第10讲 第2章第7节 循环群

1、主讲教师主讲教师 ： 蔡蔡 炳炳 苓苓 （河北师范大学数学与信息科学学院（河北师范大学数学与信息科学学院) 第7节 循环群 研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三种问题:1.1.存在问题存在问题 2.2.数量问题数量问题 3.3.结构问题结构问题 数量问题指的是彼此不同构的代数体系的数量,因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的. 结构问题指的是该代数体系中元素的表达方式、运算规则以及生成元集、子体系等问题. 研究群也需要解决以上问题,但我们又不可能将所有群找出来一一研究,而是要将群分类讨论. 循环群是已经研究清楚的群之一，就循环群是已经研究清楚的群之一，就是说这种群的是说这种群的元

2、素表达方式元素表达方式和和代数结构代数结构（运算规律）（运算规律），以及在，以及在同构意义下这种群同构意义下这种群的数量的数量等，都完全研究清楚了。等，都完全研究清楚了。 整数加群整数加群Z 模模m的剩余类加群的剩余类加群0,1,2,1mZm 注：群中所有元都能由一个元表示，具体表示形式由运算注：群中所有元都能由一个元表示，具体表示形式由运算决定。决定。G=1,i,-1,-i对于数的乘法作成的群对于数的乘法作成的群思考思考: :以下三个群有什么特殊的共性？以下三个群有什么特殊的共性？ 若群若群G中每个元都能表示成某个固定元中每个元都能表示成某个固定元a的方幂，就称群的方幂，就称群G为为循环群循

3、环群, , 也称群也称群G为为由元由元a生成的群，记为生成的群，记为G=(=(a)= ,)= ,称称a是是G的一个生成元的一个生成元. .即即,2012aaaaaGx G ，必存在一个整数必存在一个整数m,使得使得mx a 因此因此定义：定义： a 一、存在性一、存在性例例1：G=1,i,-1,-i对于数的乘法是一个对于数的乘法是一个4阶循阶循环群。环群。01i21i1ii 3ii i是其一个生成元。是其一个生成元。例例2 2 整数加群整数加群Z Z1,Z mm( 1)( 1)( 1)1()1（），mm 00 1 例例3 3 模模n的剩余类加群的剩余类加群( (无限阶循环群无限阶循环群) )1

4、111mmm (n(n阶循环群阶循环群) )0,1,2,1nZn0 1 111nnn 11,in 1 111iii 注：群中所有元都能由一个元表示，具体表示形式由运算决定。注：群中所有元都能由一个元表示，具体表示形式由运算决定。引理1：设群G中元a的阶为n。则mneam|khkhnaakh引理2：设群G中元a的阶为无限。则khaakh元素阶的性质( )0;ahkh kaaaehkhk 事实上，事实上，( )|(mod ).anhkh kaaaen hkkkn 二、构造二、构造 aGa,2012aaaaaGna 011,nGaaa定理定理1 1 设循环群设循环群，a是其生成元。则是其生成元。则

5、；且；且2.2.G是是n阶循环群阶循环群；且；且1 1. . G是无限阶循环群是无限阶循环群 aG:,kak kZ : kak 定理定理 循环群循环群，则，则(2)(2)若若G是是n阶循环群，则阶循环群，则G与模与模n的剩余类加群同构的剩余类加群同构. .(1)(1)若若G是无限阶循环群，则是无限阶循环群，则G与整数加群同构与整数加群同构. . 证明证明： （2 2）（1 1）建立映射建立映射易知它是满射，且它是单射，因为易知它是满射，且它是单射，因为=) (（）（）=（）.hkh khka aahkaa 而且而且;hkaahk因此它是同构映射因此它是同构映射. ., ,同理可证。同理可证。三

6、三. . 数量数量 由此可知，由此可知，循环群的结构完全由生成元的阶决定循环群的结构完全由生成元的阶决定。 （2）任意阶有限循环群均存在。）任意阶有限循环群均存在。 两个有限循环群同构充要条件是它们的阶相同。两个有限循环群同构充要条件是它们的阶相同。（1 1）从同构的角度看，无限循环群只有一个，）从同构的角度看，无限循环群只有一个，即整数加群；即整数加群；n n阶循环群只有一个，即模阶循环群只有一个，即模n n的剩余的剩余类加群。类加群。循环群一定是交换群循环群一定是交换群. .( ), ,hkhkhkkhkhGax yGh kxayaxya aaaa ayxG设则使得 交换.( )Ga 结论

7、结论1 1 无限循环群无限循环群的生成元的生成元仅有两个仅有两个1,.a a(),( )1.,1.kksksaaaaaksksk s 事实上，若是一个生成元，则而又因为 ， 是整数另外我们也有( , )1k nka()kord an也是也是G的生成元的生成元 结论结论2 2 G是是n阶循环群阶循环群，（利用前面已证的结论（利用前面已证的结论，()( , )knord an k即可即可）因此，因此，n阶循环群生成元的个数是阶循环群生成元的个数是0 0，1 1，2 2，n-1中与中与n互质的数的个数互质的数的个数. . 关于关于循环群的子群循环群的子群结构及数量我们将结构及数量我们将在后面讲了子群一节后给出；在后面讲了子群一节后给出； 研究群也可以从