角概念的推广

1、角概念的推广【复习要求】1了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；【知识要点】1角的概念(1) 任意角：定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S |k·360 °，kZ .(3) 象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限.2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角

2、的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)rad,1 rad180°.角度制和弧度制的互化： 180 ° rad,1 °180112(3)扇形的弧长公式： l | ·r，扇形的面积公式：S2lr 2| r·.3终边相同的角的表示所有和角 终边相同的角，连同 角在内可用式子 k·360°， kZ 或 2k ， k Z 表示【基础练习】1给出下列命题：（ 1）小于 90°的角是锐角；（ 2）锐角是第一象限角，反之亦然；（ 3）第三象限的角必大于第二象限的角；（ 4）终边相同的角的不一定相等；（ 5）相

3、等的角必是终边相同的角；（ 6）若角和角有相同的终边，则角（）的终边必在x 轴的非负轴上其中正确命题的序号是2已知角 的终边经过点 (3， 1)，则角 的最小正值是 _解析： 因为 sin 1111 6 2k(kZ )故 112 2，且 的终边在第四象限，所以的最小正值是6 .答案： 1163弧长为3，圆心角为135 °的扇形半径为 _ ，面积为 _第1页共6页解析： 弧长 l 3，圆心角 3，4由弧长公式 l ·r得 r l 33 4，面积 S12lr 6.114是第 _象限角4 4115解析： 4 44 . 答案：三1”的 _条件5“ ”是“ cos 262答案：充分而

4、不必要6若 n·360° ， m·360 ° (m， n Z )，则 ， 终边关于直线 _对称答案： x 轴【例题精析】考点一角的概念的推广例 1(1) 已知角 45°，在 720°到 0°内找出所有与角 有相同终边的角 ；(2)设集合 M x x k×180° 45°， k Z ，2N xxk× 180° 45°， k Z ，判断两集合的关系4解 (1) 所有与角有相同终边的角可表示为 45° k× 360 °(kZ ) ，则令 72

5、0° 45° k× 360° 0°，得 765° k× 360° 45°，解得 765360 k 36045，从而 k 2 或 k 1，代入得 675°或 315°.(2)因为 M x|x (2k 1)×45°， kZ 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N x|x (k 1)× 45°，kZ 表示的是终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而MN.方法归纳 (1) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写

6、出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角(2)已知角 的终边位置，确定形如k，k±等形式的角的终边的方法：先表示角的范围，再写出k、 k±等形式的角的范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置6迁移练习1：（ 1）若角 的终边与角的终边相同， 求在 0,2)内终边与角的终边相同的角；73解： 所有与角 67的终边相同的角的集合是 | 67 2k， kZ ， 22所以所有与角3的终边相同的角可表示为 3 7 3k， kZ .22034所以在 0,2)内终边与角 3的终边相同的角有7， 21， 21.（ 2）已知角是第一象限角，试确定角

7、2， 所在的象限2解： 因为 2k<<2 k ， kZ，2第2页共6页所以 4k <2<4k ， k<<k， kZ .24所以角 2的终边在第一或第二象限或在y轴非负半轴上， 角2的终边在第一或第三象限例 2半径为1 的圆的圆心位于坐标原点，点P从点 A（ 1，0）出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转 . 已知 P 在 1 s内转过的角度为 (0 ° 180°），经过 2 s 到达第三象限，经过 14 s后又恰好回到出发点A，求 .解：4或577考点二扇形的弧长与面积例 2已知一扇形的圆心角为(>0) ，所在圆的半径为R.(1)若

8、60°， R 10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？解 (1) 设弧长为 l，弓形面积为S 弓，则10 60°3， R 10， l 3×103 (cm) ，1×10505033S弓 S扇3×10 1×102× sin2)S 2233 250 32(cm(2)扇形周长 C 2R l 2RR，C121C2C21所以 R， 所以S 扇 2·R2·2 2·222 24 4 2C1 C2C 2·416.当

9、且仅当 4，即 2 时，扇形面积有最大值16.4 名师点评 (1) 在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值112(3)记住下列公式：l R； S2lR； SR2.其中 R 是扇形的半径， l 是弧长，(0< <2)为圆心角， S 是扇形面积例 3 蒸汽机飞轮的直径为1.2 m，以 300 r/min( 转 /分 )的速度作逆时针旋转，求：(1)飞轮 1 s 内转过的弧度数；(2)轮周上一点1 s 内所经过的路程解： (1)飞轮速度 300 r/min 5 r/s.所以 1

10、 s 内转过的弧度数为 5× 2 10rad.(2)l | ·r 10× 0.66m，即 1 秒内所经过的路程为6m.4已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解： 设圆心角是，半径是r ，则 2r r 40，得 402r，r121所以 S 2·r 2r(40 2r) r(20 r) (r 10)2 100 100，当且仅当 r 10时， Smax 100.第3页共6页所以当 r 10， 2 时，扇形面积最大例 3 如图， A ， B 是单位圆上的两个质点，B 点的初始坐标为 (1,0) ，BOA60 ，质点 A 以 1 弧度

11、/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点 B 以 1 弧度 / 秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作 AA1y 轴于点 A1 ，过点 B 作 BB1y 轴于点 B1 ，（1）求经过 1 秒后，BOA 的弧度数；y（2）求质点 A, B 在单位圆上第一次相遇的时间；A（3）记 A1 , B1 的距离为 y ，请写出 y 关于时间 t 的函数关系式【巩固练习】OB x1 tan 60 cos90sin 45 cos 452已知角45 ，在区间 720,0 内找出所有与角有相同终边的角3将表的分针拨快10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是_解析： 将表的分针拨快应按顺时针方向旋

12、转，为负角又因为拨快10 分钟，故应转过11的角为圆周的，即为× 2 .663答案： 32 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_4已知扇形的周长是6 cm，面积是l 2r 6，解析： 设扇形的半径和弧长分别为r， l ，则易得 12lr 2，l 4，l 2，4或1.解得或故扇形的圆心角的弧度数是r 1r 2.答案：1或45已知角 和角 的终边关于直线y x 对称，且 ，则 sin _.3解析： 因为角 和角 的终边关于直线y x 对称，所以 2k(kZ )，又 5123，所以 2k6 (kZ )，即得 sin 2.1答案： 26设 是第三象限角，且cos cos ，则 是第 _象限角2

13、22解析： 因为 是第三象限角，所以cos2 cos2，所2为第二或第四象限角又因为以 cos2 0，知2为第二象限角答案：二第4页共6页7若角 和角 的终边关于x 轴对称，则角可以用 表示为 _答案： 2k (k Z )8已知 为第三象限的角，则在第 _象限2答案：二或四解析 是第三象限角， 180° k·360°<<270°k·360°(k Z ) 90° k·180°<2<135 ° k·180 °(k Z ) 当 k2m (m Z )时可得 9

14、0° m·360°<2<135 ° m·360 °，故 2的终边在第二象限 当 k2m1 (m Z)时可得 270° m·360°<2<315 °m·360 °，故 2的终边在第四象限综上，可知 2是第二或第四象限的角9若 1 弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于_答案：11sin 2解析设圆的半径为r ， r ·sin1 r111.2 1.1. 弧长 l ·rsin2sin210已知扇形 AOB 的周长为 8，这

15、个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小为_解析： 设扇形 AOB 的半径为 r ，弧长为 l ，圆心角为 ，111 l 2r 218 2因为 2rl 8，所以 S 扇 2lr 4l·2r 4(2) 4×(2) 4，l当且仅当 2r l，即 r 2 时，扇形面积取得最大值4.答案： 211某时钟的秒针端点A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点O 旋转 , 当时间 t=0 时 ,点 A 与钟面上标 12 的点 B重合 . 将 A、B 两点间的距离d（ cm）表示成 t(s) 的函数 , 则 d= ,其中 t 0,60.答案：10 sint12已知601910 （ 1）把写成k 360( k Z ,0360 ) 的形式；（ 2 ）求，使 与的终边相同，且7200解：（ 1）19106360250 ；（2）110或47013一个扇形 OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解： 设扇形的半径为r cm，弧长为 l cm ，第5页共6页1则2lr 1，r 1，解得l 2r 4，l 2.l所以圆心角 r 2.如图，过 O 作 OH AB 于 H ，则AOH 1 弧度所以 AH 1·sin 1sin 1(cm) ，所以 AB 2 sin 1(cm)