高一数学必修四6同角三角函数的基本关系

1、在在RtOMP中中,由勾股定理有由勾股定理有MP2 + OM2=Oxy1MA(1,0)P(x,y)y2 + x2 =1sin2+cos2=1OP2=1探究探究1 1 当角当角的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？的关系是什么？之间有何关系？探究：tan,cos,sin思考思考 当角当角 的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？关系式是否还成立？ 当角当角 的终边在的终边在x 坐标轴上时坐标轴上时,110cossin22101cossin22当角当角 的终边在的终边在y坐标轴上时坐标轴上时,探究探究2 观察任意角观察任意角的三角函数的三

2、角函数,siny,cosx) 0( ,tanxxy有什么样的关系呢？、tancossinsintancos2kkZ同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系: :商数关系商数关系: :1cossin22cossintan),2(Zkk 同一个角同一个角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于，商等于角角 的正切的正切.温馨提示：温馨提示：“同角同角”二层含义二层含义:一是一是”角相同角相同”,二是二是”任意任意”一个一个角角.（R R）注意注意 ：1、同角的理解：、同角的理解： 14cos4sin22 1)(cos)(sin22 2、 是是 的简写形式，与

3、的简写形式，与 不同。不同。 2sin2)(sin 2sin 3、公式可以变形使用、公式可以变形使用 2222sin1coscos1sin1cossin22cossintancostansin,tansincos tancos53sin. 1和和求求在第三象限，在第三象限，且，且已知已知例例 若去掉条件：若去掉条件： 在第三象限，又如何求？在第三象限，又如何求？ tancos53sin和，求已知课后练习课后练习 1应用应用1:求某个角的三角函数值求某个角的三角函数值:练习已知练习已知 ，求，求sin、tan的值的值. 178cos分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限角因此要对角

4、因此要对所在象限分类讨论所在象限分类讨论. 解：当解：当是第二象限角时，是第二象限角时，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 当当是第三象限角时，是第三象限角时，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 的值，求已知cos,sin3tan解：解：cossintan0tan为第二或第四象限角3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为第二象限角时当1cossin22tancossin方程方程(组组)思想思想

5、例2求值小结：(1)已知已知的某一个三角函数值，且已知终边的某一个三角函数值，且已知终边的位置，直接根据关系式求解，符号由的位置，直接根据关系式求解，符号由终终边确定边确定(2)已知已知的某一个三角函数值，需要讨论的某一个三角函数值，需要讨论终边的位置，再求解终边的位置，再求解(3)若已知若已知tan ，可构造方程求解，可构造方程求解 2cossintan1解：方法cos2sin3coscos3coscos2coscos2原式 cos0cos2原式分子分母同除以方法coscoscossincoscoscossin原式1tan1tan12123cossincossin1, 2tan3）（求下面各

6、式的值。、已知例22cossincossin)2(22coscos4coscos2cos2sin:1代入原式将方法22cos3cos232222222coscoscossincoscossincos:2原式分子分母同除以方法1tantan21-22232，求下面各式的值。、已知例2tan322cossincossin)3(22coscos4coscos2cos2sin1代入原式将方法22cos5cos252222222coscoscossincoscossincos2原式分子分母同除以方法1tantan2122252，求下面各式的值。、已知例2tan352cossin) 4(，求下面各式的值。

7、、已知例2tan3应用应用2:化简三角函数式化简三角函数式:440sin1280cos80cos80cos80sin1440sin122280cos80cos440cos440cos440sin122解：解：例例4:化简：化简： tancos1cossincostancos解：sin 22sin211cos22cossintan切化弦： tancos1 22sin211cos2222cossin1换为222222222cos12cos(sincos)12sin(sincos)2sin 解：解：2222sincossincos1关于化简关于化简:化简后的简单三角函数式应化简后的简单三角函数式应尽

8、量满足以下几点尽量满足以下几点: (1)所含的三角函数种类最少所含的三角函数种类最少;(2)能求值的尽量求值能求值的尽量求值;(3)结果的次数最低结果的次数最低.应用应用3:证明三角等式证明三角等式:cossin1sin1cos例例5:证明：证明：cossin1sin1coscos)sin1 ()sin1 (cos220cos)sin1 (coscos22cossin1sin1cos证明证明1：应用应用3:证明三角等式证明三角等式:cossin1sin1cos例例5:证明：证明：sin1cos左边)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1sin1cos证明证明2：2cossin1

9、cos原式成立右边cossin11.证明方法证明方法:(2)由左往右证由左往右证(3)由右往左证由右往左证(4)两面夹两面夹2.技巧技巧:22cossin1) 1 (换为cossintan)2(切化弦：2)cos(sincossin21 )3(xxxxxxxx22cossin1)sin1)(sin1 ()4(证明恒等式的过程实质上就是分析、转化证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异来促成统一的过程：和消去等式两边差异来促成统一的过程：(1)左左-右右=02222sintansintan22sintan证明：左边222sincossin2222coscossinsin222cos)cos1 (sin222cossinsin24cossin22sintan右边22sincossin24cossin右边左边原式成立证明：证明：求