常微分方程Ch3图文

1、1/12常微分方程求下列方程的解求下列方程的解221. (2)0yxy dxx dy2. (cos)cos0yyxydxxdyxx223.yx yxyy4.dyxydxxy2/12常微分方程 (1) (1) 齐次方程齐次方程/Homogeneous /Homogeneous Equation/Equation/ (2) (2) 可化为齐次方程的方程类型可化为齐次方程的方程类型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/2 2 可化为变量分离方程的类型可化为变量分离方程的类型/Classifications of V

2、ariable Separated Equation/Classifications of Variable Separated Equation/3/12常微分方程(1) (1) 齐次方程齐次方程/Homogeneous Equation/Homogeneous Equation/形式形式：)(xygdxdy g (u)为 u 的连续函数一般方程的右端函数一般方程的右端函数 f (x,y) 是是x，y 的零次齐次式的零次齐次式。特点特点：解法解法: :作变量变换作变量变换 uxy 即即 y=ux)(1uugxdxdu划为变量可分离方程划为变量可分离方程4/12常微分方程 可化为齐次方程的类型

3、可化为齐次方程的类型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/形式：222111cybxacybxadxdy(2.5) 2 , 1,icbaiii均为常数， 且c12+c220，即不同时为零. 1.若02211baba 即2121bbaa设 kbbaa21212121,kbbkaa则原方程可化为:)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdy5/12常微分方程令ybxau22dxdybadxdu22)(22ufbadxdu（变量分离方程，即可求解） 2.若02121bbaa则00222111cy

4、bxacybxa.(2.6)有唯一的解:),(令yYxX)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdyYyXx 或6/12常微分方程则方程 (2.5) 化为：dXdY为齐次方程, 即可求解。)(2211XYgYbXaYbXadXdYdxdy222111)()()()(cYbXacYbXa)()(2222211111cbaYbXacbaYbXa7/12常微分方程(1) 解代数方程组 00222111cybxacybxa.(2.6)其解为:yx,(2) 作变换 YyXx,将方程(2.5)化为齐次方程YbXaYbXadXdY2211(3) 再作变换XYU 将其化为变量分离方程即当时

5、，方程(2.5)的求解方法02121bbaa(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。8/12常微分方程类似的方法，可求解更广泛的方程 P.26)(222111cybxacybxafdxdy例例4 4 求解方程31yxyxdxdy.(2.17)解解 解方程组0301yxyx得 x = 1, y = 2 令21YyXxYXYXdXdY.(2.18)9/12常微分方程再令 uXYXYu即YXYXdXdY.(2.18)即(2.18)可化为:duuuuXdX2211两边积分，得:cuuX12lnln22因此ceuuX22) 12(udXduXdXdY uuudXduX11 uuu

6、uuuudXduX1)1 (111 )21 ()21 (2122uuduu记1cec并代回原变量，得:122) 12(cuuX10/12常微分方程并代回原变量，得:1222cXXYY122) 1()2)(1(2)2(cxyxy此外，容易验证:0122 uu即0222XXYY也是方程(2.18)的解。cxyxxyy26222 其中 c 为任意常数。 因此原方程(2.17)的通解为:11/12常微分方程变量分离方程与变量变换 可化为齐次方程的类型齐次方程可化为变量分离的类型举例解法特点变量分离方程本节小结本节小结/Conclusion/Conclusion/通解的形式及其中任意常数的意义。注意注意/Note/Note/：12/12常微分方程)( 22xyfdxdyx)( 42xyxfdxdy课堂练习课堂练习/Exercise/Exercise/yxpdxdy)( 1yxedxdy 22)(1 3yxdxdyyyyxxxyxdxdy32232332 4思考思考以下方程的求解方法)( 1cbyaxfdxdy0)()( 3dy