随机过程课程设计

1、课程名称： ?随机过程? 课程设计论文 题 目: 平稳时间序列的AR(p)模型的预报学 院： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 10-2班 学生姓名： 徐杰 学生学号： 2021027053 指导教师： 蔡吉花 2021年 12 月 20 日目 录任务书 3 摘 要41.根本原理 1 1.1 AR(p)模型的定义 12.问题的分析与求解 2 2.1 模型的识别 2 2.1.1 AR(p)序列的自相关函数2 2.1.2 AR(p)模型的偏相关函数32.1.3 模型阶数确实定42.2 样本的自相关和偏相关函数 4 2.3 AR(p)模型的参数估计 5 2.4 AR(p)模型的预报62.5

2、 最小方差预报 6 2.6 AR(p)序列的预报63.计算程序与结果73.1 举例：地震震级的预测 73.2 问题分析73.3 模型的求解与其结果 73.3.1 模型的识别程序73.3.2 模型阶数及确定103.3.3 样模型预报公式103.3.4 模型预报114.预期结论与展望 114.1 结论114.2 展望11参考文献12附录13评 阅 书 17 ?随机过程? 课程设计任务书姓名徐杰学号2021027053指导教师蔡吉花设计题目利用平稳时间序列的AR(P)模型的预报理论要点 时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据判别时间序列模型以及怎样确定模型的参数和阶数，确定平稳时间序列模型的类

3、型，看是否是要研究的AR(p)模型.然后运用此模型进行相关分析。设计目标 通过课程设计，独立完成所给出的课题。通过课题的理论设计和在计算机中实验调试代码，加深计算理论知识的理解，培养计算软件开发的实践技能，提高分析解决具体问题的能力。研究方法步骤获取被观测系统时间序列数据。根据数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数和偏相关函数。判断该数据符合AR(p)模型,最后由参数估计求出AR(p)模型，并进行预报。预期结果 由的一组平稳时间序列的数据，编写matlab程序求出自相关函数和偏相关函数,并且画图判别平稳时间序列符合AR(p)模型,由参数估计求出AR(p)模型.方案与进步的安排课程安排一周，分

4、 4 次完成：第一次1天：审题并查找相关资料第二次2-3天：对相关资料进行整理和分析第三次 (4-6天)：编写程序进行求解并撰写论文第四次7 天：对论文进行整体检查和排版参考资料1张善文，雷英杰，冯有前.MATLAB在时间序列分析中的应用.西 安电子科技大学出版社.2007.42刘次华.随机过程.华中科技大学出版社.2021.83MATLAB根底及数学软件 阳明盛 熊西文 林建华 大连理工大学出版社 2003填写时间 摘 要 在人们的社会活动和科学实验中，经常会碰到按照一定的顺序观察的到的数据，如股票市场的每日波动，气象变化，某工厂装船货物数量的月度序列，公路事故的周度序列，某化工生产按小时观

5、测的产量，等等，且这些数据之间具有相依性。人们要根据这些数据进行观察、研究，寻找它的变化开展规律来拟合某种最优的数学模型，用以预测未来的开展趋势。 平稳时间序列在自然科学、工程技术及社会、经济学的建模分析中起着非常重要的作用，平稳时间序列的AR(p)模型的主要分析方法是：通过分析平稳时间序列的统计规律，构造拟合它的最正确线性模型，利用模型预报时间序列的未来取值，或用来进行分析和控制。 本文主要研究自回归模型(线性模型)，首先对AR(p)模型的理论作相关分析，包括模型的识别、模型的定阶方法、求样本的自或偏相关函数、模型的参数估计以及模型的预报。再通过引例，用Matlab程序对四川地震震级数据进行

6、分析，先将数据标准化，然后求出其变自相关函数和偏相关函数，再画出图像，根据图像判别相关函数的拖尾、截尾性，最后确定一个具体的AR(p)模型。然后确定阶数P,再用矩估计法求出其参数估计值，最后确定AR(p)模型的预报式子，对四川地震震级进行预报，根据所给的数据，对下个时段震级的大小进行预测。关键字：自相关函数，偏相关函数，AR(p)模型，平稳时间序列，地震预报18利用平稳时间序列的AR(P)模型的预报1.根本原理 对于一个平稳时间序列预测问题，首先考虑的是寻求与它拟合最好的预测模型。而模型的识别与阶数确实定那么是选择模型的关键。本节我们主要研究的是AR(p)模型预报，所以我们得对AR(p)序列作

7、相关分析，讨论其理论自相关函数和偏相关函数所具有的特性，从而找到识别模型的方法。1.1 AR(P)模型的定义设为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为，(1.1) 其中=，=0，s>t.模型1.1简记为ARp.它是一个动态模型，是时间序列自身回归的表达式，所以称自回归模型。满足AR(p)模型的随机序列称为AR(p)序列,其中，k=1,2,.,p称为自回归系数。从白噪声序列所满足的条件看出，之间互不相关，且与以前的观测值也不相关，亦称为新信息序列，在时间序列分析的预报理论中有重要作用。AR(p)模型的三个限制条件：条件一：。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p.条件二：=，这个

8、限制条件实际上是要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。条件三：。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。为了方便起见，引进延迟算子概念。令.一般有，称B为一步延迟算子，为k步延迟算子。于是，式子1.1可以写成 ， 1.2其中 . 1.3对于1.2式的AR(p)模型，假设满足条件：的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，那么称此条件为AR(p)模型的平稳性条件.当模型1.2满足平稳性条件时，存在且一般是B的幂级数，于是1.1式又可以写成是，称为逆转形式.模型1.2可以看做是把相关的变为一个互不相关的的系统。2.问题的分析和求解2.1 模型的识别 AR(p)序列的自相关函数对于零均值的时间

9、序列，因为此时的，所以，即自相关函数与协方差函数相同，记协方差函数为，用除得标准自相关函数=/,简称它为自相关函数。所以AR(p)序列的自相关函数计算如下：用乘模型1.11两边，再取均值，得，k>0,除以可得，2.1即 ，k>0.令1.21式的k=1,2,.,p，得，写成矩阵为= 2.22.2式称为AR(p)序列的自相关函数。AR(p)序列的自相关函数不能在某步之后截尾，而是随k增大逐渐衰减，但受负指数函数控制.这种特性称为托尾性。2.1.2 AR(p)模型的偏相关函数从概率论可知，在给定随机变量W的条件下，随机变量U与V的联合条件密度函数为f(u,vw),那么U与V的偏相关函数定

10、义为,类似地，在零均值平稳时间序列中，给定与之间的偏相关函数定义为 (2.3)设是零均值的平稳序列，它满足AR(k)模型，即 用乘上两边，当给定时，取条件期望得=因为k0时，且有,故,k=1,2,. 2.4根据12.3式，显然即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(k)模型的最后一个自回归系数。 为了探讨AR(p)序列的偏相关函数的特性，考虑对的最小方差估计，即要求确定，使min 根据AR(p)模型定义，有 =+因为=0j0,故+显然，要使，应取，这说明AR(p)序列有且由2.4式，即为偏相关函数。当kp时，有=0，换句话说，AR(p)序列的偏相关函数为，0,.,0,即偏相关函数在k步

11、截尾，其截尾的k值就是模型的阶数。这是AR(p)序列具有的本质特性。 模型阶数确实定 模型的识别，是根据理论自相关函数或偏相关函数是否截尾来判断的。但是，在实际中，人们所获得的观测数据只是一个有限长度N的样本值由它们算出的样本自相关函数和样本偏相关函数只是和的估计值。由于样本的随机性，其估计总可能有误差。对于AR(p)序列，当kp时，可能不会全为零，而是在零附近波动。以下我们讨论的是如何用样本自相关函数和样本偏相关函数来推断模型的阶。2.2 样本自相关函数和样本偏相关函数设有零均值平稳时间序列的一段样本观测值样本协方差函数定义为 ，k=0,1,.,N-1易知，是的无偏估计，但不一定是非负定的，

12、故常用如下估计式代替:,k=0,1,.,N-1 (2.5)同理样本自相关函数定义为，k=0,1,.,N-1 (2.6)(2.5)式是的有偏估计，但是非负定的。事实上，设当tN或t0时，对于任意的m个实数 有 =0.实际问题中，N一般取得较大不少于50,故2.5式看做是渐近无偏的。由于2.5式的估计误差随k增大而增大，一般取kN/4(常取k=N/10左右)由2.6式计算得后，代入2.5式即得的值。2.3 AR(p)模型的参数估计设的拟合模型为此时要估计的参数为和，将Yule-Walker方程写成矩阵形式：，那么将各参数换成它们的估计，可得= 2.7=-= (2.8)2.7和2.8式是AR(p)模

13、型全部参数的估计公式。2.4 AR(p)模型的预报根据时间观测数据，建立一个与实际问题相适应的模型后，就可以利用过去和现在的观测值，对该序列未来时刻的取值进行估计，即预报。2.5 最小方差预报设是零均值平稳序列，并假定它是正态的，令表示用时刻t及t之前的全部观测数据，即的取值对未来时刻的的取值所作的预报。现在的问题是，要找出一个如下形式的线性函数使预报的均方误差=4.11这样的称为的线性最小方差预报。2.6 AR(p)序列的预报 假设为AR(p)序列，AR(p)序列的最正确预报递推公式为由此可见，()仅仅依赖于的N时刻以及以前时刻的p个值。这就是说，只要知道这p个时刻的观测值，无需掌握更多的历

14、史资料就可以根据上述公式求得任意步的最优预报。因此AR(p)模型的预报计算简单，正因为AR建模与AR预报的简单性，它成为预报问题中应用最为广泛的时序模型。3.计算程序与结果3.1 举例:地震震级的预测 以下采用的数据是1970年1月1日至1982年12月31日期间的实测的四川地区的地震震级见表1，平均每15天进行1次测量，共有323个数据。本文将利用表中的数据建立该地地震等级的随机线性模型，并对下几个时段的震级进行预测。 表格 1 1970年1月1日到1982年12月31日期间四川地区的地震震级实测值4.46.24.74.85.44.24.14.05.54.34.25.54.24.65.95.

15、75.45.04.75.44.24.45.45.44.04.95.24.84.44.64.25.65.65.74.67.94.24.44.05.06.04.84.34.65.56.53.84.03.94.24.74.24.75.85.04.44.04.44.44.24.53.94.34.23.64.04.75.73.77.14.34.04.44.44.25.03.84.24.15.74.85.05.23.94.55.24.74.94.63.94.34.03.93.84.14.34.36.24.84.54.44.24.35.34.93.84.34.44.64.33.63.97.25.04.94.

16、34.14.85.96.74.77.25.15.25.26.75.64.75.14.54.74.64.94.54.16.45.04.14.04.24.14.44.93.94.84.35.14.44.34.74.84.94.44.54.95.14.24.44.34.44.34.14.44.14.24.74.95.45.64.14.74.44.13.54.63.14.34.53.24.93.84.43.73.73.04.03.24.33.53.93.73.03.54.54.23.23.03.35.03.83.13.74.14.04.24.04.33.85.83.84.04.34.33.43.24.

17、03.03.83.23.04.03.33.54.03.74.53.03.53.93.04.03.63.53.83.03.73.73.03.64.03.53.53.54.16.93.83.24.03.64.04.33.03.03.43.73.23.53.85.03.62.44.54.03.43.23.33.73.43.03.04.73.23.53.14.73.13.03.73.24.43.24.23.44.03.54.14.04.14.85.44.94.24.15.24.03.93.93.74.74.04.43.93.84.83.93.93.84.23.94.53.94.14.04.75.23.

18、14.15.03.74.63.14.44.33.2 问题分析首先对数据进行零均值化，将原数据在不改变其自相关函数系数及偏相关函数系数的前提下，化成便于计算的新数据，然后再计算新数据的自相关函数及偏相关函数，并根据所给数据对该数据允许的误差范围进行判定，确定其符合的时间序列模型，求出模型中的参数。3.3 模型的求解与其结果 模型的识别程序：z=4.4 6.2 4.7 4.8 5.4 4.2 4.1 4.0 5.5 4.3 4.2 5.5 4.2 4.6 5.9 5.7 5.4 5.0 4.7 5.4 4.2 4.4 5.4 5.4 4.0 4.9 5.2 4.8 4.4 4.6 4.2 5.6

19、5.6 5.7 4.6 7.9 4.2 4.4 4.0 5.0 6.0 4.8 4.3 4.6 5.5 4.1 4.0 4.1 4.8 5.4 4.9 4.2 4.1 5.2 4.0 3.9 3.9 3.7 4.7 4.0 6.5 3.8 4.0 3.9 4.2 4.7 4.2 4.7 5.8 5.0 4.4 4.0 4.4 4.4 4.2 4.5 3.9 4.3 4.2 3.6 4.0 4.7 5.7 3.7 7.1 4.3 4.0 4.4 4.4 4.2 4.4 3.9 3.8 4.8 3.9 3.9 3.8 4.2 3.9 4.5 3.9 4.1 4.0 4.7 5.2 5.0 3.8

20、4.2 4.1 5.7 4.8 5.0 5.2 3.9 4.5 5.2 4.7 4.9 4.6 3.9 4.3 4.0 3.9 3.8 4.1 4.3 4.3 6.2 4.8 4.5 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 3.8 4.3 4.4 4.6 4.3 3.6 3.9 7.2 5.0 4.9 4.3 4.1 4.8 5.9 6.7 4.7 7.2 5.1 5.2 5.2 6.7 5.6 4.7 5.1 4.5 4.7 4.6 4.5 4.9 4.1 6.4 5.0 4.1 4.0 4.2 4.1 4.4 4.9 3.9 4.8 4.3 5.1 4.4 4.3 4.7 4.8 4.9

21、4.4 4.5 4.9 5.1 4.2 4.4 4.3 4.4 4.3 4.1 4.4 4.1 4.2 4.7 4.9 5.4 5.6 4.1 4.7 4.4 4.1 3.5 4.6 3.1 4.3 4.5 3.2 4.9 3.8 4.4 3.7 3.7 3.0 4.0 3.2 4.3 3.5 3.9 3.7 3.0 3.5 4.5 4.2 3.2 3.0 3.3 5.0 3.8 3.1 3.7 4.1 4.0 4.2 4.0 4.3 3.8 5.8 3.8 4.0 4.3 4.3 3.4 3.2 4.0 3.0 3.8 3.2 3.0 4.0 3.3 3.5 4.0 3.7 4.5 3.0

22、3.5 3.9 3.0 4.0 3.6 3.5 3.8 3.0 3.7 3.7 3.0 3.6 4.0 3.5 3.5 3.5 4.1 6.9 3.8 3.2 4.0 3.6 4.0 4.3 3.0 3.0 3.4 3.7 3.2 3.5 3.8 5.0 3.6 2.4 4.5 4.0 3.4 3.2 3.3 3.7 3.4 3.0 3.0 4.7 3.2 3.5 3.1 4.7 3.1 3.0 3.7 3.2 4.4 3.2 4.2 3.4 4.0 3.5 3.1 4.1 5.0 3.7 4.6 3.1 4.4 4.3;>> m=mean(z)m =4.3152for k=1:3

23、23w(k)=z(k)-m;end w 【具体操作程序见附录A】因为本文中的n=323,所以取k=n/10,所以k=30.ACF=autocorr(w,30)ACF = Columns 1 through 12 1.0000 0.3411 0.3323 0.3181 0.3495 0.3457 0.3064 0.2904 0.2760 0.3595 0.2474 0.2370Columns 13 through 24 0.2536 0.2870 0.2814 0.2688 0.2677 0.2880 0.2545 0.2261 0.1832 0.2499 0.2389 0.1916Column

24、s 25 through 31 0.2318 0.2346 0.1585 0.2189 0.1771 0.1493 0.1906>> autocorr(w,30)，得到以下图：>>PartialACF=parcorr(w,30)PartialACF = Columns 1 through 12 1.0000 0.3411 0.2447 0.1810 0.1939 0.1600 0.0836 0.0583 0.0376 0.1591 -0.0203 -0.0138 Columns 13 through 24 0.0361 0.0704 0.0579 0.0587 0.06

25、23 0.0862 0.0001 -0.0041 -0.0585 0.0480 0.0209 -0.0359 Columns 25 through 310.0661 0.0567 -0.0822 0.0600 -0.0035 -0.0430 0.0075>> parcorr(w,30),得到以下图：>> subplot(121);autocorr(w,30) >> subplot(122); parcorr(w,30)得到如下比照图：由图中可以看出自相关函数拖尾，偏相关函数截尾，所以该模型是AR(p)模型。 模型阶数确实定及程序：【程序见附录B】 样本的自相

26、关函数图形如下：根据算出的样本偏相关函数可知在k=p=1处截尾，易知当时，平均20个中至多有一个使，那么认为截尾在k=p=5处，所以可以判断模型为AR(5)模型。 模型的预报公式： 对于AR(5)模型计算参数参数估计值，我们采取矩估计的方法，得到如下估计值：=所以AR(5)模型的预报公式为： 模型预报 由于前面AR(5)模型的预报公式可对以后几个小时地震等级的值进行预测，利用,可得到以下几个时段每15天一个时段的地震等级的预测值：.4.预期结果与展望4.1 结论 本文通过对所给的时间序列进行标准化，然后利用Matlab软件求出其自相关函数和其偏相关函数，并画出图形比照，通过观察图形，知道了该模

27、型的自相关函数拖尾，而偏相关函数截尾，正好符合我们所研究的AR(p)模型，然后对该模型进行阶数确实定以及参数估计，最后给出了该AR(p)模型的预报公式，通过预报公式，我们可以对任何一个时间段的地震震级进行预测。4.2 展望 本文通介绍了AR(p)模型的一些根本公式，通过对四川地震震级的预测数据，我们用软件做出了标准化后的样本的自相关函数与偏相关函数图，通过图像我们了解了该模型是哪类模型，通过平稳时间序列的分析，我们就能对各个时间段进行预报，并且通过建立模型使预报更简单。平稳时间序列的预测模型可以应用到好多领域，例如股票市场行情的预报、期货市场的预报以及我们最熟悉的天气预报，这些平稳时间序列的模

28、型对我们预测未来的开展趋势起到了决定性作用。参考文献1何书元.应用时间序列分析.北京大学出版社.2003.92张善文，雷英杰，冯有前.MATLAB在时间序列分析中的应用.西 安电子科技大学出版社.2007.43刘次华.随机过程.华中科技大学出版社.2021.84阳明盛，熊西文，林建华.MATLAB根底及数学软件.大连理工大学出版社.20035吴怀宇.时间序列分析与综合.武汉大学出版社.2004.126边馥萍，侯文华，梁冯珍.数学建模方法与算法.高等教育出版社.2005.57王燕.应用时间序列分析.中国人民大学出版社.附录A.平稳时间序列的标准化程序：for k=1:323w(k)=z(k)-m

29、;end>> ww =Columns 1 through 12 0.0848 1.8848 0.3848 0.4848 1.0848 -0.1152 -0.2152 -0.3152 1.1848 -0.0152 -0.1152 1.1848Columns 13 through 24 -0.1152 0.2848 1.5848 1.3848 1.0848 0.6848 0.3848 1.0848 -0.1152 0.0848 1.0848 1.0848Columns 25 through 36 -0.3152 0.5848 0.8848 0.4848 0.0848 0.2848 -0

30、.1152 1.2848 1.2848 1.3848 0.2848 3.5848Columns 37 through 48 -0.1152 0.0848 -0.3152 0.6848 1.6848 0.4848 -0.0152 0.2848 1.1848 -0.2152 -0.3152 -0.2152Columns 49 through 60 0.4848 1.0848 0.5848 -0.1152 -0.2152 0.8848 -0.3152 -0.4152 -0.4152 -0.6152 0.3848 -0.3152Columns 61 through 72 2.1848 -0.5152

31、-0.3152 -0.4152 -0.1152 0.3848 -0.1152 0.3848 1.4848 0.6848 0.0848 -0.3152Columns 73 through 84 0.0848 0.0848 -0.1152 0.1848 -0.4152 -0.0152 -0.1152 -0.7152 -0.3152 0.3848 1.3848 -0.6152Columns 85 through 96 2.7848 -0.0152 -0.3152 0.0848 0.0848 -0.1152 0.0848 -0.4152 -0.5152 0.4848 -0.4152 -0.4152Co

32、lumns 97 through 108 -0.5152 -0.1152 -0.4152 0.1848 -0.4152 -0.2152 -0.3152 0.3848 0.8848 0.6848 -0.5152 -0.1152Columns 109 through 120 -0.2152 1.3848 0.4848 0.6848 0.8848 -0.4152 0.1848 0.8848 0.3848 0.5848 0.2848 -0.4152Columns 121 through 132 -0.0152 -0.3152 -0.4152 -0.5152 -0.2152 -0.0152 -0.015

33、2 1.8848 0.4848 0.1848 0.0848 -0.1152Columns 133 through 144 -0.0152 0.9848 0.5848 -0.5152 -0.0152 0.0848 0.2848 -0.0152 -0.7152 -0.4152 2.8848 0.6848Columns 145 through 156 0.5848 -0.0152 -0.2152 0.4848 1.5848 2.3848 0.3848 2.8848 0.7848 0.8848 0.8848 2.3848Columns 157 through 168 1.2848 0.3848 0.7

34、848 0.1848 0.3848 0.2848 0.1848 0.5848 -0.2152 2.0848 0.6848 -0.2152Columns 169 through 180 -0.3152 -0.1152 -0.2152 0.0848 0.5848 -0.4152 0.4848 -0.0152 0.7848 0.0848 -0.0152 0.3848Columns 181 through 192 0.4848 0.5848 0.0848 0.1848 0.5848 0.7848 -0.1152 0.0848 -0.0152 0.0848 -0.0152 -0.2152Columns

35、193 through 204 0.0848 -0.2152 -0.1152 0.3848 0.5848 1.0848 1.2848 -0.2152 0.3848 0.0848 -0.2152 -0.8152Columns 205 through 216 0.2848 -1.2152 -0.0152 0.1848 -1.1152 0.5848 -0.5152 0.0848 -0.6152 -0.6152 -1.3152 -0.3152Columns 217 through 228 -1.1152 -0.0152 -0.8152 -0.4152 -0.6152 -1.3152 -0.8152 0

36、.1848 -0.1152 -1.1152 -1.3152 -1.0152Columns 229 through 240 0.6848 -0.5152 -1.2152 -0.6152 -0.2152 -0.3152 -0.1152 -0.3152 -0.0152 -0.5152 1.4848 -0.5152Columns 241 through 252 -0.3152 -0.0152 -0.0152 -0.9152 -1.1152 -0.3152 -1.3152 -0.5152 -1.1152 -1.3152 -0.3152 -1.0152Columns 253 through 264 -0.8152 -0.3152 -0.6152 0.1848 -1.3152 -0.8152 -0.4152 -1.3152 -0.31