自动控制理论第八章 采样控制

1、第八章第八章 采样控制系统采样控制系统8.1 8.1 采样控制采样控制一个典型的采样控制系统如图：一个典型的采样控制系统如图：e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列 ，脉冲控制器对脉冲控制器对 进行某种运算，产生控制信号脉冲序列进行某种运算，产生控制信号脉冲序列 ，保，保持器将采样信号持器将采样信号 变成模拟信号变成模拟信号 u ，作用于被控对象，作用于被控对象e*e*u*u*)(SG模拟信号模拟信号在时间上连续，且在幅值上连续（导数在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的信号。连续）的信号。采样信号采样信号又称离散信号，按一定的时

2、间间隔对模又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。采样控制系统和连续控制系统的区别采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，在连续系统中，各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号。处的信号是采样信号。采样系统的个性采样系统的个性采样过程和采样信号保持采样过程和采样信号保持采样系统和连续系统的共性采样系统和连续系统的共性（1）闭环控制；）闭环控制； （2）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能；）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能；（3）需进行

3、校正。）需进行校正。 数字控制的优点：数字控制的优点： 1.1.占用空间小；占用空间小； 2.2.成本低；成本低； 3.3.灵敏、抗干扰性强；灵敏、抗干扰性强； 4.4.方便控制算法的重构与复用。方便控制算法的重构与复用。在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设：在离散控制系统的分析中为方便起见引入以下假设： (1)(1)定时采样和定时采样和A/DA/D转换相当于一个每隔转换相当于一个每隔T T秒瞬时接秒瞬时接通一次的理想采样开关，采样时间为通一次的理想采样开关，采样时间为0 0，周期为，周期为T T。 (2)D/A(2)D/A相当于保持器，将数字信号变为连续信号。相当于保持器，将数字信号

4、变为连续信号。本课程中假设保持器均为本课程中假设保持器均为0 0阶保持器阶保持器. .8.2 8.2 采样过程和采样定理采样过程和采样定理一、采样过程一、采样过程 按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程的装置。的装置。 采样开关按周期采样开关按周期T闭合，闭合，T称为采样周期。每次闭合时间称为采样周期。每次闭合时间为为 ，由于在实际中总有，由于在实际中总有 ，且，且 远小于远小于 中的中的时间常数，可近似认为时间常数，可近似认

5、为 。)(SGT0采样过程可用图表示采样过程可用图表示采样信号采样信号 是是 和和 的乘积，其中载波信号的乘积，其中载波信号 决定采样时刻，它是周期为决定采样时刻，它是周期为T的单位脉冲序列，采样信号的单位脉冲序列，采样信号在在nT(n=0,1,2)时刻的值由时刻的值由 决定。决定。)(te)(*te)(tT)(tT)(te单位脉冲序列单位脉冲序列采样信号为采样信号为采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换二、采样过程的数学表达式二、采样过程的数学表达式三、采样定理三、采样定理0)(nTnTtt）（00*)()()()()()(nnTnTtnTenTttettete）（0*)()()(nnTS*e

6、nTeteLsE）（ tx*其中其中采样定理给出了选择采样定理给出了选择采样周期采样周期T的依据。的依据。经采样得到的离散信号经采样得到的离散信号 有可能无失真地恢复到原来的连有可能无失真地恢复到原来的连续信号的条件是续信号的条件是max2sTss2:采样角频率，频谱的上限频率。连续信号)(:maxtx8.3 8.3 采样信号保持器采样信号保持器一、零阶保持器一、零阶保持器零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将前一采样时零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将前一采样时刻的值，保持到下一个采样时刻，即刻的值，保持到下一个采样时刻，即, 2 , 1 , 0) 1()()(nTntnTn

7、TXtXn，二、零阶保持器的传递函数二、零阶保持器的传递函数根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。零阶保持器的单位脉冲响应是一个零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，宽度为矩形，宽度为T，高为，高为1，它可表示，它可表示成以下二个单位阶跃信号的迭加。成以下二个单位阶跃信号的迭加。)( 1)( 1)(Ttttg单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。保持器的传递函数。seesstgLsGTsTSh111)()(8.4 z8.4 z变换变换其中其中 是连续函数是连续函数 的采样信号，的采样信号，一、定义一、定

8、义)()()(*0tfZznTfzFnn)(*tf)(tfTsez 采样函数采样函数 对应的对应的Z变换是唯一的。变换是唯一的。Z变换只适用于变换只适用于离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。 Z反变换表示为反变换表示为)(*tf)()(*1tfzFZ用查表方法可得到函数用查表方法可得到函数 的的Z变换。变换。)(*tf求取求取z z变换的方法变换的方法 （1）级数求和法）级数求和法 （2）部分分式法）部分分式法 （3）留数计算法）留数计算法二、二、 z变换的基本定理变换的基本定理：)()()()(22112211zXazXatxa

9、txaZ1.线性定理 函数的线性组合的函数的线性组合的z变换，等于各部分变换，等于各部分z变变换的线性组合换的线性组合2 滞后定理（负偏移定理）：滞后定理（负偏移定理）： )()(zFzkTtfZk说明：说明：原函数在时域中延迟原函数在时域中延迟k个采样单位，相当于其个采样单位，相当于其z变换乘以变换乘以 。 kz3.超前定理（正偏移定理）超前定理（正偏移定理）)()(zFzkTtfZk说明：说明： 代表超前环节，表示采样信号超前了代表超前环节，表示采样信号超前了k个采样单位，但是个采样单位，但是在物理系统中并不存在，仅用于运算。在物理系统中并不存在，仅用于运算。 kz4.初值定理：初值定理：

10、)(lim)0(zFfz5.终值定理：常用于计算系统的稳态误差终值定理：常用于计算系统的稳态误差)z(F) 1z(lim)z(F)z1 (lim)nT(flim) t (flim)z(F)z1 (),z(Fz) t (f1z11znt1位圆外均无极点，则：为圆心的单位圆上和单在以原点而且变换为的设函数7.复位移 )()(TtzeXetxZ8.复微分dzzdXTzttxZ)()(6卷积和定理卷积和定理/卷积定理：卷积定理：)()()(k0nnTrTnkgkTc)nT( r Z)z(R)nT(gZ)z(G)nT(CZzCzRzGzC,0)nT( r)nT(g)nT( cn.2 , 1 , 0n）（

11、式中）（）（）（为：则卷积和定理可以表示为负数时，当正整数式中卷积定理指出：两个采样函数卷积的z变换，等于该两个采样函数相应z变换的乘积。1、当、当 为一阶极点，留数为为一阶极点，留数为2、当、当 为为q重极点，留数为重极点，留数为ips )()(limsTipsiezzsFpsRiips )()(lim)!1(111sTqiqqpsiezzsFpsdsdqRi例：求例：求 的的Z变换变换ttf)(解：解：21)(ssF二重极点二重极点s=0的留数为的留数为2220220)1()()()1()(lim1)0(lim)!12(1zTzRsFzttfzTzezzTeezzssdsdRsTsTSST

12、S变换为的常见函数的常见函数的Z变换变换P3412222)()(11)1(111)(111)()(aTaTataTatnnsTezTzeasteezzasezTzstzzsttzenTt8.5 8.5 脉冲传递函数脉冲传递函数一、基本概念一、基本概念定义：定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信号的出采样信号的Z Z变换与输入采样信号变换与输入采样信号Z Z变换之比，称变换之比，称为系统的脉冲传递函数。为系统的脉冲传递函数。)()()(zRzCzG0*0*)()()()()()(nnnznTgtgZzGnTtnTgtg采样脉冲函数的物理意义采样

13、脉冲函数的物理意义采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 经采样后经采样后的采样信号的采样信号 的的Z变换。变换。)( tg)(*tg二、采样系统的开环脉冲传递函数二、采样系统的开环脉冲传递函数1、两个串联环节之间有采样开关隔开、两个串联环节之间有采样开关隔开)()()()(21zGzGzRzC将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到n个环节串联，各相邻个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。环节之间都有

14、采样开关隔开的情况。2、两个串联环节之间无采样开关隔开、两个串联环节之间无采样开关隔开)()()(21zGGzRzC无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环节经采样后的单位脉冲响应节经采样后的单位脉冲响应 和和 的乘积的的乘积的Z变变换。结论可推广到换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。个环节直接串联的情况。)(*1tg)(*2tg)(1()()()()()(1)(1)(2212211aTaTezzazzGzGzGezazzGasasGzzzGssG，得，得由例：例：)(1()1 (1 )()(1)()()()()(2121

15、121aTaTaTaTezzezeZzGGzGesGsGLassasGsG三、闭环脉冲传递函数三、闭环脉冲传递函数1、有一个采样开关的采样系统、有一个采样开关的采样系统2、有数字校正装置的采样系统、有数字校正装置的采样系统)(1)()()(zGHzGzRzC)()(1)()()()(zGHzDzGzDzRzC典型采样系统及其典型采样系统及其C（Z）见）见P3538.6 8.6 采样系统的稳定性分析采样系统的稳定性分析一、一、S域到域到Z域的映射域的映射根据根据Z变换定义，有变换定义，有在在Z平面上，上式表示单位圆平面上，上式表示单位圆Tsez 平面上的虚轴，此时，是变化到以，当令sjsTjez

16、可见可见S平面上的虚平面上的虚轴，映射到轴，映射到Z平面，平面，是以原点为圆心的是以原点为圆心的单位圆，且左半单位圆，且左半S平面对应单位圆内平面对应单位圆内的区域。的区域。jTeezjs二、线性采样系统稳定的充要条件二、线性采样系统稳定的充要条件设采样系统的闭环脉冲传递函数为设采样系统的闭环脉冲传递函数为)(1)()()(zGHzGzRzC系统特征方程为系统特征方程为0)(1zGH是闭环极点。，其特征根n21线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足平面的单位圆内，即满足nii，211三、用劳斯判据

17、判定采样系统的稳定性三、用劳斯判据判定采样系统的稳定性首先要通过双线性变换首先要通过双线性变换将将Z平面的单位圆映射到平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在平面的虚轴，然后在W平面中应用平面中应用劳斯判据。劳斯判据。11wwz例：求使系统稳定的例：求使系统稳定的K值范围。值范围。解：解：1、求系统的开环脉冲传递函数、求系统的开环脉冲传递函数查表得：查表得：2、特征方程为、特征方程为3、对特征方程进行双线性变换，代入、对特征方程进行双线性变换，代入T=0.25s4114)4()(ssKssKsG)(1()1 (4)1(4)(444TTTezzzeKezzzzKzG0)1 (4)(1()(144z

18、eKezzzGTT011158.0368.011111wwKwwww整理得：整理得：0)158.0736.2(264.1158.02KwKw4、应用劳斯判据，劳斯表为：、应用劳斯判据，劳斯表为：根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有2.736-0.158K0，得使系统稳定的得使系统稳定的K值范围是值范围是0K0K0。对于二阶线性采样系统，当对于二阶线性采样系统，当K K大于某一值，系统将不稳定，可大于某一值，系统将不稳定，可见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频率，稳定性将得到改善。率，稳定性将

19、得到改善。8.7 8.7 采样系统的稳态误差采样系统的稳态误差一、采样系统的类型一、采样系统的类型设采样系统的开环脉冲函数为设采样系统的开环脉冲函数为G(z)，当，当G(z)具有具有0个，个，1个，个，2个个z1的极点时，系统分别为的极点时，系统分别为0型，型，I型，型，II型系统。型系统。二、应用终值定理求给定稳态误差终值二、应用终值定理求给定稳态误差终值设采样系统是单位负反设采样系统是单位负反馈系统，则给定误差脉馈系统，则给定误差脉冲传递函数为：冲传递函数为：)(11)()(zGzRzE根据终值定理，给定稳态误差终值为：根据终值定理，给定稳态误差终值为：)(1lim)(limzEzznTeennsr系统的稳态误差取决于系统的稳态误差取决于G(G(z z) )和输入信号和输入信号R(R(z z) )。三、用静态误差系