定积分问题举例

1、上页下页铃结束返回首页1定积分一、定积分问题举例 二、定积分定义三、定积分的性质 四、牛顿莱布尼茨公式上页下页铃结束返回首页2一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 1.曲边梯形的面积 上页下页铃结束返回首页3观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？上页下页铃结束返回首页4niiixfA10)(lim. 求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b,

2、xixixi1; 小曲边梯形的面积近似为f(i)xi (xi1ixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设maxx1, x2, xn, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;niiixfA10)(lim 以直代曲上页下页铃结束返回首页52.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物体在时间段T1,

3、T2内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记maxt1, t2, tn, 物体所经过的路程为 niiitvS1)(; niiitvS10)(lim. 以不变代变上页下页铃结束返回首页6v定积分的定义 在小区间xi1, xi上任取一点i (i1, 2, n), niiixf1)(; 作和maxx1, x2,xn; 记xixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb; 在区间a, b内插入分点: 设函数f(x)在区间a, b上有界. 如果当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间a,b的分法和i的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间a,b上badxxf)(,

4、 的定积分, 记为niiibaxfdxxf10)(lim)(. 即 二、定积分定义上页下页铃结束返回首页7定积分各部分的名称 积分符号, f(x) 被积函数, f(x)dx 被积表达式, x 积分变量, a 积分下限, b 积分上限, a, b积分区间. niiibaxfdxxf10)(lim)(. 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即bababaduufdttfdxxf)()()(. 如果函数 f(x) 在区间a, b上的定积分存在, 则称 f(x) 在区间a, b上可积. 上页下页铃结束返回首页8定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f

5、(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积. niiibaxfdxxf10)(lim)(. 注: 设f (x)在0, 1上连续, 则有101)()(1limdxxfnifnninixix01ni 1ni上页下页铃结束返回首页9v位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的路程为S(t), 速度为vv(t)S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为)()(12TSTS及dttvTT)(21, )()()(1221TSTSdttvTT

6、. 即v原函数 在区间 I 内, 如果 F (x)f(x), 那么称F(x)为f(x)在区间 I 内的原函数.牛顿的发现: 设F(x)是f(x)的原函数, 则有 ( )( )( )baf x dxF bF a上页下页铃结束返回首页10v定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示曲边梯形面积的负值. 这是因为baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(l

7、im)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010. 上页下页铃结束返回首页11 一般地, f(x)在a, b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和. v定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示曲边梯形面积的负值. 上页下页铃结束返回首页12v定积分的几何意义 ( )( )dxaA

8、xf tt( )( )dA xf xxd( )( )dA xf xx观察结果: 设f(x)连续, 则有 观察与分析 d( )d ( )dxaf ttf xx 当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 上页下页铃结束返回首页13三、定积分的性质性质4 4 abdxdxbaba1. 性质3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 性质1 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 两点规定 (1)( )0;aaf x dx (2)( )(

9、).abbaf x dxf x dx 注: 不论a, b, c的相对位置如何性质3总成立.上页下页铃结束返回首页14badxxf0)(ab). 推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 即 babadxxfdxxf| )(|)(|. 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). 推论2 bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 上页下页铃结束返回首页15推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 如果在

10、区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 推论2 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 baabMdxxfabm)()()(ab). badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfdxxf| )(|)(|(a0. 证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()( 在(0, )内为单调增加函数. 证明 因为 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf. 按假设, 当0t0, (xt)f (t)0, 所以 0)(0dttfx, 0)(0dttfx 0)()(0dttftxx, 从而F (x)0(x0), 因此F(x)在(0, )内为单调增加函数. 上页下页铃结束返回