抛物线知识点汇总及考点例题

1、高一数学科讲义第3讲抛物线成绩好温故知新知识点核心：抛物线1.定义：把平面内与一个定点F和一条定直线11不经过F丨距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛考点一：定义和标准方稈抛物线定义中的“转化法禾U用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.例1 设P是抛物线y2= 4x上的一个动点. 求点P到点A 1,1)的距离与点P到直线x=- 1的距离之和的最小值；(2)假设B(3,2)，求|PB|+ |PF|的最小值.变式1 :抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 M

2、一 3, m到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和m的值.(1) 关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.(2) 技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.例22_1 (2022四川高考)抛物线y2= 4x的焦点到双曲线x2 - £ = 1的渐近线的距离是 1 2变式2 :抛物线y x的焦点坐标是.411A0,丄B ,01616C(0, 1)D( 1,0)变式3:抛物线yx2上一点到直线2xy 40的距离最短的点的坐标是A. 1,1D.2, 4考点三：抛物线与直线直线与抛物线相交的四个结论抛物线y2= 2px(p>0),过

3、其焦点的直线交抛物线于A, B两点，设A(xi, yi), b(x2, y2),那么有以下结论:(1) |AB| = xi + X2+ p 或 |AB|= 鶴(a 为 AB 所在直线的倾斜角)；(2) Xix2= p;(3) yiy2 = p2;Sin a4(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.例3 (2022福建高考)如图，等边三角形 OAB的边长为8.3，且其三个顶点均在抛物线E: x2= 2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线I与抛物线E相切于点P,与直线变式4 :过点 A 4,0的动直线I与抛物线G : x2 = 2pyp

4、>0相交于B, C两点.当直线I的斜率是|时，AC = 4 AB . 求抛物线G的方程；2设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.前沿热点1 抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考 查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等.2直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x或y，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件.典例2022湖南高考过抛物线E： x2= 2pyp>0的焦点F作斜率分别为ki，k2的两条不同直线li，I2，且ki+ k2 =2，li与E相

5、交于点A，B，I2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆 M，圆NM，N为圆心的公共弦所在直 线记为I. 1假设ki>0，k2>0，证明：FM .FN <2p2；假设点M至煩线I的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程.变式5: (2022广东高考)抛物线 C的顶点为原点，其焦点F(0, c)(c>0)到直线I: x y 2 = 0的距离为 冷2,设P为直线I上的点，过点P作抛物线C的两条切线FA, PB，其中A, B为切点.(1) 求抛物线C的方程；(2) 当点P(xo, yo)为直线I上的定点时，求直线 AB的方程；(3) 当点P在直线I上移动时，求AF| B

6、F|的最小值.变式6 :直线y= 2上有一个动点 Q,过点Q作直线li垂直于x轴，动点P在li上，且满足 0P丄0Q0为坐标原点 ，记点 P 的轨迹为 C.求曲线C的方程；假设直线12是曲线C的一条切线，当点0,2到直线12的距离最短时，求直线12的方程.课后练习:、选择题本大题共 10小题，每题5分，共50分1 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为A. 1, 0B. 2, 0C. 3, 0D.一 1,02 .圆心在抛物线 y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A.1x2+ y 2-x-2 y -=04B. x2+ y 2+x-2 y +1=0

7、C. x2+ y 2-x-2 y +1=0D. x2+ y 2-x-2 y + -=04'3. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,假设水面下降1m,那么水面宽为A.6mB. 2V6 mC. 4.5mD. 9m_4. 平面内过点 A-2, 0，且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是一2 2 2 2A. y = 2xB. y = 4xC. y = 8xD. y = 16x5 .抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点-5, m到焦点距离是6，那么抛物线的方程是 _A. y 2=-2xB. y 2=-4xC. y 2=2xD. y 2=-4x 或 y 2=-36x6 .过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于AX1, y 1 , BX2, y 2两点，如果X1 + X2=6，那么|AB|=A.(y3)24(x 2)b. (y 3)24(x 2)C.(y3)24(x2)D. (y 3)24(x2)过点M2, 4作与抛物线y 2=8x只有-个公共点的直线l有A.0条B. 1条C. 2条D. 3条7 把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量81 19.过