数分第一章总练习答案

1、1设a,b为实数，证明： maxa,b min a, b-(a b a b )；-(a b a b)2证因为1(a b2a b)所以 max a, b总练习a,当a b时， 1a,当a b时,b当a b时.許 b la b)b,当a b时.-(a b a b )； min a,b21-(a b a b)2、设f和g都是D上的初等函数定义 M (x) max f (x), g (x) , m(x) min f (x), g(x) , x D .试问M (x)和m(x)是否为初等函数？解:因为 M (x)1 f (x)2g(x) f (x)g(x)1f(x) g(x) V f (x) g(x)22

2、所以M(x)是由初等函数f和g经四那么运算和有限次复合而成的函数故M(x)是初等函数.1iI2又因为 m(x) 2f(x) g(x) lf(x) g(x)2f(x) g(x) Vf(x) g(x)所以m(x)也是由初等函数f和g经四那么运算和有限次复合而成的函数，从而m(x)是初等函数.3、设函数f (x)求：f (0),f(x) , f (x 1), f(x)1 1 2帀，f(x),f(f(x).解：f (0)1;f( x)1)dxf(x) 1f()x1f(x);f(x2) 12xx7 ; f(f (x)1 x21 x ;1 x1_x x1 x4、f)X1、1 X2X |x2加1丨1解：f(

3、x) 1XX5、利用函数y x求解:a)某系各班级推选学生代表，每5人推选一名代表，余额满3人可增选1名,写出 可推选代表人数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生数为30 50 人)；b)正数经四舍五入后得正数y,写出y与x之间的函数关系.解:(1)因余额满3人可增选1名，也就是说可在原来根底上增加2人后取整，于是 由x定义知y x 0.5.6、函数y f (x)的图形，试作出以下各函数的图形(1) yf (x);(2) yf( x)；(3) yf ( X) ；(4)yf(x)； ysgn (f (x) ;(6)1y - f (x)f(x);(7) y1-f (X)f(x)解:yf (

4、x)和 yf (x)的图形关于X轴对称y f( x)和yf (x)的图形关于y轴对称 y f( x)和yf (x)的图形关于原点对称 y |f(x)|f(X)，X D1Xf(X) 0，f (X)，x D2 X f (x)0，1， X y sg n(f(x)= 0, X1, x1 y 一| f(x)| f(x)21 y -| f(x)|f(x)D1x|f (x)0D2X|f (X)0D3X|f(x)0f (X)， x D1 x| f(x) 00，x D2 x| f(x) 00，xD1x|f(x)0f(x)， xD2x|f(x)0它们的图象如图1-14一 图1-167、函数 f 和 g 的图象 ,

5、 试作出以下函数的图形 :(1) y max f (x), g(x);(2) y min f (x), g(x); 解 (1),(2) 的图形如图 1-17 和图 1-188、设 f 、 g 和 h 为递增函数， 证明：假设 f(x) g(x) h(x),x ( , )，那么 f(f(x) g(x) h(h(x) .证 由题设条件，有 f( f (x) f (g(x) g(g(x) h(g(x) h(h( x) ， 因而 f(f (x) g(x) h(h(x) .9. 设f、g为区间(a,b)上递增函数，证明(x) max f (x), g(x)和(x)minf(x),g(x)都是(a, b)

6、上的递增函数.证 对任意的為出(a,b),XiX2 ,由f、g在(a,b)上递增知f(X2)f(xj ,g(X2)g(xj，因之(X2)f(X2)f(xj， 区)g(X2) g(xj.从而(X2)max f (Xi),g(Xi)(xj,即(x)在(a,b)上是递增函数.同理可证 (x)在(a, b)上是递增函数.f为a,a上的奇(偶)函数,证明：假设f在0,a上递增，那么f在a,0上递增(减).证 : 当 f(x) 为 奇 函 数 时 , 对 任 意 的 x1,x2 a,0, x1 x2 , 有 x1 , x2 0, a 且为x2 .而 f ( xjf (x1) , f ( x2) f(x2)

7、,从而有 f ( xj f( x2),即f (x1) f (x2),所以f (x)在a,0上是递增的.当 f (x) 为偶函数时 , 类似地可以证明结论成立 .：(1) 奇函数与奇函数之和仍为奇函数(2) 偶函数与偶函数之和仍为偶函数;(3) 奇函数与偶函数的乘积是奇函数;(4) 奇函数与奇函数的乘积是偶函数;(5) 偶函数与偶函数的乘积是偶函数.证:只证(1) 、(3) ，其余可以类似地证明 .设 f1 , f2 为 D 上的奇函数 , g1 , g2 为 D 上的偶函数 . 令F(x)f,(x) f2(x),那么对任意的x D ,F( x) f1( x)f2( x)f1(x) ( f2(x

8、) f1(x) f2(x) F(x)所以F(x)f1 (x) f2(x)是D上的奇函数. 令G(x) fx) g! (x),那么对任意的x D,G( x) f1( x) g1( x)f1(x) g1(x)G(x)所以G(x)fjx) gx)是D上的奇函数.f , g为D上有界函数证明 : inf f(x) g(x) xDinf f (x) supg(x) x DxDsup f (x)xDixnfD g(x)sup f(x) supg(x) . xDx D证: 对任意 x D , 由于 inf f(x)xDf(x), ixnfD g(x) g(x)所以 inf f(x) inf g(x) f(x

9、)g(x),x DxD故 inf f(x) inf g(x) inf f (x) x Dx Dx Dg(x)(1)由不等式 (1) 又有 inf f (x)g(x)inf g(x) inf f(x) g(x) g(x)xDxDxD所以 inf f (x)g(x) inf f(x)x DxDinf( g(x) inf f (x) supg(x)x Dx Df (x)同理有 inf f (x)g(x)xDsup f (x)a inf g(x) x DxD对任意 x D , 由于 f (x)sup f (x), g(x) supg(x),x DxD所以 f (x) g(x) sup f (x) su

10、pg(x)xDx D故 supf(x) g(x) supf(x) supg(x) (2)x Dx Dx D由不等式 知 sup f (x) g(x) f (x) sup f(x) g(x) sup( f (x)x Dx Dx D所以 sup( f (x) supg(x) sup f (x)g(x)x Dx Dx D即 inf f (x) supg(x) sup f(x) g(x)sup f(x) g(x)x D同理有 sup f (x) inf g(x)x Dx D13.设f , g为D上有界函数，且f (x)0,g(x)0证明：inf f (x) inf g(x) inf f (x) g(x

11、) sup f (x) g(x) x Dx Dx DxDsup f (x) supg(x)x D证:(1)x D只证第一个和第三个不等式xD,由 in f g(x) g(x),且 f (x)0,g(x)0,所以 in f f(x) in f g(x) f (x) g(x),x Dx Dx D故infx Df(x) inf g(x) inf f(x) g(x),x Dx D同理可以证明 sup f (x) g(x) sup f (x) supg (x)x Dx Dx D(2)第二个不等式显然成立0 ,)上的函数到整个实数轴上，使所得的函数为(I )奇函数(n )偶函数.设1.1 x2 , 0 x

12、 1(1)f (x) sin x1(2) f(x)3x,1 xsin x1,0x解:(1)令 fo(x)0 ,x0sin x1,x 0sinx 1, 0 xsin x 1,x 0那么fo (x)是奇函数，fe (x)是偶函数，且都是f (x)延拓.(2)令 fo (x)11 x21 x21x3fe(x)13x那么fo (x)是奇函数,fe (x)是偶函数,且都是f (x)延拓.注：一般地令fo(x)f(x), 0 x0, x 0, fe(x)f(x), x 0f (x) , 0 xf ( x) , x 0那么fo(x)是R上的奇函数，fe(x)是R上的偶函数，且都是f (x)的延拓.f为定义在(，)上以h为周期的函数.证明：假设f在a, ah上有界，那么f在(,)上有界证：因为f 在a , ah上有界，从而存在M0,对任意的x a , ah,有 f(x) M .对任意的y (,),一定存在整数k及xa , a h使 y khx.于是 f(y) f(kh x) f (x) M所以f在(，)上有界f在区间I上有界，记Msup f (x),x Im infx If(x)证明：sup f (x) f (x )x ,x If (x