巧用比例性质解题指导

1、.巧用比例性质，解证比例线段比例的三条性质，是相似形中证明比例线段问题的基本依据，若能灵活加以应用，则可减少思维障碍，迅速打开解题突破口。1        巧用基本性质   “三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。它是根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式，找出其中包含的几个字母，是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。    例1、如图1，在RtABC中，BAC=，AB=AC，D为BC中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若FGE=，

2、（1）求证：BD·BC=BG·BE；（2）求证：AGBE；（3）若E为AC的中点，求EFFD的值。分析：（）将待证的等积式化为比例式：，横看：比例式的两个分子为B、D、E三点，两个分母为B、G、C三点，均不能构成相似三角形；竖看：比例式左端BD、BG构成BDG，右端BE、BC构成BEC，依“三点形法”只需证BDGBEC；（2）、（3）分析略。在运用“三点形法”时，首先要化等积式为比例式，然后再横看看、竖看看，找到相似三角形进而证明。但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法”，此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明：11  等线段转化法例2、如图2，ABC中

3、，AB=AC，AD是中线，P为AD上一点，过点C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：=PE·PF分析：线段BP、PE、PF在同一条直线BE上，无法用相似三角形来证明。连结PC，可得BP=PC，故可用PC来替换BP。证明：连结PC，ABC中，AB=AC，AD是中线AP平分BAC ，BAP=CAP   BAPCAP， BP=CP，ABP=ACP又CFABABP=FACP=FPCFPEC，=PE·PF而 BP=CP=PE·PF将某线段用与其相等的线段替换，以便能构成相似三角形，这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。12 

4、等积转化法例3、如图3，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，求证：AE·AB=AF·AC    分析：待证结论中的线段虽然能构成ABC与AEF，但不能找到相似条件。注意到题目中的垂直关系较多，联系课本中的“母子相似形”这一基本图形的有关结论，可将待证结论转化。证明：ADBC， DEABRtADBRtAED，=AB·AE同理，=AF·ACAE·AB=AF·AC“母子相似形”这一基本图形是教材中的例题，它的基本结论有如下几个：如图，在RtABC中CDAB于D，则有  ABCACDC

5、BD  =BD·AD，=AD·AB，=BD·AB CD·AB= BC·AC要特别注意这些结论的灵活运用。13  等比转化法例4、已知如图4,CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F，求证：ACBC=DFCF    分析：将结论改写为：，横看，分子不能构成两个三角形；竖看，虽依“三点形法”有ABC与DCF，但它们显然不相似，只能另寻突破口。注意到“母子相似形”这一重要的基本图形，有，故只需证，即证FDCFAD。    证明：在RtABC中

6、，CDABB=ACD，ACDCBD  又E为RtCDB中BC的中点DE=BE=CE，B=EDB=ADFFDCFAD   即ACBC=DFCF以上几种方法都是利用比例的基本性质对待证结论进行的等价转化,这种转化是相似形中最常用的一种变形。2        巧用合比性质    当待证结论经转化后，其形式与合比性质相似，这时应再次运用合比性质将结论进一步转化，直至找到相似三角形。例5、已知如图5,在ABC中，AD为BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交B

7、C的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF分析：欲证：DC·DF=BD·CF即证：即证：若连结AF，则AF=DF故即证：只需证FABFCA证明：连结AF，则AF=DF，FAD=FDAAD平分BACBAD=CAD又FAD=CAD+CAF，FDA=B+BADB=CAFFABFCA，以下证明略。3        巧用等比性质例6、如图6，I是ABC三个内角平分线的交点，AI交对边于D，求证：分析：观察等式右边，可用合比性质或等比性质转化。但若用合比性质进行转化，左边不易转化，故考虑用等比性质转化待证结论。欲证：即证：由于BI、CI分别平分ABC、ACB，故有：由等比性质，得证。注：