2.5等比数列的前n项和

1、2.52.5等比数列的前等比数列的前n n项和项和主要内容第1课时第2课时等比数列的前n项和公式及其应用第1课时国际象棋起源于印度，印度国王一天奖励国际象棋的发明者，问他要什么？122223242526272829210262263发明者说：请在64个格子里依次放1，2，22，23，263个麦粒. 国王觉得要求不高. 同意了发明者的要求，我们来算一算国王需要给发明者多少麦子.麦子的粒数：?222216332 这是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和633222221S设， 646332222222S， 得即., 12264 SS1264S1222221646332 超过了超过了1 .84

2、,1 .84 ,假定千粒麦子假定千粒麦子的质量为的质量为40g,40g,那么麦粒的总质量超过了那么麦粒的总质量超过了70007000亿亿吨吨. . 所以国王不可能同意发明者的要求所以国王不可能同意发明者的要求. . 12641910q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa，得,111nnqaaSq由此得q1时，qqaSnn111等比数列的前n项和的求法nnaaaaS321设等比数列,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即错位相减法求和当q1时，qqaSnn111,111qaqqaqannn因为所以qqaaSnn11显然，当q=1时，1naS

3、n0, 1,1111,111qqqqaaqqaqnaSnnn 对于等比数列的相关量a1，an，q，n，Sn.已知几个量，就可以确定其它量.等比数列的前n项和公式例1. 求和：.nnnS2164834221为等比数列，公比为.设 ，其中 为等差数列，nnnnna212 nn2121错位相减法求和的应用举例分析： 利用错位相减法把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题进行求和.解：，nnnS21214213212211432两端同乘以，得21154322121) 1(21421321221121nnnnnS,22121212121211432nnnnS两式相减得 于是.nnnnS22121证法证

4、法2 2：Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2 +a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+q(Sn-an) 1(11qqqaasnn证法证法3 3：qaaaaaann 12312qaaaaaann12132qaSaSnnn1) 1(11qqqaasnn等比数列求和公式的其它推导法02431272,81,41,2118191qaa，）（）（项的和、求下列等比数列的前例解: (1)由,211a,212141qn=8，得2112112188S212112182562552118 891272431,2431,272qaa可得由31, 0qq可得又由811640311311

5、27888Sn时，于是当练习根据下列条件，求出等比数列an前n项和Sn26. 15 . 115 . 1214 . 2189212136;21, 5 . 1, 4 . 21naqa; 6, 2, 31nqanS) 1nS)2解： 例2. 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)台21 . 15000第n年产量为台11 . 15000n则n年内的总产量为：1

6、21 . 151 . 151 . 155n 解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 ,na其中,30000, 1 .1%101,50001nSqa.300001 . 111 . 115000n即.6 .11 .1n两边取常用对数，得 6 . 1lg1 . 1lgn5041.020.01.1lg6.1lgn(年)答：约5年可以使总销售量达到30000台 例3. 如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积X，把x轴上的区间0，3分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行线，构成（n-1)个矩形，下面的程序用来计算这(n

7、-1)个矩 形 的 面 积 的 和 S . 阅读程序，回答下列问题.（1）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？（2）请根据程序分别计算当n=5，11，16时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）. 解：（1）当把x轴上的区间0，3分成n等份时，各等份的长都是3/n，即各矩形的底都是3/n，显然分点的横坐标分别是,) 1(39 ,239 ,39222 nnnn,) 1(3,23,3nnnn 从各分点作y轴的平行线与y=9-x2的图象相交，交点的纵坐标分别是：nnnnnnn3) 1( 39,3239,339222 它们分别是相应矩形的高. 所以各个矩形的面积分别是： 所以，程序中的A

8、N表示第k个矩形的面积，SUM表示前k个矩形面积的和. (2) 解: 根据程序，当n=6时，5个矩形的面积的和就是输入N=6时，SUM的最后一个输出值，即 SUM=15.625；同理，当n=11时，10个矩形的面积的和就是输入N=11时，SUM的最后一个输出值，即SUM=16.736； 当n=16时，15个矩形的面积的和就是输入N=16时，SUM的最后一个输出值，即SUM=17.139.这里选择精确到小数点后3位例4.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+ lgx10=110， 求lgx+lg2x+lg3x+ lg10 x.解：由于 lgx+lgx2+ lgx3+ lgx10=110， lgx

9、+2lgx+3 lgx+10 lgx=110， 55 lgx=110， lgx=2lgx+lg2x+lg3x+ lg10 x=2+22+23+210.=211-2=2046数列an的前n项和Sn构成了一个新数列：S1，S2，S3，Sn这个数列的递推关系) 1(11nSSSnna1an 例5.已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+k，求k的值 分析：利用 求出通项an)2(111nSSaSannn 解：当n=1时，a1=S1=3+k 当n1时，an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=23n-1 当n2时，an+1/an=3, 公比q=3 当n=1时 a2/a1=(23)/(3+k

10、)=3, 解得 k=-1 是则数列若项和为的前已知数列nnnnnnaaSSSna,2,. 11A.等比数列 B.等差数列C.常数列 D.以上都不对 此数列一定是则若项和为的前数列,) 1lg(,.2nSSnannnA.等差数列 B.等比数列C.常数列 D.以上都不对 等于则中，在等比数列100992019109,),0(. 3aabaaaaaaan10910989.abDabCabBabA3232%)1(.%)1(.%)1(.%)1(.paDpaCpaBpaA4.某产品计划每年成本降低p%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是（ ） ._80,20,. 532nnnnnSSSSna则如果项和为

11、的前等比数列 ._1,. 6项和是的前则项和为前其公比为为等比数列，首项是已知数列naSnqaannn小结 等比数列的前n项和公式及其应用 思想方法 1）等比数列前n项和公式的推导方法：逆序相加法. 2) 用方程的思想解决a1，n，d，an，Sn五个元素的“知三求二”问题. 3) 基本元思想：只要首先求出等比数列的基本元a1和公差d即可，解决求通项和求和问题 4）前n项和的函数特性 当公比q1时，对比前n项和Sn和相应的函数关系.nnnqqaqaqqaS11)1 (1111xxaqaqay)1 (作业习题P61-62. A组1,2,3.B组1,2常见数列的前n项和公式的求法第2课时一般地，求数

12、列前n项和Sn的方法有哪些？1. 等差数列的逆序相加法2. 等比数列的错项相减法3. 混合数列的分组求和法4. 拆项合并法或裂项相消法常见数列的前n项和公式的求法数数 列列 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 前前 n 项项 和和 公公 式式推导方法推导方法 21nnaan S dnnna211 qqann 111Sqqaan 11 1 q倒序相加倒序相加错位相减错位相减对比提高对比提高231 33 35 3(21) 3nnSn 例1.求和 分析：这是形如anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列.求和方法适宜用错项相减法. 错项相减法求和步骤为：在求和等式的两边乘以等

13、比数列的公比，错位相减，再化简即可.231 33 35 3(21) 3nnSn 2311 33 3(23) 3(21) 3nnnn 解：两式相减有：1323) 12(333 232Snnnn1123) 12(3-1)31 (323nnn13)22(6nn33) 1(S1nnn3Snn2n834221Sn求和：求和：练习1例2.求和：).1, 1, 0()1()1()1(22yxxyxyxyxnn解：当1, 1, 0yxx时，原式=nnyyyxxx111)(22xxxn1)1 (.1111nnnnyyyxxxyyyn11111例3 求和：)0(),()2() 1(2anaaaSnn2111nna

14、aaSnn当22121)111 (2nnnnnnnSn1, 0aa当1a时时解：)21 ()(2naaaSnnnS,2111nnaaan,22nn )1(a).1, 0(aa分析：本题适合分解重新组合求和法.解:111(1)(2)12nannnn11111111()()()()23344512nSnn11()22n2(2)nn例4.求和)2)(1(1541431321Snnn分析：由于 本题适合用裂项相消法.)2)(1(12111nnnn 例5、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润

15、是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的 . 根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？ 为什么？32 解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：实际问题实际问题 分析、联系、抽象、转化分析、联系、抽象、转化 建立数学模型建立数学模型（列数学关系式）（列数学关系式）数学方法数学方法数学结果数学结果实际结果实际结果回答问题回答问题探讨： 分析：本题是

16、考虑该乡从两个企业中获得利润分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题问题. . 该乡从两个企业中获得的总利润该乡从两个企业中获得的总利润= =甲上缴利润甲上缴利润+ +乙上缴利润乙上缴利润. .年份年份 97（n=1） 98（n=2） 99（n=3） 2000（n=4）（第（第n年）年）甲企业甲企业 乙企业乙企业 总利润总利润320720720320 5 .. 132023272035 . 132033272015 . 1320n132720n解:(1)设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元. y= +15 . 1320n132720n96032720233202

17、11nn当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元;故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题.（2）2005年时，n=9此时 y=85 . 13208327208200即2005年底该乡能达到小康水平. 练习2：陈老师购买安居工程集资房92m2， 单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期一年，等额付款， 计签购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清.如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到百元，其中 1.07591.921 ，1.075102.065，