有理数的乘方

1、 传说，在古代印度，有一位聪明传说，在古代印度，有一位聪明的大臣发明了国际象棋，献给了国王，的大臣发明了国际象棋，献给了国王，国王非常喜欢。为了对聪明的大臣表国王非常喜欢。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。这位聪明的大臣，胃口看起个要求。这位聪明的大臣，胃口看起来并不大，他跪在国王面前说：来并不大，他跪在国王面前说：“陛陛下，就在这个棋盘上放一些麦粒吧！下，就在这个棋盘上放一些麦粒吧！第第1 1格放格放1 1粒米粒米，第，第2 2格放格放2 2粒米粒米，第，第3 3格放格放4 4粒米粒米，然后是，然后是8 8粒粒、1616粒粒、3232粒

2、粒，一直到第，一直到第6464格。格。”“”“爱卿，你爱卿，你所求的并不多啊！所求的并不多啊！”国王说道，接着国王说道，接着吩咐手下开始了数麦粒的工作。可是吩咐手下开始了数麦粒的工作。可是数着数着，国王就发现上当了！数着数着，国王就发现上当了！亲爱亲爱的同学们，你知道这是为什么吗？的同学们，你知道这是为什么吗？第1格: 1第2格: 2第3格: 4 =22第4格: 8第5格: 16第64格:=2 2 2=2 2 2 263个2=222聪明的同学们聪明的同学们,你能猜想出第你能猜想出第64格的米粒是多少格的米粒是多少吗吗=22=23=24=263？一般地，几个相同的因数一般地，几个相同的因数a 相

3、乘，即相乘，即 读作：读作：a的的n次方次方求个相同因数的积的运算，叫做乘方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。乘方的结果叫做幂。运算运算乘方乘方结果结果幂幂概概 念念aaaan个个na记作：记作：na指数指数底数底数幂幂 如：在如：在 中，底数是（中，底数是（ ） 指数是（指数是（ ） 读作（读作（ ） 49949的的4次方次方或或9的的4次幂次幂52呢？呢？理解有理数乘方的意义理解有理数乘方的意义, ,知道什知道什 么是幂；给出一个幂么是幂；给出一个幂, ,能说出它的能说出它的底数和指数底数和指数. .幂（幂（powerpower）指乘方运算的结果。）指乘方运算的结果。n

4、mnm指该式意义为指该式意义为m m个个n n相乘。相乘。把把nmnm看作乘方的结果，叫做看作乘方的结果，叫做n n的的m m次幂。次幂。 ?)2()2()2()2()2()41()41()41()41(77757575aaaan个个3)75(记作：记作：27记作：记作：5)2(记作记作：4)41(记作：记作：na记作：记作：练习一1）在 中，12是 数，10是 数，读作 ；2） 的底数是 ，指数是 ，读作 ；7321012327的7次方32底指12的10次方 3）在 中，-3是 数，16是 数，读作 ；4)在 中，底数是 ；指数是 ；读作 ；16317a底指 -3的16次方17a 的17次方

5、a5）5看成幂的话，底数是 ，指数是 ，可读作 ；6） 看成幂的话，底数是 ，指数是 ，可读作 ；a515的一次方a1a的一次方 练习二1.把下列乘法式子写成乘方的形式：(1)1111111= ；(2)33333= ；(3)（3）（3）（3）（3）= ； (4) = ；656565655343465712.把下列乘方写成乘法的形式：(1) = ；(2) = ；(3) = ；39 . 04792ba 9 . 09 . 09 . 079797979baba例1计算：解：.2)2( ;4) 1 (43 341 444 422 22221664思考：例1的两个幂，底数都是负数，为什么这两个幂一个是正数

6、而另一个是负数呢？是由什么数来确定它们的正负呢？当底数是负数时，幂的正负由指数确定，指数是偶数时，幂是正数；指数是奇数时，幂是负数。如果幂的底数正数，那么这个幂有可能是负数吗？不可能！正数的任何次幂是都正数例1计算：.2)2( ;4) 1 (43 341 444 422 22221664思考：例1的两个幂，底数都是负数，为什么这两个幂一个是正数而另一个是负数呢？是由什么数来确定它们的正负呢？如果幂的底数是正数，那么这个幂有可能是负数吗？解：如果幂的底数是零，又是怎样的结果呢？乘方的符号法则：乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。0 0的正整数次幂都等于

7、的正整数次幂都等于0.0.正负 练习三1） 是 （填“正”或“负”）数；2） 是 （填“正”或“负”）数；3） = ；4） = ；=；127912n111251n00练习四计算：1、 = ； 2、 = ；3、 = ； 4、 = ；5、 = ； 6、 = ；7、 = ； 8、 = .101912)5(3331 . 0321n21121n1125-0.001811-27-1 思考思考: :说说下列各数的意义说说下列各数的意义, ,它们一样吗它们一样吗? ?32233 232表示表示3个个2相乘相乘23表示表示2个个3相乘相乘3 2表示表示3个个2相加相加 思考思考: :说说下列各数的意义说说下列各

8、数的意义, ,它们一样吗它们一样吗? ?422442（） 的意义是的 次方；即 个相乘；44( 2)2和；4224的意义是 的 次方的相反数。 思考思考: :说说下列各数的意义说说下列各数的意义, ,它们一样吗它们一样吗? ?22233223的意义是 的平方；即 个 相乘；2222( )33和22233的意义是“ 的平方再除以 ”。 计算：计算：（1 1）2 23 3；（；（2 2）-5-54 4；（；（3 3）- - ；（；（4 4）- -（ ）3 3（5 5）- -（-3-3）3 3；（；（6 6）（）（- - ）2 2；7623143练习五 传说传说, ,在古代印度在古代印度, ,有一位

9、聪明有一位聪明的大臣的大臣, ,发明了国际象棋发明了国际象棋, ,献给了国献给了国王王, ,国王非常喜欢。为了对聪明的国王非常喜欢。为了对聪明的大臣表示感谢大臣表示感谢, ,国王答应满足这个国王答应满足这个大臣的一个要求。这位聪明的大臣大臣的一个要求。这位聪明的大臣, ,胃口看起来并不大，他跪在国王面胃口看起来并不大，他跪在国王面前说：前说：“陛下陛下, ,就在这个棋盘上放就在这个棋盘上放一些麦粒吧！第一些麦粒吧！第1 1格放格放1 1粒米粒米, ,第第2 2格格放放2 2粒米粒米, ,第第3 3格放格放4 4粒米粒米, ,然后是然后是8 8粒粒、1616粒粒、3232粒粒，一直到第，一直到第

10、6464格。格。”“”“爱卿，你所求的并不多爱卿，你所求的并不多啊！啊！”国王说道，接着吩咐手下开国王说道，接着吩咐手下开始了数麦粒的工作。可是数着数着，始了数麦粒的工作。可是数着数着，国王就发现上当了！国王就发现上当了！2 26363=9223372036854775808=9223372036854775808粒粒147573952589676413147573952589676413g g约等于约等于14761476亿吨亿吨数学故事数学故事国王总共要给大臣多少国王总共要给大臣多少粒米呢？如果一粒米的粒米呢？如果一粒米的质量大约是质量大约是0.0167g0.0167g，本，本题的结果又是怎

11、样的一题的结果又是怎样的一个概念呢？个概念呢？所需麦粒总数所需麦粒总数 1 12 22 22 22 23 32 24 42 263632 264641 1 1844674407370955161518446744073709551615。 这些麦子究竟有多少？这些麦子究竟有多少？ 打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4 4米，宽米，宽1010米，那么仓库的长度就等于米，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍地球到太阳的距离的两倍。而要生产这。而要生产这么多的麦子，全世界要么多的麦子，全世界要两千年两千年。尽管印度国王非常富有，但要这样。尽

12、管印度国王非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，国王就欠了大臣好大多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，国王就欠了大臣好大一笔债。要么是忍受这个大臣没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他一笔债。要么是忍受这个大臣没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他的脑袋。结果究竟如何，可惜史书上没有记载。的脑袋。结果究竟如何，可惜史书上没有记载。 达标检测一、填空题一、填空题1.1.在在 4 46 6 中，底数是中，底数是 ，指数，指数 ，2.2.（-4-4）7 7读做读做 ；3.3.（-2-2）1515的结果是的结果是 数（填数（填“正正”或或“负负”）；）；二、选择题二、选择题1.1.（-3-

13、3）4 4表示（表示（ ） A.-3A.-34 B.44 B.4个（个（-3-3）相加）相加 C.4C.4个（个（-3-3）相乘）相乘 D.3D.3个个(-4)(-4)相乘相乘 2. -22. -24 4表示（表示（ ） A.4A.4个个-2-2相乘相乘 B.4B.4个个2 2相乘的相反数相乘的相反数 C.2C.2个个-4-4相乘相乘 D.2D.2个个4 4的相反数的相反数C CB B达标检测3. 3. 下列各组数中，相等的一组是（下列各组数中，相等的一组是（ ） A.(-3)A.(-3)3 3与与-3-33 3 B.(-3) B.(-3)2 2与与-3-32 2 C.4 C.43 3与与3

14、34 4 D.-3 D.-32 2和（和（-3-3）+ +（-3-3）4.4.一个数的平方等于它的倒数，这个数一定是（一个数的平方等于它的倒数，这个数一定是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.1A.0 B.1 C.-1 D.1或或-1-15.5.若两个有理数的平方相等，则（）若两个有理数的平方相等，则（）A A、这两个有理数相等、这两个有理数相等 B B、这两个有理数互为相反数、这两个有理数互为相反数 C C、这两个有理数相等或互为相反数、这两个有理数相等或互为相反数 D D、都不对、都不对 6.n6.n为正整数，（为正整数，（-1-1）2n2n+ +（-1-1）2n+12n+1的值为（）的

15、值为（）A.0 B.-1 C.1 D.-2A.0 B.-1 C.1 D.-2A AB BC CA A达标检测7.7.一个数的偶次幂是正数，这个数是（）一个数的偶次幂是正数，这个数是（）A.A.正数正数 B.B.负数负数 C.C.正数或负数正数或负数 D.D.任何有理数任何有理数8 8、根据乘方的定义可得、根据乘方的定义可得4 42 2=4=44 4，4 43 3=4=44 44 4，则，则4 42 24 43 3= =（4 44 4）（4 44 44 4）=4=44 44 44 44=44=45 5，试计算，试计算a am maan n（m m，n n是整数）是整数）C C9.9.计算：（计算

16、：（1 1）2 23 3；（；（2 2）-5-54 4；（；（3 3）- - ；（；（4 4）- -（ ）3 3 （4 4）- -（-3-3）3 3；（；（5 5）（）（- - ）2 2；76231433)4(1) (2) (3) 4)2(33264)4()4()4()4(316)2()2()2()2()2(43232323232782 2、即时训练、即时训练 巩固新知巩固新知奇奇偶偶负负正正na乘方乘方:求求n个相同因数个相同因数a的积的运算叫做乘方的积的运算叫做乘方. .an读作读作a的的n次方（或次方（或a的的n次幂）。次幂）。 底数底数指数指数幂幂 2.填空（填空（n为正整数）为正整数

17、） （必做题）（必做题） = _ = _ （选做题）（选做题） (-1)2n=_ (-1)2n-1=_1.（必做题）（必做题）让每个学生根据底数是正数让每个学生根据底数是正数 、零和负数出零和负数出3道乘方运算题，考一考同道乘方运算题，考一考同桌，然后同桌同学互相批改。看哪个同桌，然后同桌同学互相批改。看哪个同学做得又快又好！学做得又快又好！3.( (选做题选做题) )有一杯可乐，第一次喝去一半，第有一杯可乐，第一次喝去一半，第二次又喝去余下的一半，如此方法喝下去，二次又喝去余下的一半，如此方法喝下去，第四次后剩余的饮料是原来的几分之几？第四次后剩余的饮料是原来的几分之几？ 举例说明生活中还有

18、哪些类似的问题？举例说明生活中还有哪些类似的问题？能力试金石能力试金石232)3(本节课你学到了什么？本节课你学到了什么？1.有理数的乘方的意义和相关概念。有理数的乘方的意义和相关概念。2.乘方的有关运算。乘方的有关运算。3.体会化归的数学思想。体会化归的数学思想。2.5有理数的乘方（2）2008年北京奥运会体育场“鸟巢”能容纳91000位观众。 2008年5月12日，在我国四川省汶川县发生里氏8.0级强烈地震，面对地震灾难，各级政府共投入抗震救灾资金2262260000000000000000元人民币。观察探究观察探究1010的乘方有如下的特点：的乘方有如下的特点：1001021000103

19、10000104一般地，一般地，1010的的n n次幂等于次幂等于100100（在（在1 1的后面有的后面有n n个个0 0），所以就可以用），所以就可以用1010的乘方表示一些大数。的乘方表示一些大数。例如：例如：91000 = 9.110000 = 9.14101010用科学记数法，书写简短，便于读数。用科学记数法，书写简短，便于读数。读作：读作：9.19.1乘以乘以1010的的4 4次方（幂）次方（幂）22600000000 = 226100000000 = 2.26把一个大于把一个大于1010的数表示成的数表示成a a 的形式的形式（其中（其中11a a1010，n n是整数。）叫是整

20、数。）叫n10例题讲解例题讲解例例1 1：用科学记数法表示下列各数。：用科学记数法表示下列各数。1 000 0001 000 000 57 000 000 57 000 000 123 000 000 000 123 000 000 000解：解： 1 000 000 = 57 000 000 = 5.7123 000 000 000 = 1.2361017101110科学记数法科学记数法。610用科学记数法表示下列各数。用科学记数法表示下列各数。32 000384 000 000810 000 9 410 000510 60010 000 00032 100 000 223 000思考：等号

21、左边整数的位数与右边思考：等号左边整数的位数与右边1010的指数有什么关系？的指数有什么关系？用科学记数法表示一个用科学记数法表示一个n n位整数，其中位整数，其中1010的指数是的指数是_。n1练一练=3.2104= - 8.1105=5.106105= - 3.21107=3.84108=9.41106=107=-2.23105注意：注意：不能遗漏前面的不能遗漏前面的“-”-”410例例2 2：下列科学记数法表示的数的原数是什么？：下列科学记数法表示的数的原数是什么？ 1 1）3.43.42 2）6 6310解：解：1）3.4 = 34 0002）6 = 6 000410310整数的位数与

22、整数的位数与10的次数的次数n有什么关系？有什么关系？310练一练练一练下列科学记数法表示的数的原数是什么？下列科学记数法表示的数的原数是什么？ 1 48.57.043.963.6310510610210810巩固与练习一、一、 填空填空1 1、“512512汶川大地震汶川大地震”发生后，中央电视台于发生后，中央电视台于5 5月月1818日承办了日承办了爱的奉献爱的奉献晚会，共募善款约晚会，共募善款约1 514 000 1 514 000 000000元，这个数字用科学记数法表示为元，这个数字用科学记数法表示为_ _ 元。元。2 2、被称为、被称为“神威神威1”1”的计算机运算速度为每秒的计算

23、机运算速度为每秒384 000 000 000384 000 000 000次，这个速度用科学记数法表示为每次，这个速度用科学记数法表示为每秒秒_ _ _次次 。3 3、地球离太阳约有、地球离太阳约有一亿五千万一亿五千万千米，用科学记数法表千米，用科学记数法表示为示为_千米。千米。4 4、我国国土面积约为、我国国土面积约为9 600 0009 600 000平方公里，用科学记平方公里，用科学记数法表示为数法表示为_平方公里。平方公里。1.5141091500000001.51089.61063.841011二、选择题1 1、在、在“20082008北京北京”奥运会国家体育场的奥运会国家体育场的

24、“鸟巢鸟巢“钢结构工程钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.64.610108 8帕的钢材，那么帕的钢材，那么4.64.610108 8帕的原数为（帕的原数为（ ）A.4 600 000 B.46 000 000A.4 600 000 B.46 000 000C.460 000 000 D.4 600 000 000C.460 000 000 D.4 600 000 0002 2、人类的遗传物质就是、人类的遗传物质就是DNA, DNADNA, DNA是很长的链状结构，最短是很长的链状结构，最短的的2222号染色体也长达

25、号染色体也长达30 000 00030 000 000个核苷酸，个核苷酸，30 000 00030 000 000用科学用科学记数法表示（记数法表示（ ）A.3A.310108 8 B.3 B.310107 7 C.3 C.310106 6 D.0.3D.0.310106 63.3.将将0.380.38555510107 7用科学记数法表示，其中正确的是（用科学记数法表示，其中正确的是（ ）A.20.9A.20.910107 7 B.2.09B.2.0910109 9 C.2.09C.2.0910108 8 D.209D.20910104 4cBc 1 1、用科学记数法表示下列各数、用科学记数法表示下列各数（1 1）900200 900200 （2 2）300 300 （3 3）10000000 10000000 （4 4）510000510000 2 2、已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数、已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数（1 1）2.012.0110104 4 （2 2）6.0706.07010105 5 （3 3）6 610105 5 （4 4）10104