不定积分概念与性质PPT精选文档

1、 第五章第五章 不定积分不定积分 本章的教学基本要求是：本章的教学基本要求是：1、理解原函数和不定积分的定义，掌握、理解原函数和不定积分的定义，掌握原函数和不定积分的性质；原函数和不定积分的性质；2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微分法；分法；3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。部积分法。 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念四、不定积分的性质四、不定积分的性质三、基本积分表三、基本积分表五、小结五、小结 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意

2、义例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间), 0( 内内的的原原函函数数. 如如果果在在区区间间I内内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导导函函数数为为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念( primitive function )定义定义原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间I内内连连续续， 简言

3、之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF， 使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？定理定理关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数的原函数,)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )

4、()(（ 为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C .的全部原函数的全部原函数是是说明说明xfcxF 任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分不定积分(indefinite integral)的定义：的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称为称为)(xf在区间在区间I内的内的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. .定义定义原函数原函数 :( )( )( )( )( )(

5、 )( )( )( )( )df x dxf xdxdf x dxf x dxFx dxF xcdF xF xcf x dxF xc不定积分与导数的关系或例例1 1 求求.5dxx 解解:,656xx .665Cxdxx 解解:例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 3 某商品的边际成本为某商品的边际成本为 , , 求求总成总成 解解:cxx2100dxxxC)2100()(其中其中 为任意常数为任意常数cx2100 本函数本函数 . . )(xC二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义 显然，求不定积分得到一显然，求不定积分得到

6、一积分曲线族积分曲线族,在同一横在同一横坐标坐标 处处,任一曲线的切线有任一曲线的切线有相同的斜率相同的斜率.0 xx0 xy0 x实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 三、三、 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表 kCkxkdx() 1 (是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)

7、(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 基本积分表基本积分表 导数基本公式导数基本公式 0dx=c C =0 （C为常数）为常数） xndx = xn+1 /(n+1)+c (xn)= n xn-1 1

8、/xdx= ln|x|+ c (lnx) =1/x axdx= ax/lna + c (ax)= axlna exdx= ex + c (ex) = ex cosxdx=sinx + c (sinx) =cosx sinxdx=-cosx + c (cosx) =-sinxsec2xdx= tanx+c (tanx) =sec2x csc2xdx= -cotx+c (cotx) =-csc2xsecx. tanxdx= secx+c ( secx ) =secx. tanx cscx. cotxdx= -cscx+c (cscx) =- cscx. cotx1/(1-x2)1/2dx= arc

9、sinx+c (arcsinx) =1/(1-x2)1/21/(1+x2) dx= arctanx+c ( arctanx) =1/(1+x2) 例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解：解：dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx Cxdxx 1)2(1 根根据据积积分分公公式式 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证：证： dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）四、四、 不定积分的性质不定积分的性质 dxxkf)()2(.)(

10、dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解：解：.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 求不定积分的方法求不定积分的方法 (1) 直接积分法直接积分法 (2) 第一类换元法第一类换元法 (3) 第二类换元法第二类换元法 (4) 分部积分法分部积分法 直接积分法直接积分法 根据不定积分的性质和基本积分公式，根据不定积分的性质和基本积分公式，对于一些比较简单的函数的不定积分可以直对于一些比较简单的函数的不定积分可以直接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，

11、再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法。果，这样的积分方法，叫做直接积分法。 该方法主要把该方法主要把被积函数变换成基本积分公式被积函数变换成基本积分公式中的被积函数的形式。中的被积函数的形式。 例例6 6 求积分求积分解：解：.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx例例7 7 求积分求积分解：解：.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arc

12、tan1Cxx 例例8 8 求积分求积分解：解：.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表等变形，才能使用基本积分表.化积分为代数和的积分例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程.解解:,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,

13、 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy3.基本积分表（基本积分表（1）（）（13）5.不定积分的性质不定积分的性质 1.原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 2.不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(4.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系五、五、 小结小结基本积分表基本积分表 kCkxkdx() 1 (是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf dxxkf)()2(.)( dxxfk不定积分的性质不定积分的性质 dxx211)4(;a

14、rctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 作业题作业题: P183-184 1.(6) (15) (20) 2. 思考题思考题:P183-184 1.(4) (13) (22) (29) 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 一个已知的一个已知的连续连续函数，有函数，有_个原函数，

15、其中个原函数，其中任意两个的差是一个任意两个的差是一个_； 2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分； 3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是它的方程是 CxFy )(； 4 4、 由由)()(xfxF 可知， 在积分曲线族可知， 在积分曲线族CxFy )( )( 是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是些切线彼此是_的；的； 5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_， 则在该区间上， 则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在； 练习题练习题6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二二、 求求下下列列不不定定积积分分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxx