概率统计：D7-4课本习题答案与提示

1、1.解解: :使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量,其结果如下（单位：mm）：232.50, 232.48, 232.15, 232.53, 232.24, 232.30,232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30试用矩估计法估计测量的真值和方差(设仪器无系统误差).122211()12 1iiSXX12111(232.5.232.48232.30)232.379.1212iiXx第七章习题答案与提示第七章习题答案与提示(18)(18) 第七章 221(232.50232.379)(232.30232.379) 110.026由矩估计法知

2、测量的真值为232.379, 方差为0.026 .2.解解: :设总体 X 的概率密度函数为36(), 0( )0,xxxf x其它12,nXXX是取自总体 X 的简单随机样本.(1) 求 的矩估计量 ;306()().2xE Xxx dx即有:(),E XX,2X令所以 的矩估计量为(2) 求(1)(2)( ).D的方差2 .X2223063()().10 xE Xxx dx22222311()()()()10220D XE XEX22()4( )(2)4205iD XDDXnnn1ln ( ; )ln.niiiL xnx对数似然函数为:上式两边对 求导数,并令导数为零,得似然方程:10.n

3、iinx1niinx解之得:3. 设12(,)nXXXX为来自总体的一个样本,指数分布,其中 0 为未知参数,X 服从,0( ;)0,0 xexf xx解解: : 似然函数为:11( ; ),0niiinxxniiiL xeex其密度函数为试求 的极大似然估计量.1.x1.X所以 的极大似然估计量为111niixn4. 设12(,)nXXXX为来自总体的一个样本,泊松分布,其中 0为未知参数,X 服从,0,1,2!xP Xxexx解解: : 似然函数为:111( ; ),!niiixxnniniiiiL xeexx11ln ( ; )()lnln!.nniiiiiL xxxn对数似然函数为:上

4、式两边对 求导数,并令导数为零,得似然方程:110.niixn.X解之得:其分布列为试求 的极大似然估计量.11.niixxn所以 的极大似然估计量为5. 设12(,)nXXX为来自总体 X 的一个样本, 分布,其中未知参数X 服从几何1(1),1,2xP Xxppx解解: :似然函数为:111( ; )(1)(1),niiinxnxniiL x ppppp1ln ( ; )ln()ln(1).niiiL x pnpxnp对数似然函数为:上式两边对p 求导数, 并令导数为零, 得似然方程:10.1niixnnpp解之得:(0,1),p1.pX所以 p 的极大试求 p 的极大似然估计量.其分布列

5、为11.1niipxn似然估计量为:6.解解: :设总体 X 的概率密度函数为:01(1)( )0 xxf x其它其中 是未知参数,12(,)nXXX为取自总体X 的随机样本,试用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量.(2)1X ，2 1011|.22x11100()(1)(1)E Xxx dxxdx即有:(),E XX1,2X令解得21.1XX未知参数 的矩估计量为:21.1XX12(1) () .nnxxx1(;)(1)niiiLxx似然函数为似然方程为11,lnniinx 解得:11lnniinx 对数似然函数为1ln0.1niinx1ln (; )ln(1)ln .niiiLxnx11

6、.lnniinX 所以未知参数 极大似然估计量为 7.解解: :设总体 X 的概率密度函数为:()( ) 0 12(,),nXXX试由总体的一个简单随机样本求 的似然函数为1(; )niiL x()0ixiiexx当时,1ln (; ).niiiL xxn 1minii nx 11min0niixnii nex 其它ln0,Ln关于单调增加,因此未知参数 的极大似然估计量为 由于ln LL或可使ln LL或达到最大,故在1minii nx 的限制下,1min.ii nX 未知,极大似然估计量.8. 设12(,)nXXX( ,1)XN为来自总体2()211( ;)2ixniiLxe的一个样本,2

7、()21( ),2xf xe求 的极大似然估计并检验其是否为无偏估计.解解: :211ln ( ;)ln(2 )() .22niiinLxx 似然函数为:211()22(2 ).niinxe对数似然函数为:由于上式两边对 求导数, 并令导数为零,得似然方程:11.niixxn解之得:1()0.niix10.niixn.X所以 的极大似然估计量为:由于( )()EE X11()niiE Xn1nn,所以是 的无偏估计量.9.设12(,)nXXX2(0,)XN为来自总体222211(;)2ixniiLxe的一个样本,22221( ),2xf xe求的极大似然估计并检验其是否为无偏估计.解解: :2

8、22211ln (;)ln(2).22niiinLxx 似然函数为:2211222(2).niinxe对数似然函数为:由于2上式两边对求导数,并令导数为零,得似然方程:224111 10.22niinx2211.niixn解之得:2211.niiXn2由于2211()()niiEEXn2所以的极大似然估计量为:所以是注注: :2()0,().E XD X2()0,().iiE XD X222()()().iiiE XD XEX依题意有:所以有:211()niiE Xn21nn2,的无偏估计量.2222221()(2733)(31 33) 18.8(m /)6 1D XSs1()(2731)33

9、(m/ )6E XXs10. 设从某快艇的6次试验数据中, 得到下列最大速度值(单位: m/s): 27, 38, 30, 37, 35, 31, 数学期望和方差的无偏估计.解解:求该快艇最大速度的该快艇最大速度的数学期望为33(m/s),方差的无偏估计为2218.8(m /).s解解: :设12211()niiikXX问k应取什么值.11.2( ,)XN 欲使为2的无偏估计,由于12(,)nXXX为取自总体 的一个样本,12(,)nXXX2( ,)XN 为取自总体 的一个样本,所以(1,2, )iXin相互独立且与总体同分布.因此有:(),iE X2(),iD X222().iE X由于(1

10、,2, )iXin相互独立,因此对任何 i j 有:2()() ().ijijE X XE X E X而1211()niiiXX122111(2)niiiiiXXXX1211() )niiiE CXX则有所以当12(1)Cn时,122111(2)niiiiiXXXX1222111122nniniiiiXXXX X122211112()()()2()nniniiiiCE XE XE XE X X222222 ()2()2(1)Cnn222(1)Cn1211()niiiCXX可使为2的无偏估计.11122111112nnniiiiiiiXX XX222222(222222)Cnnn12.估计量在7

11、.2的例7.2.4与例7.2.9中, 分别给出了0, 的均匀分布中 的矩估计量和极大似然估计量:它们是 的无偏估计吗? 若不是请修正其为解解: : 由于()(2)2 ()2,2MEEXE X2,MX1max,Lii nX 的无偏估计,个更有效 .M是 的无偏估计量. ()(2)MDDX4()D Xn并比较所得到的 的两个无偏估计哪一个 4 ()D X2412n2.3n所以 的矩为考查估计量的有效性, 先计算矩估计量的方差.再计算 的极大似然估计量.1,0,0,nnnxx其它10()dnLnnxExx所以.1nn1,LnEn1LLnn1 ()LLnDDn21,LnDn1max( )( )nfn

12、Fxf x( ).nFx1, 0( )0,xf x其它，X 在0, 服从均分布,0,0( ), 0.1,xxF xxx分布函数为其概率密度为由独立随机变量最大值的分布函数(P41.例2.5.7)可知, 在同分布的条件下,其分布函数为从而其概率密度函数为(有偏)由知是 的无偏估计量.2210()dnLnnExxx2,2nn22()() ()LLLDEE所以22222(1)nnnn22221(1) ()()(1) (2)LLnnnDDnnnn故2,n 由于M. L较有效21=.(2)n n22.(1) (2)nnn因为10()dnLnnxExx,1nn10dnnnxx2()3MDnM()(), L

13、DD知比较21(=,(2)LDn n）与所以所以1Lnn是 的无偏估计量.由于13.设12(,)nXXX2( ,)XN 为来自总体22()2211(;)2ixniiLxe的一个样本,222()21( ),2xf xe试求的极大似然估计，并验证解解: :222211ln (;)ln(2)()22niiinLxx 似然函数为:2211()222(2).niinxe对数似然函数为:由于2上式两边对求导数,并令导数为零,得似然方程:224111 1()0.22niinx2211() .niixn解之得:2，其中 已知未知它是有效估计有效估计. .（此题第一问与（此题第一问与9 9题相似，第二问超纲）题

14、相似，第二问超纲）2211() .niiXn2由于2211()() niiEEXn2所以的极大似然估计量为:所以是211() niiE Xn21nn2,的无偏估计量.222()221 ( ;),2xf xe又因为22221()ln( ;)ln2,22xf x 22ln( ;)f x2241(),22x2222ln(;)()f XIE22241()22XE424861()()442XXE44484841()1()144244E XE X24212,()RaoCramernIn由不等式知的一切无偏估计方差的下界为即：484431144244() =3E X利用定义得2211() .niiXn2对于

15、的无偏估计量:2211()()niiDDXn22121 () niiXn故极大似然估计量是总体分布未知参数的达到方差下界的无偏估计量，也就是有效估计。2211()niiD Xn42 2211() () niiiE XE Xn444212(3)nnn解解: :14. 设总体X它的分布密度函数为为来自X 的容量 n 的样本的均值，试问服从负数指数分布，1,0( ;)0,0 xexf xxXX是未知参数(0) 的有效估计吗有效估计吗？（本题超纲本题超纲）ln( ;)ln,xf x ln( ;)f x21,x2ln(; )( )f XIE221XE224312XXE2224324312122EXEX2

16、1,( )RaoCramernIn由不等式知 的一切无偏估计方差的下界为即：21211()D XDXnn而X是由于()E XEX ，所以的无偏估计量.X是所以的达到方差下界的无偏估计量，也就是有效估计。15.则 X 服从超几何分布，超几何分布，为了估计池塘中鱼的尾数， 先捕到 r 尾鱼，号后放回塘中,（每次一尾）捕到 s 尾鱼, 经检验后发现其中有 t 尾标有解解: 设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X,记号,也用此方法来近似.做上记s条鱼中出 t 条带记号的鱼的概率为()ts trN rsNCCP XtC隔一段时间后, 再从塘中有放回的依次试估计塘中有多少尾鱼？通常第二次一下捕到 s 尾（提

17、示：用极大似然估计的方法）其中N 表示池塘中鱼的条数, 是未知参数, (; )ts trN rsNCCL N tC考察相连两项的比值(; )(; )(1; )L N tA N tL Nt22()()Nrs NrsNrst N 当r sNt时,当r sNt时,rsNt即为池塘中鱼数的极大似然估计.rsNt 似然函数为()()()Nr NsN NrstA(N ; t) 1;A(N ; t) 1;因此只有在时A(N ; t) 达到最大, 220.048 ,0.048为已知.16.某厂化纤纤度(表示纤维粗细程度的一个量) X 服从 现取9根纤维, 为 1.47, 1.36, 1.49, 1.43, 1

18、.41, 1.37, 1.40, 1.32, 1.42,的置信区间. 的置信水平为解解:2( ,),N 测得其纤度求 的置信水平为0.95其中220.048 ,10.95,0.975121.96uu120.0481.4081.961.4080.0319xun1(1.471.42)1.4089x 所以 的置信水平为 0.95 的置信区间为(1.377,1.439).0.05,20.06,0.24(2)1()(14.6015.10)14.956E Xx(1) 为已知.17.某车间生产滚珠, 其直径 X 是随机变量, 从长期实践中知道 从某天产品中随机抽取 6 件, 其直径(单位:mm)14.60

19、, 15.10 ,14.90 ,14.80 ,15.20,15.10(1)估计该产品的平均直径; (2)的置信区间; (3) 若题目中2未知, 的置信水平为则 的置信水平为解解:( ,0.06).XN测得求 的置信水平为0.950.95的置信区间又是多少?10.95,0.05,0.975121.96,uu故该产品的平均直径为14.95mm. 则2120.2414.951.9614.950.1966xun(3)当12(1),sxtnn所以 的置信水平为 0.95 的置信区间为(14.754,15.146).为未知时,0.975120.226,(1)(5)2.5706stnt0.22614.952

20、.570614.950.2376此时 的置信水平为 0.95 的置信区间为(14.713,15.187).1(1250 1265 1245 1260 1275)12595x 18.用某仪器间接测量温度, 重复5次得: 1260, 1275. (C)设温度服从正态分布,进行区间估计解解:(0.05).221(1250 1259)(1275 1259) 11.944s 212(1),sxtnn为未知时,0.97512(1)(4)2.7764tnt11.9412592.77641259 14.845故温度真值置度为0.95的置信区间为(1244.16, 1273.84).1250, 1265, 12

21、45, 试对温度的真值19.铝的相对密度测量值服从正态分布， 如果测量16次，得试求铝的相对密度的区间估计.解解:(0.05).212(1),sxtnn为未知时,0.97512(1)(15)2.1315tnt0.0292.7052.13152.7050.01516故铝的相对密度的置信度为0.95的置信区间为(2.69, 2.72).2.705,0.029.XS20.设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体 X 的简单随机样本值，已知 Y = ln X 服从正态分布 N ( ,1).解解:数学期望E( X )(记为b); (2)信区间; (3) 利用上述结果求b 的置信度为0.9

22、5的置信求 的置信度为0.95的置区间.(1)求 X 的2()21()()2yYybE XE eeedy(1)21(1)2212yeedy 12e可以看成可以看成N ( +1 ,1) 的密度函数的密度函数1为已知,则 的置信水平为0.95的置信区间为0.98,0.980.050.975121.96uu12101.960.984yun 1(ln0.5ln1.25ln0.8ln2)04y (2)(3) b 的置信水平为0.95的置信区间为0.5 0.980.5 0.980.481.48(,)(,)eeee21. .对方差问需取容量n为多大的样本,解解:的置信区间的平均长度不大于 L ？ 才能使总体

23、均值 的置信水平为122uLn要使平均长度不大于 L,21方差21的置信区间为1122(,)XuXunn222124.nuL即:为已知的正态总体来说,为已知的正态总体均值 的置信水平为只需要22. 冷抽铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取10根，解解:得数据(单位：kg):求这批铜丝的方差 578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 596, 584, 572,测试折断力，2均值 未知时方差22222122(1)(1)(,).(1)(1)nSnSnn0.1220.9512(1)(9)16.919,n220.052(1)(9)3.325,n275.733,S 从而

24、均值 未知时方差 2均值 未知时标准差 的置信区间为(6.35, 14.32)和标准差 的0.9的置信区间.的置信区间为的置信区间为(40.29, 204.99)计算可得23. 设从两个相互独立正态总体分别取容量为10和12的样本, 经计算得解解:试求 12 的置信水平为0.95的区间估计.221122(,),(,),NN 方差未知（超纲或补条件）的均值 差12 的从而12的置信区间为(8.892,0.892)1220,24,XX125,6,SS 0 120 12,xys tlxys tl2220/= 5.5xyssmsn404422=19.9982011yxslssmmnn其中0.975(2

25、0)2.0860t的置信区间为11221 11 1()(2), ()(2)WWX Ytm nSX Ytm nSm nm n 2212(1)(1).2WmSnSSmn其中从而方差未知且相等的均值差的置信区间为(8.976,0.976)2120,24,10,12,25XYmmS220.97512(2)36,(20) 2.0860Stm nt 方差未知且相等相等(加条件加条件)的均值 差12 的置信区间为:24. 从某地区随机地抽取男,女各100名, 以估计男女平为0.035m,解解:试求男,女身高平均数之差的区间估计 方差未知, 样本 量大的均值差12 的置信区间为22221212121211121222(,)SSSSXXuXXunnnn从而男女身高 平均数之差的置信区间为(0.