人教版小学数学六年级下册《鸽巢问题》教学实录

1、.鸽巢问题教学设计教学目标：1、 使学生理解“鸽巢原理”（“抽提问题”）的基本形式，并能初步运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。2、 通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经理鸽巢原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，提高学习数学的兴趣。教学过程：一、 创设情境 生成问题游戏导入师：仔细听（拍响口袋中的硬币），老师口袋里有什么？生：硬币师：那谁来猜一猜老师口袋里有几枚一元的硬币？生1：生2：生3：师：为什么没有人猜一枚？生：一枚不可能发出碰撞的响声。师：怎样才会发出响声呢？生：至少两枚。师：至少是什么意思？生1：最少。生2：不少于生3：等于或多于。师：同学们说

2、的非常好，至少是最少、等于或多于、不少于的意思，也就是说老师的口袋里至少有两枚硬币。师：这个小游戏好玩吗？接下来我们一起研究一个更好玩的问题好吗？生：好师：板书“鸽巢问题”二、 探索交流 解决问题师;同学们请读题：把4支铅笔放入3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。对吗?生1：对生2：不对师：要想知道对错我们需要？生：验证师：请同学们以小组为单位开始研究，看一看把4支铅笔放入3个笔筒里，到底有多少种放法？生：小组之间开始合作探究（注：在学生合作探究之前，我并没有给学生提示不需要考虑排列顺序，这样做的目的是考虑到一部分学生肯定会按序排列，在讲解的过程中，用学生的错误进行正面引导，

3、让学生加深印象，实际上我在巡视的过程中就已经敲定了上台演示的有着两种不同答案的学生）师：先请一位同学到讲台上来演示。生1：开始演示师：我们如何来记录呢？生：用数字生1演示 ，由师进行记录：（4 0 0）（3 1 0 ）（2 2 0） （2 1 1 ）注：学生不一定按照把4支铅笔放入3个笔筒里从高到底的顺序排列，假如是这样就讲解从高到低排列的好处做下了铺垫，即时学生是按序排列，也可以引导学生说出这样排列的好处-不重复、不遗漏。师：有没有同学认为有遗漏的？（点名让重复排列的同学到黑板上演示，这样可以引起学生对有序排列与无序排列的思考）生2：演示，由师进行记录：（2 1 1 ） （1 2 1 ） （

4、1 1 2 ）师：同学们在这一题中，我们是否要考虑顺序呢？生：有的认为需要，有的认为不需要。师：题目当中说“总有一个笔筒”，规定是那一个具体的笔筒了没有？ 那我们需不需要考虑顺序？生：不需要师：所以第一位同学的答案是正确的，至少是最少、等于或多于的意思，那么在第一种放法中有一个笔筒里（ ） 2？第二种放法中有一个笔筒里（ ）2 ？第三种放法中有一个笔筒里（ ）2 ？第四种放法中有一个笔筒里（ ）2 ？生：多于、多于、等于、等于师：四种放法都满足“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这样一个结论，所以这句话是？生们：正确的注：趁机引导学生认识到从高到底的顺序排列的方法以及这样排列的好处-不重复、不遗漏

5、。为接下来的例题的验证提供方法，同时为假设法的引出提供铺垫。师；出示“把5支铅笔放入4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔？生：（不假思索） 2支师：到底对不对呢？我们还需要？生们：验证注：可以肯定的是大部分学生会不考虑笔筒顺序 ，而且从高到低或从低到高的进行排列。在这一部分中，我要让学生自己来讲解至少数为2的正确原因，但是需要注意的是要给学生适当的引导，引导学生采用规范的数学语言来表达。师：哪一位同学愿意到黑板上列举出你的放法，并结合上一题的讲法给同学们讲解？（可点名）生：共六种放法（ 5 0 0 0）（4 1 0 0）（3 2 0 0）（3 1 1 0 ）（2 2 1 0

6、 ） （2 1 1 1 ）第一种放法中有一个笔筒里多于2，第二种放法中有一个笔筒里多于2，第三种放法中有一个笔筒里多于2，第四种放法中有一个笔筒里多于2，第五种放法中有2笔筒里等于2，第六种放法中有一个笔筒里等于2，以上每一种摆法都符合题目，所以总有一个笔筒里至少有（2）支铅笔。师：同学们太棒了。上面这种一一列举的方法叫做“枚举法”，下面我再出一道题考考你们，“把5支铅笔放入4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”对吗？注：无论学生回答对或不对，我都会引导学生去验证学生能想到的方法一定是刚刚揭示的“枚举法”，片刻之后学生就会意识到这种方法非常的麻烦，他们肯定想寻求一种简便快捷的方

7、法，于是为接下来引导出假设法和列式计算做了铺垫。生：对（也有部分同学给与否定）师：那怎么办？生：验证师：（片刻之后）用枚举法好验证么？为什么？生们：不好验证，因为出现的数字较大，一一列举太麻烦。师：那同学们请你仔细观察以上两组放法，看看哪一种一眼就能看出至少数？生： （ 2 1 1 ） 和 （2 1 1 1 ）师：它们有什么特点？生1：它们当中由1个2 和若干个1 组成。生2：它们比较接近，比较均匀。师：那么你们能否用自己发现的方法去进行验证呢？小组之间先讨论交流，再进行操作。注：根据学生得出的结论可以获知学生会采用一个笔筒里放2支铅笔，其他98个笔筒里各放1支的方法，肯定会有很少一部分同学会

8、想到用“平均分”的方法。师：谁来说一说，你是怎么验证的？生1：通过我观察到的规律，我假设这一种方法是正确的，我现在一个笔筒里放入2支笔，其他的98个笔筒各放一支，这样就是 2+98=100 。师：非常好！ 哪位同学有没有其他方法？生2：假设现在99个笔筒里各放1支笔，剩下的1支笔不论怎么放，总有一个笔筒里有2支笔。师：好方法，每个笔筒里分配一支笔，类似于我们以前学过的哪一种分法？生：平均分师：同学们非常棒，这一种方法实际上是“假设法”，它所运用到了平均分的数学思想。你能列出算是吗？生：能， 100÷99=11师：那么我们现在用这种假设法来回顾一下刚才用枚举法解决的两个问题好么？你能解

9、释它们的至少数为什么是2么？（出示：第一题 把4支铅笔放入3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？ 第二题 把5支铅笔放入4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？）生1：第一个题假设每一个笔筒里先放入1支，4-3=1，手里还剩下1支，不管放到哪个笔筒里，总有一个笔筒里有两支笔，也就是至少有2支笔。生2：第二题假设每一个笔筒里先放入1支,5-4=1 手里还剩下1支，不管放到哪个笔筒里，总有一个笔筒里有两支笔，也就是至少有2支笔。师：非常好，上面两位同学用的是口述的假设法，你们能否用算式来解释呢？生：可以，（1） 4÷3=11 （2） 5

10、47;4=11师：接下来同学们仔细观察刚才的3个例子，你发现了哪些规律？ 笔数 笔筒数 商 余数 至少数 4 ÷ 3 = 1 1 1+1 5 ÷ 4 = 1 1 1+1 100 ÷ 99 = 1 1 1+1生1：笔数比笔筒数多1生2：当笔数比笔筒数多1时，至少数为2师：同学们观察的非常仔细，那么至少数中的1+1，第一个“1”表示什么？第二个“1”表示什么？生：第一个“1”表示商，第二个“1”表示的是余数。师：我们可以用一个式子表示至少数：至少数= ？生：至少数=商+余数 师：真么是这样么？我们在实践中去验证它，大家请看题：“把7之比放进5个笔筒中，不管怎么放，总有

11、一个笔筒里至少有（ ）支笔”，给出答案并说一说你的解题思路。生1：至少数为3，我采用列算式：7÷5=12 至少数=商（1）+余数（2）生2：至少数为3，我采用假设法：每个杯子里先放入一支笔，剩下的2支笔放入任何一个笔筒里，总有一个笔筒中有3支笔。师：有没有不同的观点？生：我觉的至少数应该为2，我采用的也是假设法：每个杯子里先放入一支笔，剩下的2支笔分别放入不同的笔筒里，可以记为：1 1 1 2 2 ；如果放入同一个笔筒里应记为：1 1 1 1 3 ；至少的意思是最少，所以我认为至少数为2.师：说的非常好，那么至少数=商+余数这个结论还正确吗？至少数应该为商+（ ）？生：不正确，至少数

12、应该等于商+1师：用式子怎么表示？生：7÷5=12 至少数=1+1师：假如我们把笔看成待分物体，把笔筒看成鸽巢，把待分物体放入鸽巢里，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有（ ）个物体。生：总有一个鸽巢里至少有商+1个物体师：当没有余数时呢？生：至少数=商师：出示： 待分物体数÷鸽巢数=商余数 至少数=商+1待分物体数÷鸽巢数=商至少数=商把待分物体放入鸽巢中，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有（ ）或（ ）个物体。生：把待分物体放入鸽巢中，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有（ 商 ）或（ 商+1 ）个物体。师：同学们你们太棒了，这就是我们这节课要研究的“鸽巢问题”，也称“抽屉问题”它里面所包含的原理又称为“鸽巢原理”或“抽屉原理”，它是由德国数学家狄利克雷最早提出的，所以也称“狄利克雷原理”其实我国古代就有人开始运用“鸽巢原理”解决问题，但由于没有系统的总结、归纳为原理，只能拱手送给了德国人狄利克雷。所以同学们在以后的生活、学习中不仅要善于发现，还要善于总结。注：在讲解至少数这个概念的过程中，我故意引导学生下结论，当然学生根据感性的认识肯定会得出至少数=商+余数的，我的一个质疑是的学生有所思考，让学生在错中求对，会给学生留下深刻的印象，同时还可以培养学生谨慎的学习态度。三、 巩固应用 内化提高1、11只鸽子飞进4个鸽笼