微积分12-微分方程-1

1、微积分理论微分方程及其应用微分方程及其应用微积分理论 冯国臣2022-3-22例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为一、问题的提出一、问题的提出微积分理论 冯国臣2022-3-22例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列

2、车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 微积分理论 冯国臣2022-3-22代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005

3、020502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需微积分理论 冯国臣2022-3-22微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义微积分理论 冯国臣2022-3-22微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程

4、中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:微积分理论 冯国臣2022-3-22分类分类3 3: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy微积分理

5、论 冯国臣2022-3-22微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .微积分理论 冯国臣2022-3-22(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任

6、意常数以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .微积分理论 冯国臣2022-3-22过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问

7、题求微分方程满足初始条件的解的问题. .微积分理论 冯国臣2022-3-22例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd微积分理论 冯国臣2022-3-22. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktC

8、x , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)微积分理论 冯国臣2022-3-22微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;四、小结四、小结微积分理论 冯国臣2022-3-22思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解

9、?微积分理论 冯国臣2022-3-22思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.微积分理论 冯国臣2022-3-22一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()

10、(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法微积分理论 冯国臣2022-3-22例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 二、典型例题二、典型例题微积分理论 冯国臣2022-3-22.0)()(2通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduug

11、ufuugx 通解为通解为解解微积分理论 冯国臣2022-3-22例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律.解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律微积分理论 冯国臣2022-3-22例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 水从它的底部小水从它的底部小孔

12、流出孔流出, 小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图). 开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器求水从小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时随时间间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度微积分理论 冯国臣2022-3-22cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由水面

13、的高度由h降至降至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2微积分理论 冯国臣2022-3-22dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为微积分理论 冯国臣2022-3-

14、22解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,

15、2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 微积分理论 冯国臣2022-3-222CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO微积分理论 冯国臣2022-3-22分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量

16、分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.三、小结三、小结微积分理论 冯国臣2022-3-22思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 微积分理论 冯国臣2022-3-22思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.微积分理论 冯国臣2022-3-22一、齐次方程一、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代

17、入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义微积分理论 冯国臣2022-3-22,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 当当, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解微积分理论 冯国臣2022-3-22例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xy

18、u ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解微积分理论 冯国臣2022-3-222222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解微积分理论 冯国臣2022-3-22,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122

19、)121(21xdxduuuuu 微积分理论 冯国臣2022-3-22可化为齐次的方程可化为齐次的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法解法1.1.定义定义微积分理论 冯国臣2022-3-22 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY

20、得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba微积分理论 冯国臣2022-3-22,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可化为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量

21、可分离变量.微积分理论 冯国臣2022-3-22.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 微积分理论 冯国臣2022-3-22,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为微积分理论 冯国臣2022-3-22利用变量代换求微分方程的解

22、利用变量代换求微分方程的解.)(52的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 微积分理论 冯国臣2022-3-22小结小结齐次方程齐次方程).(xydxdy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令微积分理论 冯国臣2022-3-22思考题思考题方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?微积分理

23、论 冯国臣2022-3-22思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.微积分理论 冯国臣2022-3-22)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当三、线性方程三、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.微积分理论 冯国臣2022-3-22. 0)

24、( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)微积分理论 冯国臣2022-3-222. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次

25、方程通解相比:)(xuC 微积分理论 冯国臣2022-3-22常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy微积分理论 冯国臣2022-3-22代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为

26、: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解微积分理论 冯国臣2022-3-22.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1微积分理论 冯国臣2022-3-22例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等

27、于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 微积分理论 冯国臣2022-3-22 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 微积分理论 冯国臣2022-3-22伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.伯努利方程伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.微积分理论 冯国臣2022-3-22,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.