第三讲：静电场与物质相互作用

1、静电场与物质的相互作用 叶邦角叶邦角一、带电体系的受力二、 导体表面作用力三、电介质的极化四、漏电介质五、唯一性定理与电像法一、带电体系的受力（1）虚功原理 一个孤立系统在满足能量守恒的条件下，一个孤立系统在满足能量守恒的条件下，所经历的虚拟过程，所做的功等于系统的能所经历的虚拟过程，所做的功等于系统的能量减少。量减少。lWFlWlF0 ,第第i个带电体，在个带电体，在qi不变的情况下，受力：不变的情况下，受力： qeiWrF)(（2）绝缘孤立带电体（q不变） qieizqieiyqieixzWFyWFxWF或或： 绕某点转动，则绕某点转动，则： qeiiWLLA ,则（3）非孤立带电体（U不

2、变）存在外界电源，使各导体存在外界电源，使各导体Uj不变，不变，AAWUe)(jjjUejjjeNjjjqUWUqWqUA21)( ,21 ,1外电源对系统做功外电源对系统做功UejjUeWqUWAA)(21)(同理，同理，iiiLArFA ,或UieiUieizUieiyUieixWLzWFyWFxWF所以有所以有两组的公式不同，是两组的公式不同，是因为进行的虚拟过程因为进行的虚拟过程不同，但都满足守恒不同，但都满足守恒律，因而其结果是相律，因而其结果是相同的。同的。xSCUUU0 ,202212121 )(21)(21UxSCUqUUUqUqqUWe220120122exqWSqFUxSx

3、 2021UxSWe21xxFF 20222exUWSFUxx 【例例】中间极板带电荷中间极板带电荷Q, 能不漏气地沿能不漏气地沿壁滑动壁滑动, 该板两边空气的初始压强为该板两边空气的初始压强为p0, 求该板处于稳定平衡时的求该板处于稳定平衡时的x值值.【解解】电容器两边接地电容器两边接地,因此可视为左右因此可视为左右2个电容器个电容器C1和和C2并联并联, 当中间板位于当中间板位于x处处时时, 总电容总电容:)(2)()(2200021xLSLxLSxLSCCCSLxLQCQWe4)(2122202故系统总的静电能为故系统总的静电能为:中间极板受到的静电力可由虚功原理求得中间极板受到的静电力

4、可由虚功原理求得:SLxQxWFee202Fe0, 表明力沿表明力沿x增加方向增加方向. 其次其次, 由于导体是良好的导热体由于导体是良好的导热体,因此中间极因此中间极板移动过程可视为等温过程板移动过程可视为等温过程, 设左右极板两边的设左右极板两边的压强分别为压强分别为p1, p2, 则有则有:xLLppxLLpp0201, 当板处于中间时当板处于中间时, 静电力与左、右压静电力与左、右压力相互平衡力相互平衡, 即即:SppFe)(122200222xLLxSpSLxQ202041QSpLx讨论讨论Q满足满足的条件的条件 此外必须有此外必须有:2020410p SQ即即:002pQS【例例】

5、一空气平行板电容器极板的面积都是一空气平行板电容器极板的面积都是a*b,相相距为距为d，充电到电压充电到电压U时断开电源，再将介电常数时断开电源，再将介电常数为为 的介质充满两极板间，略去边缘效应，求引的介质充满两极板间，略去边缘效应，求引入介质前后的静电能之差，并证明这能量差等于入介质前后的静电能之差，并证明这能量差等于电场力所做的功。电场力所做的功。【解解】未引入介质时电未引入介质时电容器的电容和电荷为：容器的电容和电荷为：dabC00dabUUCQ00静电场储存的能量为静电场储存的能量为dabUUCW22120200引入介质后，电容为：引入介质后，电容为：dabC总电量总电量Q不变，故能

6、量为：不变，故能量为：dabUdabUabdCQW2)(2220202能量差为：能量差为：dabUWWW2)(000 W0表明插入介质后，静电能减少了。表明插入介质后，静电能减少了。介质进入电容介质进入电容x后，总电容值为：后，总电容值为：dxabCCC)(0021总电量不变，故储存的总能量为：总电量不变，故储存的总能量为：20002)(22dabUxabdCQWx作用在介质上的电场力为作用在介质上的电场力为2000222)()(20 xadbUaxWFxxxadbUa)(12 002220电场力所作的功为：电场力所作的功为：222000020000()22()aaa bUabUAFdxdxd

7、dax 所以，所以，WA电场力所做的功等于静电能的减少值。电场力所做的功等于静电能的减少值。【例例】一平行板电容器两极板的面积都是一平行板电容器两极板的面积都是S，相距相距为为d，中间有一块厚度为中间有一块厚度为t，介电常数为介电常数为 r的平行的平行介质平板，接通开关，使电容器充电到电压为介质平板，接通开关，使电容器充电到电压为U，略去边缘效应。（略去边缘效应。（1）断开电源，把介质板抽出，）断开电源，把介质板抽出，试问需要做多少功？（试问需要做多少功？（2）如果在不断开电源的）如果在不断开电源的情况下抽出介质板，则需做多少功？情况下抽出介质板，则需做多少功？【解解】（1）断开电源，电容器两

8、极板的电荷总）断开电源，电容器两极板的电荷总量量Q不变不变,介质板未抽出时介质板未抽出时, 其电场强度为：其电场强度为：0 ( QEnSQEnS介质外）（介质内） tdttdStdSUQCrrr) 1()(000CQW22电容器的储存电容器的储存的能量为的能量为：000()() QQUdttSSdttQS电势差为：电势差为：电容为：电容为：dSC00电介质抽出后，电容器的电容为电介质抽出后，电容器的电容为：这时电容器的储存的能量为这时电容器的储存的能量为0202CQW 电介质抽出后，电容器所储存的静电能量的增量为：电介质抽出后，电容器所储存的静电能量的增量为：220000(1)11()22rr

9、rdtQQdWWWCCSS 22000(1)(1)Q1 22(1)rrrrrrrSUttSdtS 202(1) 2(1)rrrrtSUdt W0表示抽出介质板后，电容器储存的能量增加表示抽出介质板后，电容器储存的能量增加了，这部分能量来自于抽出介质板时外力所做的了，这部分能量来自于抽出介质板时外力所做的功，故在断开电源的条件下，抽出介质板时外力功，故在断开电源的条件下，抽出介质板时外力所做的功为：所做的功为：220) 1(2) 1( tdtSUWArrrr（2）不断开电源，两极板间的电势差不断开电源，两极板间的电势差U不变，抽出不变，抽出电介质后电容器的电荷量为电介质后电容器的电荷量为：UCQ

10、00故抽出电介质后，电容器的电荷增量为：故抽出电介质后，电容器的电荷增量为：dtdtSUtdSdSUCCQQQrrrrrr) 1() 1( ) 1()(00000 Q0表示抽出介质时，有电荷从电容器流向电表示抽出介质时，有电荷从电容器流向电源，因此，也就伴有相应的能量源，因此，也就伴有相应的能量 WB从电容器流从电容器流向电源向电源:dtdtSUUQWrrrB) 1() 1()(20抽出介质后抽出介质后，电容器所储存的能量增量为：电容器所储存的能量增量为：dtdtSUUtdSdSUCCWWWrrrrrrC) 1( 2) 1( ) 1(21)(2120200200 W0表示抽出介质板后，系统的能

11、量增加表示抽出介质板后，系统的能量增加了，所增加的能量来自于抽出介质板时外了，所增加的能量来自于抽出介质板时外力所做的功，故在不断开电源的条件下，力所做的功，故在不断开电源的条件下，抽出介质板时外力所做的功为：抽出介质板时外力所做的功为：dtdtSUWArrr) 1(2) 1(20 平行板电容器平行板电容器2022021 ,2UxSWUxSFex又二、 导体表面作用力引）号表示两极板间相互吸(- , xWFexSxwVwWeee 又SwFex exxwSFf单位面积上的力为单位面积上的力为： 该力的方向总是从导体向外，即每个带电导该力的方向总是从导体向外，即每个带电导体表面存在向外的拉力，大小

12、等于导体表面上的体表面存在向外的拉力，大小等于导体表面上的能量密度，该式虽然从平板电容器导出，但它是能量密度，该式虽然从平板电容器导出，但它是普遍正确的。普遍正确的。FxnEEwfEeeexe21221 , 02200SeSxSSfF2021整个导体面上的力为整个导体面上的力为：注意：注意：|单位面积上的力为单位面积上的力为1/2 E, 不是不是 E；|F是矢量式。是矢量式。【例例】一水平的无穷大导体面上放有一个薄一水平的无穷大导体面上放有一个薄的均匀金属盘的均匀金属盘. 起始不带电起始不带电, 然后慢慢充然后慢慢充电电.求电荷密度多大时金属离开平面求电荷密度多大时金属离开平面.SSfFSx2

13、021【解解】设金属盘的质量和面积分别为设金属盘的质量和面积分别为m和和S, 导体的电荷密度为导体的电荷密度为 时时, 空间电空间电场为场为:E盘受到的作用力为盘受到的作用力为:要使盘升起要使盘升起, 必须必须mgF 所以所以:smg/20【例例】“乒乓式乒乓式”电容器电容器一个电容器由两块半径为一个电容器由两块半径为R的平行圆盘组成，间距为的平行圆盘组成，间距为d(dR)，上盘连接一电压为，上盘连接一电压为V的直流恒压源，下盘放的直流恒压源，下盘放一个小薄园片，质量为一个小薄园片，质量为m，半径为，半径为r(r Vth时时, 小圆片上下运动，加上碰撞小圆片上下运动，加上碰撞是非弹性的，恢复系

14、数是非弹性的，恢复系数h h=v后后/v前前，小圆盘多次碰，小圆盘多次碰撞底部得到一个稳定速度，求该速度；撞底部得到一个稳定速度，求该速度；（5）达到稳定后通过电容器的）达到稳定后通过电容器的 电流电流I; (6)当电压缓慢减少时，存在一个临界电压当电压缓慢减少时，存在一个临界电压Vc，低，低于这个电压电荷将停止流动，求这个电压。于这个电压电荷将停止流动，求这个电压。【解】（1）220111222eSWqUCUUx22022eUx dWRFUxd 使用虚功原理使用虚功原理（2）由高斯定律：）由高斯定律：01iESq闭合曲面SS内20qr EqxV20rxd 20Vqrd （3）小圆片上合力为：

15、）小圆片上合力为：22202122erxFmgFmgVmgVdd欲使小圆片上合力大于零，必须欲使小圆片上合力大于零，必须2thmgdVx202xVmgd(4)小圆片多次碰撞底部后保持匀速小圆片多次碰撞底部后保持匀速vs，底部提供使，底部提供使小圆片保持稳定的动能为：小圆片保持稳定的动能为：212sskmv每次碰撞后，小圆片获得的电能为：每次碰撞后，小圆片获得的电能为：2WqV每次碰撞后，小圆片损失的动能为：每次碰撞后，小圆片损失的动能为：22111kkkkkhh 后后前前（）（） 设设ks为碰撞底盘后的动能，则为碰撞底盘后的动能，则 skqVmgd为到达顶部碰撞前的能量，每完成一次能量损失为为

16、到达顶部碰撞前的能量，每完成一次能量损失为 k,则则221(1)(1)()sskkkqVmgdhh 达到稳定，必须有：达到稳定，必须有：kW 222422222(1)(1)11112sskqVmgdqVmgdmvhhhhhhhh2212(1)(1)()ssqVkkqVmgdhh2222222(2)11sxVvgdmVhhhh【例例】一个半径为一个半径为R带电量为带电量为q的球形导体，被的球形导体，被切成两半，求两半球的相互作用力。切成两半，求两半球的相互作用力。SEF2021【解解】由对称性由对称性0yFSEFxcos21202024 ,sin2 Rq ERS又2022/020232sinco

17、s16RqRqFFFxx21)22cos0(cos41)2(2sin41sincos2/02/0【例例】一带电的肥皂泡半径为一带电的肥皂泡半径为R，电势为电势为U，肥皂肥皂水的表面张力系数为水的表面张力系数为 ，当吹肥皂泡的小管当吹肥皂泡的小管与大气相通时，泡内外的空气压强相等，与大气相通时，泡内外的空气压强相等，设这时肥皂泡处于稳定状态，略去小管的设这时肥皂泡处于稳定状态，略去小管的影响，求影响，求R、U和和 之间的关系。之间的关系。【解解】设肥皂泡的电量为设肥皂泡的电量为q，则由：则由：RqU04因电荷面密度为：因电荷面密度为：RURq024当肥皂泡不带电时，内外压强差为：当肥皂泡不带电时

18、，内外压强差为：RPPoi4由于带电，表面单位面积受到的张力为由于带电，表面单位面积受到的张力为：nf022n是外法线单位矢量，故总的内外压强差为：是外法线单位矢量，故总的内外压强差为：0224Rppoi因肥皂泡内外压强相同，故：因肥皂泡内外压强相同，故：oipp所以：所以：0224R或：或：UR08【拓展题拓展题】肥皂泡原不带电，现要使半径增大一肥皂泡原不带电，现要使半径增大一倍，则应带的电量为多少？倍，则应带的电量为多少？0224Rppoi【解解】因未带电时：因未带电时：其中：其中：2)2(4RQRPPoi433)2(RpRpii温度不变，则温度不变，则VpVpii即：即：8iipp 解之

19、得：解之得：)127(830pRRQ【例例】一电容器质量一电容器质量M，由相距为，由相距为d的两平行板的两平行板组成，垂直放入相对介电常数为组成，垂直放入相对介电常数为 r，密度为，密度为r r的的介质液中，求下面两种情况下液面上升的高度：介质液中，求下面两种情况下液面上升的高度：（1）电容器与电源相接，维持电压为）电容器与电源相接，维持电压为V；（2）电容器与电源断开，维持电量为）电容器与电源断开，维持电量为Q（只须（只须给出给出h与与x的表达式）的表达式）。000()(1)rrbxbax bCxaddd 解解:电压不变：电压不变： 则由虚功原理：则由虚功原理：22201()(1)1222r

20、CVbVWCFVxxxd20(1)2rbVghbddr202(1)2rVhgdr2222201(/)(1)222(1)rrQCdQWQCFxxCxbxa （2）电量）电量Q不变，则：不变，则：平衡时液面上升高为：平衡时液面上升高为：220(1)2(1)rrQhgbxar 【例例】一半径为一半径为a的绝缘导体球的绝缘导体球, 球心与一球心与一无限穷大导体平面相距为无限穷大导体平面相距为z, 设设za.(1)求球和平面之间的电容的首项求球和平面之间的电容的首项.(2)求球和平面之间的电容的一阶修正项求球和平面之间的电容的一阶修正项;(3)当球带电为当球带电为Q时时,将球与导体平面完全分将球与导体平

21、面完全分离需提供多少的能量离需提供多少的能量?【解解】(a) 对于首项对于首项,可以认为球与导体平面可以认为球与导体平面相距无限远相距无限远, 即为孤立导体球的电容即为孤立导体球的电容:04Ca(b) 为求一阶修正项为求一阶修正项, 设导体球带电为设导体球带电为Q,因而导体因而导体板上另一侧的镜像电荷为板上另一侧的镜像电荷为-Q,空间沿两电荷连空间沿两电荷连线方向上的电场为线方向上的电场为:22004()4()QQEzhzh000004()4()z az az aQQVEdhzhzh00114242QaQaazaaz001441212QaCaaaVzz所以所以,一阶修正项为一阶修正项为:202

22、aCz(c)两个相距为两个相距为2z的点电荷之间的作用力为的点电荷之间的作用力为:22042 )QFz（将球移至无限远所做的功为将球移至无限远所做的功为:2212001616zzQQWFdzdzzz而把两个相距为而把两个相距为z的导体球分离所做的功为的导体球分离所做的功为:2221200248zzQQWFdzdrWrzWhy?三、电介质及其极化若电存器两极板之间为真空时，电容器的电容若电存器两极板之间为真空时，电容器的电容为为C0，当电容器内部充满同一种均匀的电介质，当电容器内部充满同一种均匀的电介质后，则电容改变为后，则电容改变为C，有，有rCC0极化时，介质的边缘出现极化电荷极化时，介质的

23、边缘出现极化电荷1.极化强度当场强不太强时，极化强度当场强不太强时，极化强度P与介质中的场与介质中的场强强E成正比，方向相同，即成正比，方向相同，即EPr) 1(02.极化电荷两种极化介质的交界面上，或者在介质的表面两种极化介质的交界面上，或者在介质的表面（实际上是介质与真空的交界面）上，存在面（实际上是介质与真空的交界面）上，存在面分布的极化电荷。分布的极化电荷。若两种极化强度分别为若两种极化强度分别为P1和和P2的电介质，假定的电介质，假定极化强度在每一种电介质中都是位置的连续函极化强度在每一种电介质中都是位置的连续函数，仅在两种介质的交界面上才发生突变。数，仅在两种介质的交界面上才发生突

24、变。柱体内的极化电荷的柱体内的极化电荷的电量为：电量为：112212()()ppQPSPSPPe SS 1212()pnnPPePP讨 论若若P1P2，则，则 p0，即交界面上有正的极化电荷，即交界面上有正的极化电荷若若P1P2，则，则 p 0，交界面上有负的极化电荷，交界面上有负的极化电荷当当P1=P2，即法向分量在交界面上连续时，交界面，即法向分量在交界面上连续时，交界面上无极化电荷。上无极化电荷。若第二种介质是真空，则若第二种介质是真空，则P2=0，由介质指向真空，由介质指向真空，这时这时即在介质与真空的交界面上，极化电荷的面密度等即在介质与真空的交界面上，极化电荷的面密度等于极化强度的

25、法向分量。于极化强度的法向分量。cosPPnp, 00r0r电介质内，若电介质内，若 则，则， 极化电荷只极化电荷只分布在均匀介质表面。分布在均匀介质表面。极化电荷与自由电荷的关系3. 电容器内的电场强度平板电容器中的电介质平板电容器中的电介质EPEr10PpEEEEEr) 1(00rEE0【例例】在无限大的均匀介质中，有一电量为在无限大的均匀介质中，有一电量为qf的均匀的均匀带电球置于其中，球的半径为带电球置于其中，球的半径为R，求介质中的场强。，求介质中的场强。【解解】自由电荷在球外自由电荷在球外单独产生的电场强度单独产生的电场强度为：为：极化电荷出现在球面与介质的分界面和无限远处的极化电

26、荷出现在球面与介质的分界面和无限远处的介质表面上，因为无限远处的极化电荷对介质表面上，因为无限远处的极化电荷对A点的场可点的场可以忽略，故极化电荷在以忽略，故极化电荷在A点的场强为：点的场强为：rpperqE2041r2f0ferq41E RArc c)() 1(444 0222RERPRRqrnpp而r2pf0pferqq41EEE 2pf0RrRqq41rERE )()(frrpqq1于是介质中的电场强度为：于是介质中的电场强度为：)(1(pfrpqqq有有解之得：解之得：rfrerqE2041frEE1 所以所以r2f0ferq41E 与与Ef比较比较得得【例例】平板电容器内充满平板电容

27、器内充满2层均匀介质，厚度分层均匀介质，厚度分别为别为d1和和d2，相对介电常数为相对介电常数为 1和和 2，电容器所电容器所加电压为加电压为U，求求（1）电容器的电容；（电容器的电容；（2）介质）介质分界面的极化电荷面密度。分界面的极化电荷面密度。电容器相当于两个电容串联，则总电容为电容器相当于两个电容串联，则总电容为：2121CCCCC其中：其中： , ,22021101dSCdSC代入，有：代入，有：001212effSSCddd1212effddd极板上所带自由电荷的电量极板上所带自由电荷的电量Q0为：为：221100ddU又，又，20022021001101dCSEdCSE22110

28、0ddSUCUQ20221011CQdECQdE02020101 ,EE电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：可以解得：可以解得：220211011 ,1两种介质的分界面的极化电荷密度为：两种介质的分界面的极化电荷密度为：21120211202211021)( 1111ddUttdttddSttdddSttdSdSCCC000000021)()2(2)(12)(22【例】球形电容器充满两种介质，分界面球形电容器充满两种介质，分界面半径为半径为d, 求电容以及介质分界面的极求电容以及介质分界面的极化电荷密度。化电荷密度。【解解】：分界面为等势面，分界面为等势

29、面，自由电荷自由电荷q0产生的场强为产生的场强为：在介质中在介质中：所以，电容值为：所以，电容值为：)( ,4) 1() 1()( ,4) 1() 1(2222220212111101RrderEPdrRerEPrr极化强度：极化强度：极化电荷面密度：极化电荷面密度： ,4) 1( ,4) 1(4) 1( ,4) 1(22222 2222222111 121111121RPdPdPRPRrdrdrRr在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：)(41212122 1d一个球形电容器可看成一个球形电容器可看成2个半个半球形电容器并联而成，因为：球形电容器并联而成

30、，因为：1221212210122RRRRCRRRRC1221021)(2RRRRCCC【例例】两块导体嵌入电导两块导体嵌入电导率为率为 , 介电常数为介电常数为 的的无限大介质中无限大介质中, 已知两已知两导体之间的电阻为导体之间的电阻为R, 求导体间的电容求导体间的电容.【解解】设导体分别带设导体分别带+Q,-Q, 任取一高斯面包围任取一高斯面包围+Q导体导体, 则流出该导体的电流为则流出该导体的电流为:QSESESjISSS四、漏电介质QRIRURUQC由欧姆定理由欧姆定理:故导体间的电容为故导体间的电容为:【例例】一平行板电容器两极板的面积为一平行板电容器两极板的面积为S，两板间充满两

31、两板间充满两层均匀介质，它们的厚度为层均匀介质，它们的厚度为d1和和d2，相对介电常数为相对介电常数为 1和和 2，电导率为电导率为 1和和 2，当两极板间加电势差当两极板间加电势差U时，时，略去边缘效应，试求略去边缘效应，试求（1）两介质中的）两介质中的E;（2）通过电）通过电容器中的电流容器中的电流 ；（；（3）介质分界面的电荷面密度介质分界面的电荷面密度.【解解】（1）两极板间的电阻为：）两极板间的电阻为：SddSdSdR2121122211（2）通过电容器的电流为：）通过电容器的电流为：211221ddSURUI电场强度为：电场强度为：电流密度为：电流密度为：122112UIjSdd

32、0121011211202120222112(1)1(1)1UPEddUPEdd （）（）交界面的极化电荷面密度为：交界面的极化电荷面密度为：12210122112(1)(1)UPPdd 交界面的总电荷面密度为：交界面的总电荷面密度为：21122112UEEdd交界面的自由电荷面密度为：交界面的自由电荷面密度为：0 【例例】一对半径为一对半径为a和和b（a0区域的电场强度为：区域的电场强度为：x0区域的势为：区域的势为： 232220 xnzyd2qdzy0EE/),( 2/322202zydqdEnsqSqssr导体表面的电场强度为：导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面

33、的感应电荷面密度为：导体表面的总感应电荷为：导体表面的总感应电荷为：点电荷所受的力点电荷所受的力 需计算需计算q0所在处所在处由感应电荷由感应电荷所产生的电场强度所产生的电场强度直角导体平面形成区域中点电荷的镜像直角导体平面形成区域中点电荷的镜像【例例】一无限大金属平板上悬挂一弹簧振子一无限大金属平板上悬挂一弹簧振子, 弹性系数为弹性系数为k, 其质量为其质量为m, 带电荷带电荷q. 起始起始单簧振子处于平衡状态单簧振子处于平衡状态, 若使振子向下偏若使振子向下偏离一小位置离一小位置x, 求其振动周期求其振动周期.【解解】弹簧平衡时长度为弹簧平衡时长度为:eFmgkx020220216)2(4

34、hqhqFe202016khqkmgx当弹簧向下拉当弹簧向下拉x时时, 其力为其力为:02020202)(16)()(16kxmgxhqkxxxkxhqmgF20220()16(1/ )qkxmgkxhx h 3028hqkk所以所以, 振动周期为振动周期为:)8(22302hqkmkmT222220016(1/ )16qqkxhx hh 2222002(1)1616qxqkxhhh 2308q xkxk xh 2.点电荷对导体球面的镜像qqPARRrdda 球面上：球面上：Us=0，设置镜像位置，设置镜像位置da区域的电势：区域的电势：ra区域的电场强度：区域的电场强度：导体表面的电荷密度导

35、体表面的电荷密度 )cos2(4)(2/322220 addaaadqEns（1）点电荷所受到导体球的作用力？）点电荷所受到导体球的作用力？（2）点电荷放置在球内，问题又如何？）点电荷放置在球内，问题又如何？（3）导体球不接地，如何处理该问题？）导体球不接地，如何处理该问题？其它问题：其它问题： 球既不带电，又不接地， 球外有一点电荷q。 像电荷：像电荷：q=-(a/d)q，位置为：位置为：x=a2/d 球面上另有一均匀分布电荷，球面上另有一均匀分布电荷， q=(a/d)q. 既满足球面总电荷为零，也满足球面是等势既满足球面总电荷为零，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠

36、面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。加而成。(2)球带电Q，但不接地， 球外有一点电荷q。 像电荷：像电荷：q=-(a/d)q，位置为：位置为：x=a2/d 球面上另有一均匀分布电荷，球面上另有一均匀分布电荷， Q-q。 这样既满足球面总电荷为这样既满足球面总电荷为Q，也满足球面是等势也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。而成。 球外点电荷球外点电荷q所受导体球所受导体球Q的作用力取决于导体的作用力取决于导体球球Q在该点的电场强度。于是，总电量为在该点的电场强度。于是，总电量为Q的导体的导体球在球外点电荷球在

37、球外点电荷q处的电场强度为：处的电场强度为：为使导体球在静电平衡时受到q的作用力吸引，试确定q的取值范围。20204)(4dqQxdqE点电荷点电荷q所受作用力为：所受作用力为： 2200()4()4q qQq qFdxd把把x和和q 代入上式，得：代入上式，得： QaddqaaddqF22232220)()2(4 当当F0时，为斥力；当时，为斥力；当F0时，为吸引力为时，为吸引力为使使F0，要求上式右边方括号中的量为正值，即要求上式右边方括号中的量为正值，即要求：要求：Qaadaddq322222)2()(3) 球不带电, 但却有一固定的电势U， 球外有一点电荷q。 像电荷：像电荷：q=-(

38、a/d)q，位置为：，位置为：x=a2/d 球面上另有一均匀分布的电荷球面上另有一均匀分布的电荷:aq/d. 球心处上另有一像电荷：球心处上另有一像电荷：Q=40RU aq/d 这样满足球面是等势面，电势为这样满足球面是等势面，电势为U，又不带电，又不带电，由唯一性定理知，球外的电势由四个电荷叠加而成。由唯一性定理知，球外的电势由四个电荷叠加而成。3.线电荷对导体圆柱面的镜像PARRrdda , dad2柱外任一点的电势为：柱外任一点的电势为：ln2ln200daRadRU导体柱表面的电势为零，即：导体柱表面的电势为零，即：)cos2(ln)cos2(ln2/1222/122daaddaada

39、dda满足任意满足任意 的解为：的解为：【例例】两个半径同为两个半径同为R的导体球相互接触，形成的导体球相互接触，形成孤立双导体系统。求此系统的电容值。孤立双导体系统。求此系统的电容值。【解解】孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的比比 值值。当系统带电量给定后当系统带电量给定后, 设法确定其电势设法确定其电势, 便得到系便得到系统的电容。或者统的电容。或者, 当系统电势给定后当系统电势给定后, 设法确定其带电量设法确定其带电量, 同样可得到系统的电容。同样可得到系统的电容。 此此题题两个相互接触的导体球两个相互接触的导体球 , 存在相互感应的问题

40、存在相互感应的问题, 因此因此, 不管采用何种方法不管采用何种方法, 均需连续使用镜像法均需连续使用镜像法, 逐次逼近。逐次逼近。处理中利用的镜像法处理中利用的镜像法, 涉及一个半径为涉及一个半径为R的接地导体球的接地导体球 , 以及球外离球心距离为以及球外离球心距离为 d 的一个带电量为的一个带电量为Q的点电荷系的点电荷系统。在导体球电势为零的条件下统。在导体球电势为零的条件下, 导体球上感应电荷的效导体球上感应电荷的效果可以等价于球内假想的像电荷的效果果可以等价于球内假想的像电荷的效果, 此像电荷带电量此像电荷带电量和它在系统对称轴线上离球心距离分别为和它在系统对称轴线上离球心距离分别为：

41、04qRU21, RRqqxdd RRRxqqRRq21221222112RxRRxqqxRRq3223122231223RxRRxqqxRRq4324123241334 如此不断继续如此不断继续, 直至每个导体球内引直至每个导体球内引入入n个点个点电荷电荷 ( n), 以维持电势以维持电势U0不变。从上不变。从上面面几个几个像电荷电量表达式像电荷电量表达式, 很容易联想到很容易联想到, 当当n时时, qn0。从而得。从而得到到在系统电势保持在系统电势保持 U0 的条件下的条件下, 系统系统 (两球两球) 的总带电量为的总带电量为:2ln82ln2q )4131211 (2)(2001121R

42、UqqqQ因此得到相互接触孤立等半径导体系统的电容为因此得到相互接触孤立等半径导体系统的电容为： 2ln800RUQC【拓展题拓展题】半径为半径为R的接地导体球外有一电偶的接地导体球外有一电偶极子极子p=2ql, 设偶极子的轴线通过球心设偶极子的轴线通过球心,距离距离为为L. 求电偶极子产生的电场求电偶极子产生的电场.qlddepz2 ,) ,( : ); ,( : ;:2221lLRqlLRqlLRqlLRq-q: L-llLq因因Ll:)1 (11LlLlL2222222221 2 ;2LlRLRLRdqLRqLlRLRLRdqLRq位置：；位置：LRLadqpLReLlRqLRpz223

43、322 : ; 2位置点电荷：电偶极子：等效于321EEEEA【拓展题拓展题】半径为半径为R的导体球的导体球1.接地接地; 2.电电势为势为U下悬挂一弹簧振子下悬挂一弹簧振子, 弹性系数为弹性系数为k, 其质量为其质量为m, 带电荷带电荷q. 求振子在平衡点作微求振子在平衡点作微小振动的周期小振动的周期. 【例例】如图所示，两块足够大的接地导体平面如图所示，两块足够大的接地导体平面A和和B平行竖直放置，相距平行竖直放置，相距2d，d10cm在两板之在两板之间的中央位置，用长间的中央位置，用长l1m的绝缘细线悬挂一个的绝缘细线悬挂一个质量质量m=0. .1g；电量电量q=510-9C的小摆球，让小的小摆球，让小摆球稍稍偏离平衡位置后释放，使之小角度摆摆球稍稍偏离平衡位置后释放，使之小角度摆动。忽略各种电磁阻尼和空气阻尼试求小球动。忽略各种电磁阻尼和空气阻尼试求小球的摆动周期的摆动周期T。 【解解】 当带电摆球偏离中央位置时，也有相应的左、当带电摆球偏离中央位置时，也有相应的左、右无限系列的镜像点电荷。取小球的中央位置为原点，右无限系列的镜像点电荷。取小球的中央位置为原点，取水平向右为取水平向右为x轴则当带电摆球在轴则当带电摆球在x位置时，各镜像位置