点 且垂直于且垂直于 处切线处切线 的直线的直线, , 称为称为0P0P曲

8、线曲线 的的法线法线， 这些法线显然位于一个平面内，这些法线显然位于一个平面内，此平面为此平面为在点在点 处的处的法平面法平面0P000000()()()()()()0.x txxy tyyz tzz 法平面的法向量为法平面的法向量为 , ,的方程的方程为（为（点法式点法式）)(0tr 所以所以法平面法平面目录 上页 下页 返回 结束 11例例 求曲线求曲线32,tztytx在点在点 M (1, 1, 1) 处的切线处的切线 方程与法平面方程方程与法平面方程. ,3,2, 12tztyx解：解：, 10t点点(1, 1, 1) 对应于对应于故点故点M 处的处的切向量切向量为为)3, 2, 1

9、(T因此所求因此所求切线方程切线方程为（为（对称式对称式） 111zyx123法平面方程法平面方程为（为（点法式点法式）) 1( x) 1(2y0) 1( 3z即即632zyx)()(:xzxy思考思考: 光滑曲线光滑曲线的切向量有何特点的切向量有何特点?), 1(T答答:)()(:xzxyxx切向量切向量目录 上页 下页 返回 结束 12时，当0),(),(zyGFJ曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线 隐函数方程组，隐函数方程组， 0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxyxydd曲线上一点曲线上一点),(000zyxM, 且有且有xzdd,),(),(1xzGFJ

10、 ,),(),(1yxGFJ 可表示为可表示为处的处的切向量切向量为为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT目录 上页 下页 返回 结束 13 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程（法平面方程（切线的切向量，即为法平面的法向量切线的切向量，即为法平面的法向量）有有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz或或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(

11、xyz目录 上页 下页 返回 结束 140)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF(自己验证自己验证)几何意义几何意义目录 上页 下页 返回 结束 15例例5. 求曲线求曲线0,6222zyxzyx在点在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程切线方程121zyx 解法解法1 令令(公式法公式法）, 6222zyxGzyxF则则即即0202yzx切向量切向量

12、;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T目录 上页 下页 返回 结束 1606222zyxzyx法平面方程法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导, 得得（直接法直接法）1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点曲线在点 M(1,2, 1) 处有处有:切向量切向量解得解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1目录 上页 下页 返回 结束 17切线方程切线方程121zyx即即020

13、2yzx法平面方程法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即即0 zx点点 M (1,2, 1) 处的处的切向量切向量011)1,0, 1(T目录 上页 下页 返回 结束 186.2 6.2 曲线的弧长曲线的弧长弧长弧长折线的极限折线的极限对于空间对于空间简单曲线简单曲线 ： ( )( ), ( ), ( ) rr tx ty tz tt 的两个端点的两个端点A,BA,B 分别对应分别对应 , ,( ) , () rr 在在 上介于上介于A,BA,B之间之间分别沿分别沿 t t 增大的方向依次取增大的方向依次取 n-1个分点个分点，1,21,nP PP 他们把他们把 分成了分成了n

14、 段。用直线段把相邻分点连接起来段。用直线段把相邻分点连接起来得得到一折线，它的长度为到一折线，它的长度为目录 上页 下页 返回 结束 19定理定理6.1 弧长计算公式：弧长计算公式： 222( )( )( )( )sr t dtx ty tz tdt 101limniidisP P 11nniiisP P 如果不论分点怎么选取，最大长度如果不论分点怎么选取，最大长度折线长度有确定的极限折线长度有确定的极限 s, 11max0iii ndP P 线弧为线弧为可求长的可求长的.并称此极限为并称此极限为曲线的长曲线的长 , 则称此曲则称此曲即即弧微分弧微分P28目录 上页 下页 返回 结束 20弧

15、微分弧微分设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为( )r r t 可以将弧长视为参数可以将弧长视为参数 t 的函数的函数0( )( )tts trd 这样，可得这样，可得弧长的微分（弧微分）弧长的微分（弧微分）为：为： 222( )( )( )( )dsr tdtx ty tz tdt t. 则则 t 增大的方向也是增大的方向也是 s s 增大的方向，且有增大的方向，且有 222( )( )( )( )dsr tx ty tz tdt 222ddddsxyz 目录 上页 下页 返回 结束 21定理定理6.1 弧长计算公式：弧长计算公式：222ddddssxyz dzdttz)(0)(0trrdd

16、xdttx)(0dydtty)(0)(dttr0位位移移的的微微分分弧弧微微分分向向量量,: ),(dzdydxsdrd弧弧微微分分:222dzdydxsdds ( )( )( ) ,( )x trr ty tz tt目录 上页 下页 返回 结束 2201, ,nP PP证明证明：设分点：设分点 对应的参数分别为对应的参数分别为，这样便有，这样便有首先来求首先来求01, ,nt tt01,nttt1iiP P 22211( )()()()() ,iiiiiiiP Pttxyz rr利用拉格朗日中值公式得利用拉格朗日中值公式得2221 ( ) () (),iiiiiiP Pxyzt 其中其中11

17、,( ,)iiiiiiiitttt t 目录 上页 下页 返回 结束 23为使上式右端根式中的函数在为使上式右端根式中的函数在 同一点处取值，同一点处取值， 将其变形得到将其变形得到于是有于是有其中其中令令2221 ( ) ( ) ( ),iiiiiiiiP PxyztR t ( ),iiiitR t r222 ( ) () ()iiiiRxyz222 ( ) ( ) ( ) .(6.12)iiixyz1111( ),(6.13)nnnniiiiiiiiisP PtR t r1maxii nt ，由定积分的定义和存在定理可知，由定积分的定义和存在定理可知目录 上页 下页 返回 结束 24利用不

18、等式利用不等式这样，这样， 由由(6.13)(6.14)两式可知，要想证明弧长两式可知，要想证明弧长因为因为222222123123112233 aaabbbababab公式，只需要证明公式，只需要证明01lim( )( )(6.14)niiiistdt rr0lim0iiR t 由由(6.12)可知可知()( )()( )iiiiiRyyzz( ), ( )y tz y在在,上连续，从而一致连续，上连续，从而一致连续，目录 上页 下页 返回 结束 25证毕证毕。于是于是只要只要 便有便有故故0,0, , ,t ttt ( )( ),( )( )y ty tz tz t2iR特别当特别当 时有

19、时有1maxii nt 12 ()niiiR t 0lim0iiR t 目录 上页 下页 返回 结束 26 22( )( )( )sr t dtx ty tdt平面曲线平面曲线为空间曲线的特例为空间曲线的特例( (z=0) ) ：对于平面曲线：对于平面曲线 ( )( ), ( ) , rr tx ty tt 弧长为弧长为(1) (1) 如果曲线弧由如果曲线弧由直角坐标方程直角坐标方程给出给出: :)()(bxaxfy则参数方程为则参数方程为 x = x , y = f (x) , , 于是有于是有ds=?ds=?xysbad12xxfbad)(12d?s 目录 上页 下页 返回 结束 27(2

20、) 曲线弧由曲线弧由极坐标方程极坐标方程给出给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxdsd)()(22rr则得则得目录 上页 下页 返回 结束 28例例 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20( t的弧长的弧长 .解解:dtta 221)cos( ta22sindtta)cos( 12dtta22 sinttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2 22d( )( )dsx ty tt目录 上页 下页 返回 结束 29例例：求平面曲线的弧长：求平面曲线的弧长： 21

21、1ln 142xyyye 例例：求螺旋线一个螺距之间的长度：求螺旋线一个螺距之间的长度： cos ,sin , 02xayazk 目录 上页 下页 返回 结束 30弧微分弧微分设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为( )r r t 可以将弧长视为参数可以将弧长视为参数 t 的函数的函数0( )( )tts trd 这样，可得这样，可得弧长的微分（弧微分）弧长的微分（弧微分）为：为： 222( )( )( )( )dsr tdtx ty tz tdt t. 则则 t 增大的方向也是增大的方向也是 s s 增大的方向，且有增大的方向，且有 222( )( )( )( )dsr tx ty tz td

22、t 返回返回P19P19222ddddsxyz 目录 上页 下页 返回 结束 31自然参数自然参数既然弧长可以视为参数既然弧长可以视为参数 t 的函数的函数0( )( )ttss trd 将反函数将反函数 t = = t( (s s) ) 代入曲线参数方程代入曲线参数方程( ( )rr t s 即弧长即弧长 s s 成为曲线的参数，称之为成为曲线的参数，称之为自然参数自然参数性质性质：2221,dxdydzdsdsds ,d rdx dy dzdsds ds ds 为为单位切向量单位切向量 222( )( )( )( )dsr tdtx ty tz tdt 2222)()()()(dzdydx

23、ds 目录 上页 下页 返回 结束 326.3 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面的参数方程曲面的参数方程圆柱面圆柱面方程方程，222Ryx 其其参数方程参数方程为为zzRyRx ，sin,cos),(2 , 0),( z向量的形式向量的形式),sin,cos(),(zRRzr）（ 21. 6).),(Dz 即圆柱面可以看作平面区域即圆柱面可以看作平面区域 到到 的连续映射下的连续映射下D3R的像。的像。目录 上页 下页 返回 结束 33）（ 22. 6)cos,sinsin,cossin(),(RRR rr解：解：任取一点任取一点).,(zyxP,如右图，如右图， 则则,cossins

24、in,cossinRzRyRx ，）（20,20 因此，球面可以看成是平面区域因此，球面可以看成是平面区域20,0| ),( D到到 的连续映射（的连续映射（6.22）的像。）的像。3R例例6.6 建立半径为建立半径为 的的球面球面的参数方程。的参数方程。R目录 上页 下页 返回 结束 34一般的，一般的，曲面曲面S看做某看做某区域区域D到到空间空间Oxyz的某一连续的某一连续映射的像映射的像，从而从而S的方程可表为的方程可表为，),(),(),(),(Dvuvuzzvuyyvuxx 或写成向量的形式或写成向量的形式),),(),(),(),(),(Dvuvuzvuyvuxvurr 此二式称为

25、此二式称为曲面的参数方程曲面的参数方程，曲面上的曲线的表示曲面上的曲线的表示若在若在D中固定中固定,0vv 则此映射则此映射 r 下的像点的集合应是下的像点的集合应是曲面曲面S上的一条曲线，上的一条曲线， 称为称为曲面曲面S上的上的u曲线曲线， 方程是方程是),(),(),(),(),(10000Iuvuzvuyvuxvurr 目录 上页 下页 返回 结束 35同理可得曲面同理可得曲面S上的上的v曲线的方程曲线的方程为为),(),(),(),(),(20000Ivvuzvuyvuxvurr 这样，过曲面这样，过曲面S上的每一点上的每一点P，就有，就有u曲线和一条曲线和一条v曲线，它们的交点就是

26、曲线，它们的交点就是P 。 u曲线族和曲线族和v曲线族曲线族构成曲面构成曲面S上的参数曲线网。上的参数曲线网。 曲面曲面 S 可以看成可以看成是映射是映射 r 将平面将平面uOv上上的区域的区域 D 在在R3中变形中变形后得到的，而后得到的，而D内的内的坐标网相应的变成了曲面坐标网相应的变成了曲面 S 的参数曲线网。如图的参数曲线网。如图),(00vur 目录 上页 下页 返回 结束 36）（ 22. 4)cos,sinsin,cossin(),(RRRrr ，若若0 ，若若0 .0)cos,sinsin,cossin(),(000）（ RRRrr.20)cos,sinsin,cossin()

27、,(0000）（ RRRrr即为球面的经线。即为球面的经线。即为球面的纬线。即为球面的纬线。目录 上页 下页 返回 结束 37复习复习 例例6.7 机械工程中常见的一种曲面称为机械工程中常见的一种曲面称为正螺面正螺面，它是，它是当当长为长为l 的一动直线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的的一动直线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向下运动时，该直线段的运动轨迹下运动时，该直线段的运动轨迹. 试建立它的方程。试建立它的方程。解解 建立坐标系，设运动开始时直线段位于建立坐标系，设运动开始时直线段位于x轴的正轴

28、的正方向上，且直线段以原点为起点。方向上，且直线段以原点为起点。记为记为OM。设设OM的旋转角速度为的旋转角速度为，0 垂直移动的速度为垂直移动的速度为b0.正螺面上的任一点正螺面上的任一点P(x,y,z)与与z轴的距离为轴的距离为u。.,sin,cosbtztuytux 目录 上页 下页 返回 结束 38.,sin,cosbtztuytux 令令.,abvt 于是正螺面的参数方程为于是正螺面的参数方程为),0(),sin,cos(),(vluavvuvuvur曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),),(),(),(),(),(2RDvuvuzvuyvuxvurr 曲面曲面S的参数方程（的参

29、数方程（双参数双参数）为）为其中其中r在在D内连续，在点内连续，在点 存在偏导数存在偏导数Dvu ),(00,),(),(),(0000vuuuzuyuxvur,),(),(),(0000vuvvzvyvxvur目录 上页 下页 返回 结束 39且且0vurvurvu ),(),(0000（点（点 称为曲面的称为曲面的正则点正则点）),(00vu曲面曲面S上过点上过点 的的u曲线曲线为为 ),(00vu),(0vurr 其在其在 的的切向量切向量为为),(000vurr ；),(00vuru在点在点 的的切向量切向量为为),(000vurr ).,(00vurv同理可得同理可得v曲线曲线上述上

30、述u曲线和曲线和v曲线的切线曲线的切线若若 是正则点，所以向量是正则点，所以向量),(00vu),(),(0000vurvurvu与不平行，不平行，以以 为为法线方向法线方向),(),(0000vurvurvu ，确定了一个平面确定了一个平面0r它是过点它是过点 且且向量向量的平面。的平面。球面的示例球面的示例目录 上页 下页 返回 结束 40其方程为其方程为在在S上过点上过点 任一条光滑曲线任一条光滑曲线 0r， 其中其中),()(),(Itttvturr .)(,)(0000vtvutu 上式两端在上式两端在 处对处对 求导，求导，0tt000|),(|),(|0000tvtutdtdvv

31、urdtduvurdtdr 是何种关系？是何种关系？曲面曲面S上过点上过点 的任一曲线在点的任一曲线在点 的切线与平面的切线与平面0r0r线性表示，线性表示，于是曲线于是曲线 在点在点 的切向量可用的切向量可用0r ),(),(0000vurvurvu与 故曲线故曲线 在点在点 的切线必在平面的切线必在平面 上。上。0r由曲线由曲线 的任意性知：曲面的任意性知：曲面S上过点上过点 的任一曲线在的任一曲线在0r 目录 上页 下页 返回 结束 41),(),(),(,),(),(,),(),(),(),(CBAvuyxvuxzvuzyrrvuvuvu0000（点点 的切线均在平面的切线均在平面 上

32、。上。0r于是称平面于是称平面 为曲面在点为曲面在点 的的切平面切平面。0r0r过点过点 且且垂直于切平面垂直于切平面 的直线称为曲面在点的直线称为曲面在点 处的处的法线法线。0r的方向向量称为的方向向量称为法向量（法向量（曲面或切平面在该点的法向量曲面或切平面在该点的法向量）。法线法线于是于是S在点在点 的切平面方程是的切平面方程是：0r法线方程法线方程为：为：0()()(000 ）zzCyyBxxACzzByyAxx000 ).,(),(),(000000000vuzzvuyyvuxx 其其中中全微分的全微分的几何意义几何意义P42目录 上页 下页 返回 结束 42若若),(),(vzvy

33、vxruzuyuxrvu 均在区域均在区域D内内连续，连续， 则称曲面则称曲面S是一是一光滑曲面。光滑曲面。, 0),( zyxF若曲面若曲面S的方程是直角坐标方程的方程是直角坐标方程, 0),( zyxFFF且且不妨设不妨设, 0 zF确定二元函数确定二元函数).,(yxzz 于是方程于是方程, 0),( zyxF于是得于是得曲面曲面S的的(双双)参数方程参数方程),(,(),(yxzyxyxr 于是于是), 0 , 1 (zxxFFr ), 0 , 1 (zyyFFr ),1 ,(zyzxyxFFFFrr 故故法向量法向量取取),(zyxFFFn 目录 上页 下页 返回 结束 43于是于是

34、曲面在点曲面在点 的切平面方程为：的切平面方程为：),(0000zyxP法线方程为：法线方程为：0)()()(000000 zzPFyyPFxxPFzyx（)000000PFzzPFyyPFxxzyx（ ),(yxfz 若曲面若曲面S的方程是直角坐标方程的方程是直角坐标方程于是曲面在点于是曲面在点 的的切平面方程切平面方程为：为：),(0000zyxP法线方程法线方程为：为：)(,)(,0000000yyyxfxxyxfzzyx （1),),0000000 zzyxfyyyxfxxyx（目录 上页 下页 返回 结束 44)(,)(,0000000yyyxfxxyxfzzyx （全微分的几何意义全微分的几何意义)(,)(,000000yyyxfxxyxfdzyx （)(,)(,),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx（二元函数二元函数 在点在点),(yxfz 的的全微分全微分为为),(0000zyxP二元函数的全微分是（二元函数的全微分是（几何意义几何意义）：）：用切平面上的改变量代替曲面上的改变量。用切平面上的改变量代替曲面上的改变量。-局部线性化局部线性化返回返回P39目录 上页 下页 返回 结束 45例例6.8求正螺面求正螺面 在在avzvuyvux ,sin,cos,2