15高数(上) 4.1,不定积分概念、性质4.2换元一

1、 形象和位置与右脑的思维活形象和位置与右脑的思维活动关系密切，因而有助于记忆。动关系密切，因而有助于记忆。 把需要记忆的事物与形象或把需要记忆的事物与形象或位置联系起来，就能达到有助于位置联系起来，就能达到有助于记忆的目的。比如，利用电话号记忆的目的。比如，利用电话号码在号盘上的位置和组成的形象，码在号盘上的位置和组成的形象，就是记忆电话号码的一种好方法。就是记忆电话号码的一种好方法。 4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 一、不定积分概念一、不定积分概念 1 1.原函数的定义原函数的定义 (P127定义定义4.1) xFdxxfxdFxfxFIx，则则或或，区区间间例例,xcos

2、)x(sin,xcos)x(sin1xcos)Cx(sin的原函数的原函数都是都是xcosCxsin,xsin,xsin1 .xfCxFxfxF的的所所有有原原函函数数为为的的一一个个原原函函数数，则则为为设设证证 xfCxFi 0 xfxfxFx 则则 CxFx ,xfxii的另一个原函数的另一个原函数为为设设 .Idxxfxf上上的的原原函函数数在在或或就就称称为为第四章第四章 不定积分不定积分 CxFx 2 2.不定积分的定义不定积分的定义 (P128定义定义4.2) 补例补例1dxx2求求233xxCxdxx332补例补例2dxx1求求xxln1Cxlndxx1积分号，积分号，)x(f

3、被积函数，被积函数，dx)x(f被积表达式，被积表达式，x积分变量。积分变量。所以所以 CxFdxxf解解解解 dxxf的的不不定定积积分分，记记为为 上上在在区区间间的的所所有有原原函函数数称称为为上上，在在区区间间IxfxfI补例补例3Cxdxxy22解解 xfy 设设所所求求曲曲线线为为xdxdy2由题意知由题意知又曲线通过点（又曲线通过点（1，2），），C121C 12xxf此曲线的方程为此曲线的方程为12 xy函数函数 )x(f的原函数的图形称为的原函数的图形称为 )x(f的的积分曲线积分曲线。 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等），且其上任意点处的切线

4、斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。它是无穷多条互相平行的曲线组成的曲线族。它是无穷多条互相平行的曲线组成的曲线族。xoy2xy 12 xy由不定积分的定义，可知下述关系：由不定积分的定义，可知下述关系：由于由于dx)x(f是是)x(f的原函数，所以的原函数，所以),x(fdx)x(f;dx)x(fdx)x(fd由于由于)x(F是是)x(f的原函数，所以的原函数，所以C)x(Fdx)x( FC)x(F)x(dF二、基本积分表二、基本积分表Ckx dxx dxx1dxx211dxx211xdxsinxdxcos 2Cxtandxxsec 2Cxcotdx

5、xcsc Cxsecdxxtanxsec Cxcscdxxcotxcsc Cchxshxdx Cshxchxdx Cedxexx Calnadxaxxdxk1 11 Cx CxlnCxarcsin Cxcos-CxsinCxarctanCkx dxx dxx1dxx211dxx211xdxsinxdxcos Cxtan Cxcot Cxsec Cxcsc shxdx chxdx dxex dxaxdxk1 11 Cx CxlnCxarcsin Cxcos-CxsinCxarctan练习练习dxxsec2dxxcsc2dxxtanxsecdxxcotxcscCexCalnaxCchx Cshx

6、三、不定积分的性质三、不定积分的性质 dxxgdxxfdxxgxf dxxfkdxxkf补例补例4dx)x(x52求求解解dx)x(x52dx)xx(21255dxxdxx21255Cxx232732572补例补例5dxxx231求求解解dxxx231dxxxxx223133dx)xxx(2133Cxxlnxx13322补例补例6dx)xcose(x3求求解解dx)xcose(x3Cxsinex3补例补例7dxexx2求求解解dx)e(x2dxexx2C)eln()e(x22Cln)e(x212补例补例8dx)x(xxx2211求求解解dx)x(xxx2211dx)x(xx)x(2211dxx

7、dxx2111Cxarctanxln补例补例9dxxx241求求解解dxxx241dxx)x(24111dxxdx)x(22111 33Cxarctanxx补例补例10dxxtan2求求解解dxxtan2dx)x(sec12 Cxxtan补例补例11dxxsin22求求解解dxxsin22dxxcos121Cxsinx21例例12dxxcosxsin22122求求解解1dxxcosxsin22122dxxsin221dxxcsc24Cxcot4dxxcosxsin22122Cxcotxtan2222dxxcosxsinxcosxsin22222222dxxsindxxcos212122解解22

8、2222222xdxsinxdxcos积分公式形式不变积分公式形式不变把把 3 x 当作当作 u , “ d ”后面凑成后面凑成 uCxcosxxdsinxdxsinxdxsin331333133解解：例例：求求)x(udu)u(fC)x(Fdx)x()x(f)x(uC)u(Fdu)u(f 可可导导，则则，设设1 1、基本公式（、基本公式（P134P134）2 2、凑微分、凑微分调整系数调整系数Calnax2214.2 换元积分法换元积分法一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法补充例题：补充例题：dxex4Cex441dxax2)Cucos(udusin13131（1 1）凑系数）凑系数C)

9、bax(a)bax(d)bax(adx)bax(655611调整系数时，只管调整系数时，只管 a 不管不管 b. . d b = 0C)xtan()x(d )x(sec122112122121 / 3 C1 = C1 / 2 C1 = C补充例题补充例题C)xcos(2331adx)bax(ddx)xsin(23dx)x(sec122（2 2）凑线性式）凑线性式Cex23261xdxCedxedxexxxx22221212例例：说明：说明：凑，是一种逆向思维活动，一般构成教学上的难点，解凑，是一种逆向思维活动，一般构成教学上的难点，解 决方法是使思维活动决方法是使思维活动程序化程序化。a）看被

10、积函数由哪几个因式组成。看被积函数由哪几个因式组成。b）把容易积分的因式先积分，积分结果放在微分号把容易积分的因式先积分，积分结果放在微分号“ d ”的后的后 面。如果有常数因式，则直接放在积分号前面。面。如果有常数因式，则直接放在积分号前面。c）把把“ d ”后面的表达式（有时需调整系数或添加常数）作为后面的表达式（有时需调整系数或添加常数）作为 u, , 看能否将被积函数写成看能否将被积函数写成 u 的表达式的表达式, , 积分。积分。d）若不能，则试用其它积分方法。若不能，则试用其它积分方法。（3 3）凑微分）凑微分逆向思维的程序化逆向思维的程序化dxxex232例例：223221dxe

11、x)x(dex2331212232Cx23243221Cxlnln3231dxxx24求求补例补例1 1：22421dxx)x(dx224421dxxx24解：解：)xtan(xcosdx12求求)xtan(xcosdx12dx)xtan(xcos1112xtan)x(tand1xtan)xtan(d11补例补例2 2：)xln(xdx32dxxlnx3211xln)x(lnd32xln)xln(d323231补例补例3 3)xln(xdx32求：求：解：解：解：解：Cxtanln1Cxtanxtan331Cxcosxcos331说明：凡是说明：凡是 sinx, cosx 的的奇奇次幂，都可以

12、采用这种次幂，都可以采用这种分出一次因式、将剩余部分用平方关系变形的方法。分出一次因式、将剩余部分用平方关系变形的方法。)x(tand)xtanxtanxdxsecxsecxtanxdxsecxtanxsecxdxsecxtannmnmnmnm122222221（凑凑微微分分。则则可可以以先先分分出出类类似似的的：补例补例4 4：xdxsec4求求解：解：补例补例5 5：xdxsin3求求解：解：xdxsec4xdxsecxsec22)x(tand)x(tan12xdxsin3xdxsinxsin2)x(cosd )xcos(21)x(cosd )x(cos12Cxxlnxdx112112公公

13、式式Caxarcsinaxaxdaxadxxadx222211Cxxln221111212)x()x(xCxxlnCxlnxlndxxx)x(xdxxx)x(x2212212112122112121补例补例6 6：）（022aCaxarcsinxadx证明证明证：证：)x(xdx2求求11122)x()x(d)x(xdxC)x()x(ln111121补例补例7 7：解一：解一：解二：解二：利用有理分式函数的积分法利用有理分式函数的积分法xdxtan求求补例补例8解解xdxtandxxcosxsinxcosdxcos1Cxcoslndxxa221求求补例补例9解解dxxa221)ax(daxa2

14、111Caxarctana1dxaxch求求补例补例10解解dxaxchaxdaxchaCaxashdxaxa22111每题的蓝色部分即为公式每题的蓝色部分即为公式dxax221求求补例补例11解解dxax221dx)ax)(ax(1dxaxaxa1121CaxaxlnaCaxlnaxlna2121)dxaxdxax(a1121dxxex3求求补例补例12解解dxxex3xdex32Cex332xdex3323xxdx2xdxcosxsin52求求补例补例13解解xdxcosxsin52xdxcosxcosxsin42xsindxsinxsin2221xsindxsinxsinxsin4222

15、1xsindxsinxsinxsin6422Cxsinxsinxsin753715231补例补例14解解xdxcos2求求xdxcos2dxxcos221xdxcosdx221xxdcosdx222121Cxsinx22121补例补例15解解xdxcos4求求Cxsinxsinx4412122341xdxcos4 dxxcos2221dxxcosxcos2221412dxxcosxcos24122141dxxcosxcos24222341Cxsinxsinx432124183Cxsinx24121注：弦函数的偶次幂，利用半角公式降幂。注：弦函数的偶次幂，利用半角公式降幂。2222222xdxc

16、osxsinxcosxsin补例补例16解解xdxcsc求求xdxcscdxxsin1dxxcosxsin2221)x(dxcosxtan22212221xtandxtanCxtanln22xtanxsinxcos1xcotxcsc222xd )xcotx(tanCxsinlnxcosln22Cxcotxcsclnxdxcsc或：或：补例补例17解解xdxsec求求xdxsecdxxcos1dxxsin21 )x(dxcsc22 Cxcotxcscln22 Cxtanxsecln补例补例18解解xdxsec6求求xdxsec6xdxsecxsec222xtandxtan221Cxtanxtanxtan535132xtandxtanxtan4221凑凑微微分分。先先分分出出因因式式的的偶偶次次幂幂积积分分