二维随机变量函数的分布

1、 本节讨论如何由已知的二维随机变量本节讨论如何由已知的二维随机变量(X,Y)的的分布去求它的函数分布去求它的函数 Zg(X,Y)的分布特别如函的分布特别如函数形式：数形式： 设设(X,Y )是分布已知的二维随机变量是分布已知的二维随机变量, g(x, y)是是二元连续函数二元连续函数, 那么那么Zg(X,Y)就是一个一维随机变就是一个一维随机变量量. 按定义按定义, 随机变量随机变量 Zg(X,Y)的分布函数应为的分布函数应为 4.2 二维随机变量函数的分布),()(zYXgPzZPzFZ ,max(, ),min(, )ZXY ZX YZX Y例1设设(X, Y)的分布律的分布律如右如右,

2、求求X+Y, max(X,Y )与与min(X, ,Y )的分布律的分布律. Y X 1 0 10 0.1 0.2 0.21 0.1 0.1 0.3由由(X,Y)的分布律可列对应表如下的分布律可列对应表如下:pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3(X ,Y) (0,- -1) (0,0) (0,1) (1,- -1) (1,0) (1,1)X+ +Y - -1 0 1 0 1 2max(X,Y ) 0 0 1 1 1 1min(X,Y ) - -1 0 0 - -1 0 1解分布律 3 . 05 . 02 . 0101),min(YX 7 . 03 . 010),max(YX

3、 + +3 . 03 . 03 . 01 . 02101YX将函数的所有可能取值重排并概率即可得将函数的所有可能取值重排并概率即可得设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.jijippyYxXP ,因因X与与Y 独立独立, 所以所以解解例2X ip317 . 03 . 0Y424 . 06 . 0jp ),(YX18. 012. 042. 028. 0YXZ+ + 3557YXZ+ + kzZP 35718. 054. 028. 0所求分布律：所求分布律：,jiyYxXP )2, 1()4, 1()2, 3()

4、4, 3(,)( , ),X Yf x yZXY + +设设的的密密度度为为则则的的分分布布函函数数为为)(zZPzFZ yxyxfzyxdd),( + + xyOzyx + +( , )d dzxf x yyx+ xty ( ,)d dzf x txtx+ ( ,)d dzf x txxt+1) Z=X+Y 的分布故故( )( ,)dZfzf x zxx+ + (, )df zy yy+ + 同同理理连续型随机变量函数的分布 当当 X, Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zfZ + + yyfyzfzfYXZd)()()(xxzfxfzfYXZd)()()( + + .),()(),

5、(的的两两个个边边缘缘分分布布密密度度分分别别为为其其中中YXyfxfYX 其它其它 , 0)1 , 0( , 1)(xxfX 例例3 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, 分布分布密度分别为密度分别为和和求其和求其和 ZXY 的分布密度的分布密度其它, 00,)(yeyfyY+xxzfxfzfYXZd)()()(由由卷积公式卷积公式知知, ZXY的分布密度为的分布密度为当当 时，时，当当 时时 ，当当 时，时， 10 zzzxzzedxezf1)(0)(1zzxzzeedxezf) 1()(10)(, 0)(0)(zfxfZX知由0z其它,01,)1(10,1)(z

6、eezezfzzz定理1),(222 NY),(211 NX设设则则Z=X+Y亦服从正态分布亦服从正态分布, 且且).,(222121NYX+ + + +且相互独立且相互独立, 证 + + xxzfxfzfYXZd)()()(由由卷积公式卷积公式知知, ZXY 的分布密度为的分布密度为 + + xxzxd2)(2)(exp212222212121 + + + + + + + + + xzzxd2)(2exp21222122122221221212212221222121 tzx + + + + +22212212122122212221令令很繁的过很繁的过程程故令 + + xxzfxfzfYX

7、Zd)()()( + + + + + + + + + xzzxd2)(2exp21222122122221221212212221222121 tzx + + + + +222122121221212221 + + + + + + ttzde21e2122)(222122221221 22212212)(2221e21z+ + + + ),(222121NYX+ + + +所所以以定理2), 2, 1(),(2niNXiii (独立正态分布的线性组合定理）独立正态分布的线性组合定理） 利用本定理和上节定理利用本定理和上节定理1, 不难得到更一般的不难得到更一般的态态分分布布相相互互独独立立且且

8、分分别别服服从从正正设设nXXX,21且且从从正正态态分分布布则则它它们们的的线线性性组组合合亦亦服服, niiiniiiniiiCCNXC12211, .,21为为任任意意常常数数其其中中nCCC2) 最大值与最小值的分布),min(),max(YXNYXM ,( ),( ),XYX YFxFy设设相相互互独独立立 其其分分布布函函数数分分别别为为令令则有则有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP )()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP )(1)(1 1zFzFYX 1 1 1zYPzXP 结论的的分分布布函函数数分分别别为为与与),m

9、in(),max(YXYX)()()(maxzFzFzFYX )(1)(1 1)(minzFzFzFYX 则则其其分分布布函函数数分分别别为为个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量是是设设), 2 , 1(),(,21nixFnXXXiXni 推广推广)()()()(21maxzFzFzFzFnXXX )(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX 12,( ) ,nXXXF x若若相相互互独独立立且且同同服服从从分分布布则则nzFzF)()(max nzFzF)(11)(min 例例4某电子仪器由六个相互独立的某电子仪器由六个相互独立的 部件部件 组成，其连接方式组成，其连接方式如图所示如图所示.设各个部件的使用寿命设各个部件的使用寿命 服从相同的指数分布服从相同的指数分布 ,求仪器求仪器 使用寿命使用寿命 的概率分布密度的概率分布密度.解解：各个部件的使用寿命：各个部件的使用寿命 的分布函数的分布函数为：为： (1,2, 6)kL kkX( )eX(1 ,2, 6)kX k1,0( )0,0 xexFxx 由图知，由图知，仪器的使用寿命仪器的使用寿命 与各部件的使用寿命由与各部件的使用寿命由如下关系：如下关系：故按公式得仪器的使用寿命故按公式得仪器的使用