第三液体一元运动基本原理

1、第三章 液体一元恒定总流基本原理第一节 概述重点：重点：1.描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法2.描述液体运动的一些基本概念描述液体运动的一些基本概念3.一元恒定总流的三大方程的实际应用一元恒定总流的三大方程的实际应用连续性方程、能量方程、动量方程连续性方程、能量方程、动量方程第二节 描述液体运动的两种方法拉格朗日拉格朗日(Lagrange)法法欧拉欧拉(Euler)法法拉格朗日法拉格朗日法：即质点法，从分析每个拉格朗日法：即质点法，从分析每个液体质点的运动入手来研究整个液体的运液体质点的运动入手来研究整个液体的运动。动。质点在空间的坐标（质点在空间的坐标（x, y, z）表示为质点

2、）表示为质点起始坐标（起始坐标（a, b, c）和时间）和时间t的函数。的函数。式中，式中，a, b, c, t 为拉格朗日变数。为拉格朗日变数。拉格朗日法的迹线方程),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx液体质点的速度、加速度ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),(222222222222),(),(),(ttcbaztzattcbaytyattcbaxtxazyx欧拉法欧拉法：即场的方法，着眼于各空间点的流欧拉法：即场的方法，着眼于各空间点的流动特性。动特性。研究液体质点流经空间各固定点上的运动特研究液体质点流经空间各固定点上的运动特性。

3、再综合流场中足够多的空间点上的运动要性。再综合流场中足够多的空间点上的运动要素及其变化规律，以得到整个流场的运动特征。素及其变化规律，以得到整个流场的运动特征。物理性质一律表示为空间点坐标物理性质一律表示为空间点坐标 (x, y, z) 和和时间时间 t 的函数。的函数。式中，式中，x, y, z, t 为欧拉变数。为欧拉变数。欧拉法),(),(),(),(tzyxpptzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx欧拉法中，经过欧拉法中，经过dt，同一液体质点从某一空，同一液体质点从某一空间点移动到另一空间点时，该质点的位置坐标间点移动到另一空间点时，该质点的位置坐标 (x, y, z) 也

4、是时间也是时间 t 的函数。的函数。因此，速度因此，速度u是时间是时间t的复合函数，加速度场的复合函数，加速度场等于速度场对时间的全导数。等于速度场对时间的全导数。欧拉法的加速度场同理同理欧拉法的加速度场yyyyyxyzuuuuauuutxyzzzzzzxyzuuuuauuutxyzxxxxxxduuuuudxdydzadttx dty dtz dtxxxxxyzuuuuuuutxyz随体加速度随体加速度定位加速度定位加速度当地加速度当地加速度变位加速度变位加速度迁移加速度迁移加速度第三节 液体运动的一些基本概念一元流、二元流、三元流一元流、二元流、三元流恒定流、非恒定流恒定流、非恒定流流线、

5、迹线流线、迹线过水断面、流管、元流、总流过水断面、流管、元流、总流 流量、断面平均流速流量、断面平均流速 均匀流、非均匀流均匀流、非均匀流渐变流、急变流渐变流、急变流系统、控制体积系统、控制体积一元流、二元流、三元流根据运动要素与空间坐标变量的关系划分根据运动要素与空间坐标变量的关系划分空间流动空间流动 三元流三元流平面流动平面流动 二元流二元流沿流动方向沿流动方向 一元流一元流本书主要学习一元流的求解本书主要学习一元流的求解恒定流、非恒定流根据运动要素与时间的关系划分根据运动要素与时间的关系划分不随时间变化不随时间变化恒定流恒定流 随时间变化随时间变化非恒定流非恒定流本书主要学习恒定流的求解

6、本书主要学习恒定流的求解非恒定均匀流恒定非均匀流非恒定非均匀流流线某一瞬时流场中绘出的曲线某一瞬时流场中绘出的曲线曲线的切线方向为液体质点的速度方向曲线的切线方向为液体质点的速度方向流线是光滑曲线或直线，流线一般不相交流线是光滑曲线或直线，流线一般不相交流线不能相交流线不能相交, ,不能转折。恒定流时流线的形状不随不能转折。恒定流时流线的形状不随时间改变，而非恒定流时流线随时间改变。时间改变，而非恒定流时流线随时间改变。流线流线的形状与固体边界的形状有关流线的形状与固体边界的形状有关 断面小处，流速大，流线密断面小处，流速大，流线密 断面大处，流速小，流线疏断面大处，流速小，流线疏迹线质点运动

7、的轨迹质点运动的轨迹在恒定流情况下，流线与迹线重合在恒定流情况下，流线与迹线重合 过水断面垂直于流线的液流垂直于流线的液流横断面横断面平面或曲面平面或曲面流管、元流、总流液流中取一封闭曲线，流液流中取一封闭曲线，流线与封闭曲线形成的管状线与封闭曲线形成的管状曲面，称为流管。曲面，称为流管。微小流管中的液流称为元微小流管中的液流称为元流。流。无数元流集合成的过水断无数元流集合成的过水断面面积上的整股液流，称面面积上的整股液流，称为总流为总流液流不能穿过流管壁流动液流不能穿过流管壁流动流量、断面平均流速单位时间内通过某一过水断面的液体体积单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量，用称为流量，用

8、 Q 表示表示断面平均流速，一个假想的流速断面平均流速，一个假想的流速 dQudAAQdQudAvAQvA均匀流、非均匀流根据流速的大小和方向是否沿流线变化划分。根据流速的大小和方向是否沿流线变化划分。不沿流线变化不沿流线变化均匀流均匀流沿流线变化沿流线变化非均匀流非均匀流均匀流的特性流线是相互平行的直线，过水断面是平面，过流线是相互平行的直线，过水断面是平面，过水断面的面积沿程不变。水断面的面积沿程不变。 同一同一 根流线上各点的流速相等，流速分布沿流根流线上各点的流速相等，流速分布沿流不变，断面平均流速也沿流不变。不变，断面平均流速也沿流不变。 过水断面上的动水压强分布规律符合静水压强过水

9、断面上的动水压强分布规律符合静水压强分布规律分布规律 ，即，即pZCg在动水中的压强称为动水压强在动水中的压强称为动水压强 ， 同样适用于均匀流断面。同样适用于均匀流断面。均匀流过水断面上均匀流过水断面上，仅适用于同，仅适用于同一断面，不同的断面上一断面，不同的断面上 C 值不同，并由上游向值不同，并由上游向下游递减。下游递减。只适用于有一定固体边界约束的均匀流。若管道只适用于有一定固体边界约束的均匀流。若管道末端射入大气，则末端射入大气，则，即相对压强，即相对压强为零。为零。需要注意的问题pZCg21ppg happ非恒定均匀流恒定非均匀流非恒定非均匀流渐变流、急变流 非均匀流根据流线变化的

10、缓、急程度划分。非均匀流根据流线变化的缓、急程度划分。渐变流：流线曲率很小且近似相互平行渐变流：流线曲率很小且近似相互平行急变流：流线曲率较大，流线间夹角较大急变流：流线曲率较大，流线间夹角较大 渐变流近似具有均匀流的特性，即渐变流断面上的动水压渐变流近似具有均匀流的特性，即渐变流断面上的动水压强分布规律符合静水压强分布规律强分布规律符合静水压强分布规律 。渐变流与急变流实例的动水压强分布突面与凹面上的急变流系统、控制体积 系统系统（System）是指由确定的连续分布的众）是指由确定的连续分布的众多液体质点所组成的液体团。系统一经选定，多液体质点所组成的液体团。系统一经选定，组成它的质点也就固

11、定不变。系统在运动过程组成它的质点也就固定不变。系统在运动过程中可变形，但不能与外界进行动量交换。中可变形，但不能与外界进行动量交换。 控制体积控制体积（Control Volume）是指在流场中选）是指在流场中选取的一个相对于某一坐标系是固定不变的空间，取的一个相对于某一坐标系是固定不变的空间，它的封闭的界面称为控制面。它的封闭的界面称为控制面。第四节 恒定流连续方程恒定总流中取一微小流管为恒定总流中取一微小流管为控制体积，在控制体积，在dt时段内时段内经经dA1流入的质量流入的质量经经dA2处流出的质量处流出的质量由质量守恒定律由质量守恒定律11u dAdt1122dQu dAu dA11

12、22u dAdtu dA dt11u dAdt恒定不可压缩液体元流连续方程通过元流的流量沿程不变，元流的流通过元流的流量沿程不变，元流的流速与过水断面面积成反比。速与过水断面面积成反比。1122dQu dAu dA恒定不可压缩液体总流连续方程将元流方程对总流过水断面积分将元流方程对总流过水断面积分1122dQu dAu dA121122AAu dAu dA12QQ1122v Av A恒定不可压缩液体总流连续方程通过总流的流量沿程不变，断面平均通过总流的流量沿程不变，断面平均流速与过水断面面积成反比。流速与过水断面面积成反比。12QQ1122v Av A第五节 恒定元流的能量方程动能定理：运动物

13、动能定理：运动物体在某一时段内动体在某一时段内动能的增量等于各外能的增量等于各外力对物体所作的功力对物体所作的功之和。之和。221122oWmvmv元流能量方程-动能的增量1 21 21 22 21 11 22 21 1= ()()=KKKKKKKKKEEEEEEEEE 元流能量方程-动能的增量222221212221111 = ()222= ()22KEdmudmudQdt uuuugdQdtgg元流能量方程-重力做功1212() = ()GWdmg zzgdQdt zz元流能量方程-压力作功11122211 122212 ()PWp dAdSp dA dSp dAu dtp dA u dt

14、dQdt pp由动能定理由动能定理伯努利方程伯努利方程理想液体恒定元流的能量方程11221222(22)(dQdt ppuugdQdtgdQdt zzgg2211221222pupuzzggggPGKWWE 伯努利方程各项的物理意义能量意义能量意义几何意义几何意义z单位重量液体的位置势能单位重量液体的位置势能位置水头位置水头单位重量液体的动水压强势能单位重量液体的动水压强势能压强水头压强水头单位重量液体的总势能单位重量液体的总势能测压管水头测压管水头单位重量液体的动能单位重量液体的动能流速水头流速水头单位重量液体的总能量单位重量液体的总能量总水头总水头pzg22ugpg22puzggH.Pit

15、ot)例毕托管（法国 测速原理gpgugpsAA22hggpgpguAs2)(2hgu20 . 198. 0实际液体恒定元流的能量方程hw 元流单位重量的液体从过水断面元流单位重量的液体从过水断面1到过水断面到过水断面2的机械能的损失，称为水的机械能的损失，称为水头损失。头损失。2211221222wpupuzzhgggg第六节 实际液体恒定总流能量方程 将实际液体恒定元流的能量方程在控制过水将实际液体恒定元流的能量方程在控制过水断面上积分，即可得到实际液体恒定总流的能量断面上积分，即可得到实际液体恒定总流的能量方程。方程。方程两边同乘以方程两边同乘以 dt 时段内流入和流出的元流控时段内流入

16、和流出的元流控制体积的重量制体积的重量 ，得：，得：实际液体恒定总流能量方程 211111222222()2()2wpuzgu dAdtggpuzgu dA dthgdQdtgggdQdt2211221222wpupuzzhgggg实际液体恒定总流能量方程方程两边积分得：方程两边积分得：12211111222222()2()2AwAQpuzgu dAdtggpuzgu dA dthgdQdtgg实际液体恒定总流能量方程方程两边同除以方程两边同除以dt 时段内通过总流过水断面时段内通过总流过水断面的液体的质量的液体的质量 ，得：，得：gQdt1122211111112222222211()211

17、1()2AAwAAQpuzu dAu dAQgQgpuzu dAu dAh dQQgQgQ11()()AAppzudAzudAQgQg讨论三种形式的积分2111() 2wAAQpuzudAudAh dQQgQgQ1()AppzdQzg QgudAdQ讨论三种形式的积分2111() 2wAAQpuzudAudAh dQQgQgQpzg22122AuvudAQgg333223112/2AAAudAu dAu dAQgvAvgvv A动能校正系数是一个大于是一个大于1的数，称为动能校正系数；的数，称为动能校正系数；它的值取决于过水断面上流速分布的不均匀程度，它的值取决于过水断面上流速分布的不均匀程度

18、，流速分布愈不均匀，流速分布愈不均匀，值愈大；值愈大；均匀流或渐变流：均匀流或渐变流：= 1.051.1，有时近似取，有时近似取1 ；急变流：急变流：可达可达 2 或更大数值。或更大数值。 动能修正系数是能量方程中一个重要的参数，计算河面线时动能修正系数是能量方程中一个重要的参数，计算河面线时经常遇到。举例来说，下图丁坝（一种航道整治建筑物）水槽实经常遇到。举例来说，下图丁坝（一种航道整治建筑物）水槽实验中，下游水流流速分布复杂，某些断面出现倒流，此时动能修验中，下游水流流速分布复杂，某些断面出现倒流，此时动能修正系数取值需按实验结果取值。正系数取值需按实验结果取值。讨论三种形式的积分2111

19、() 2wAAQpuzudAudAh dQQgQgQpzg22vgwh2211 12221222wpvpvzzhgggg实际液体恒定总流能量方程总流单位能量转化和守恒的规律总流单位能量转化和守恒的规律2211 12221222wpvpvzzhgggg恒定总流能量方程各项的物理意义能量意义能量意义几何意义几何意义z过水断面上任意一点的单位位能过水断面上任意一点的单位位能位置水头位置水头过水断面上任意一点的单位压能过水断面上任意一点的单位压能压强水头压强水头过水断面上任意一点的单位势能过水断面上任意一点的单位势能测压管水头测压管水头过水断面上的平均单位动能过水断面上的平均单位动能流速水头流速水头过

20、水断面上的平均单位机械能过水断面上的平均单位机械能总水头总水头hw断面断面1至断面至断面2的平均单位机械能损失的平均单位机械能损失水头损失水头损失22vgpzgpg22pvzgg总水头线总水头线 顶端的连线顶端的连线 总是沿程下降的总是沿程下降的测压管水头线测压管水头线 顶端的连线顶端的连线 沿程可以上升也可以下降沿程可以上升也可以下降总水头线与测管水头线pzg22pvzgg水力坡度：单位长度流程上总水头的减小值，或水力坡度：单位长度流程上总水头的减小值，或单位长度流程上的水头损失。单位长度流程上的水头损失。测压管坡度：单位长度流程上测压管的水头值。测压管坡度：单位长度流程上测压管的水头值。水

21、力坡度与测压管坡度2()2wpvd zdhggJdsds ()ppd zgJds 恒定总流能量方程的应用条件水流必须是水流必须是恒定流恒定流；作用在液体上的质量力作用在液体上的质量力只有重力只有重力；所取的过水断面是所取的过水断面是均匀流过水断面均匀流过水断面或或渐变流过水渐变流过水断面断面，但两个断面之间可以存在急变流；，但两个断面之间可以存在急变流；两个过水断面之间两个过水断面之间没有外界能量加入没有外界能量加入控制体积，控制体积，也没有也没有从控制体积内部从控制体积内部取出能量取出能量。2211 12221222pwpvpvzhzhgggg应用能量方程的解题步骤“三选”选取基准面选取基准

22、面 管道：管轴线（水平时）管道：管轴线（水平时） 渠道：水平基准面渠道：水平基准面选取过水断面选取过水断面均匀流或者渐变流断面均匀流或者渐变流断面选取计算点选取计算点列能量方程列能量方程例题一判断以下流动能否发生判断以下流动能否发生例题二文德里流量计是一种量测管道中流量的文德里流量计是一种量测管道中流量的设备。试导出流量计的流量公式。设备。试导出流量计的流量公式。221112221222wpvpvzzhgggg 0121wh并并认认为为设设, gvvhgpzgpz221222211 )()(例题例题3.33.3文丘里管测流量文丘里管测流量列出列出1-1,2-21-1,2-2断面的断面的能量方程

23、能量方程经整理方程为经整理方程为并经整理可得并经整理可得并代入上式并代入上式由连续方程可得出由连续方程可得出,;)(12212vddv gvddh21214241)( hgddv 2114211)(gvvhgpzgpz221222211 )()(hKhgddddAvQ 242241222111 gddddK2442412221 数数文文丘丘里里管管的的理理想想流流量量系系hKQ . 1 系数，并且系数，并且为文丘里管的实际流量为文丘里管的实际流量22022ccwvvHhgg 列能量方程：例题例题3.43.4孔口出流孔口出流012ccvgH解得解得 c1令令02gHvc 则则AAc 0022gH

24、AgHAvAQcc 62. 0,97. 0,64. 0 实实验验可可得得对对薄薄壁壁圆圆形形小小孔孔口口，由由whgvgvH222200 gvhw22 令令gvHH22000 00221gHgHvnn 0022gHAgHAQnn 2.80nn 32. 1 n式完全相同，然而与孔口出流公式相比两Hccoo0110例题例题3.53.5管嘴出流管嘴出流列出列出0-00-0断面和断面和1-11-1断面的伯努利方程断面的伯努利方程第七节 恒定总流的动量方程动量定理：单位时动量定理：单位时间内物体的动量的间内物体的动量的变化等于作用在该变化等于作用在该物体上的外力的总物体上的外力的总和。和。dKFdt 元

25、流动量方程-动量的变化21211 21 21 22 21 11 22 21 1()()= ()()= dm uudQdt uudKKKKKKKKK 恒定元流的动量方程21= ()dKFdQ uudt 作用在元流控制体积中液体作用在元流控制体积中液体的质量力和作用在控制面上所有面积力的的质量力和作用在控制面上所有面积力的矢量和。矢量和。F恒定总流的动量方程将元流动量的变化对总流的过水断面将元流动量的变化对总流的过水断面面积面积 A1 和和 A2 积分，可以得到总流动量的积分，可以得到总流动量的变化。变化。212121222211 AAAAdKdQdtudQdtuu u dtdAu u dtdA讨

26、论积分2Au dtdA22222222 AAAAu dtdAv dtAu dtdAu dAu dAv dtAvv A 动量校正系数是一个大于是一个大于1的数，称为动量校正系数；的数，称为动量校正系数；流速分布愈不均匀，流速分布愈不均匀， 值愈大；值愈大；均匀流或渐变流情况下，均匀流或渐变流情况下，= 1.021.05，为，为简化计算，常近似取简化计算，常近似取= 1 。恒定总流的动量方程221 1=()dKFQvvdt恒定总流中，单位时间内流出与流入控恒定总流中，单位时间内流出与流入控制体积的动量差等于制体积的动量差等于 作用在总流控制体积中作用在总流控制体积中液体的所有质量力和作用在控制面上

27、所有面液体的所有质量力和作用在控制面上所有面积力的矢量和。积力的矢量和。恒定总流的动量方程总流动量方程在总流动量方程在x，y，z轴的投影方程为轴的投影方程为221 1221 1221 1()()()xxxyyyzzzFQvvFQvvFQvv恒定总流动量方程的应用条件水流必须是水流必须是恒定流恒定流；所取的控制体积中，有动量流出和流入的所取的控制体积中，有动量流出和流入的断面是断面是均匀流过水断面均匀流过水断面或或渐变流过水断面渐变流过水断面，但控制体积中的液流可以是急变流。但控制体积中的液流可以是急变流。应用动量方程的解题步骤选取坐标系；选取坐标系；选取控制体选取控制体两个均匀流或者渐变流断面

28、之两个均匀流或者渐变流断面之间的液体；间的液体；分析控制体的受力情况；分析控制体的受力情况；沿坐标系的不同方向列动量方程，注意式中各沿坐标系的不同方向列动量方程，注意式中各项的正负号；项的正负号；未知量多于方程数时，与连续性方程和能量方未知量多于方程数时，与连续性方程和能量方程联合求解。程联合求解。例题有一水泵的压水管，其中有一有一水泵的压水管，其中有一弯段，弯段轴线位于铅垂面内，已弯段，弯段轴线位于铅垂面内，已知管径知管径 d=0.2m, 弯段长度弯段长度l=6.0m, 通通过的流量过的流量Q=0.03m3/s, 断面断面1和断面和断面2形心处的压强分别为形心处的压强分别为p1=49.0KN

29、/m2和和 p2=39.2KN/m2, 断面断面1和和2的法线的法线方向与方向与ox轴的夹角分别为轴的夹角分别为1=0和和2= 60。试计算支座所受的作用力。试计算支座所受的作用力。例题一水管将水流射至一三一水管将水流射至一三角形楔体上，并于楔体顶点角形楔体上，并于楔体顶点处沿水平面分为两股，两股处沿水平面分为两股，两股水流的方向分别与水流的方向分别与x轴成轴成30 。已知管道出口直径已知管道出口直径d=8cm，总流量总流量 Q=0.05m3/s, 每股流每股流量均为量均为Q/2。设水流通过楔。设水流通过楔体前后的流速大小不变，求体前后的流速大小不变，求水流对楔体的水平作用力。水流对楔体的水平作用力。例题 有一种冲击式水轮机的叶片角度就近似180度射流以相同的速度射流以相同的速度 v 和和 Q分别射在三块不同的挡水板上，分别射在三块不同的挡水板上，然后分成两股沿板的两侧水平射出。如果不计板面对射流的然后分成两股沿板的两侧水平射出。如果不计板面对射流的阻力，试比较三块板上作用力的大小。欲使板面的作用力达阻力，试比较三块板上作用力的大小。欲使板面的作用力达到最大，挡水板的弯曲角度到最大，挡水板的弯曲角度为多少？此时最大作用力为平为多少？此时最大作用力为平面板上作用力的几倍？面板上作用力的几倍？ 已知一射流水股直径已知一射流水股直径d,以流速为以流速为v射向直立平