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1、.习题8-7 1. 求函数z=x2+y2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点的方向的方向导数. 解 因为从点(1, 2)到点的向量为, 故 . 又因为 , , 故所求方向导数为 . 2. 求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数. 解 方程y2=4x两边对x求导得2yy¢=4, 解得. 在抛物线y2=4x上点(1, 2)处, 切线的斜率为y¢(1)=1, 切向量为l=(1, 1), 单位切向量为. 又因为 , , 故所求方向导数为 . 3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数. 解 令

2、, 则, . 从而点(x, y)处的法向量为 . 在处的内法向量为 , 单位内法向量为 . 又因为 , , 所以 . 4. 求函数u=xy2+z3-xyz在点(1, 1, 2)处沿方向角为, , 的方向的方向导数. 解 因为方向向量为 , 又因为 , , , 所以 . 5. 求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数. 解 因为 l=(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12), , 并且 , , , 所以 . 6. 求函数u=x2+y2+z2在曲线x=t, y=t2, z=t3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正

3、方向(对应于t增大的方向)的方向导. 解 曲线x=t, y=t2, z=t3上点(1, 1, 1)对应的参数为t=1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为 , , 又 , , , 所以 . 7. 求函数u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1上点(x0, y0, z0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数. 解 令F(x, y, z)=x2+y2+z2-1, 则球面x2+y2+z2=1在点(x0, y0, z0)处的外法向量为 , , 又 , 所以 . 8. 设f(x, y, z)=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z, 求grad f(0, 0, 0)及grad f(1, 1, 1). 解 , , . 因为 , , , , , , 所以 grad f(0, 0, 0)=3i-2j-6k, grad f(1, 1, 1)=6i+3j. 9. 设u, v都是 x, y, z的函数, u, v的各偏导数都存在且连续, 证明 (1) grad(u+v)=grad u+ grad v; 解 . (2) grad (uv)=vgrad u+ugrad v; 解 =vgrad u +ugrad v. (3) grad (u2)=2ugrad u. 解 . 10. 问函数u=xy2z在点p(1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最

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