线性代数课件修改ch2改12

1、第二章第二章 线性方程组理论线性方程组理论主要内容主要内容矩阵的初等变换与初等方阵；矩阵的初等变换与初等方阵；矩阵的秩；矩阵的秩；分块矩阵的初等变换；分块矩阵的初等变换；n维向量空间；维向量空间；线性方程组理论（消元法与解的结构）。线性方程组理论（消元法与解的结构）。例如例如, ,mnmmjnjjiiniinaaaaaaaaaaaaA2122111211 第第 i i 行行 第第 j j 行行 2.1 2.1 矩阵的初等变换与矩阵的秩矩阵的初等变换与矩阵的秩 2.1.1 2.1.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换ijrr定义定义2.1.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等

2、行变换(1)对调矩阵的两行对调矩阵的两行(对调对调i , j两行两行,记作记作 ) mnmminiijnjjnrraaaaaaaaaaaaAji21212111211第第 i i 行行 第第 j j 行行 例如例如, ,mnmminiinaaaaaaaaaA212111211 mnmminiinkraaakakakaaaaAi212111211 第第 i i 行行 第第 i i 行行 (2) (2) 把矩阵的某一行中的所有元素乘以非零数把矩阵的某一行中的所有元素乘以非零数k k ( (用数用数 k k 乘以乘以 i i 行行, ,记作记作irk 或或ikr) ) (3) (3) 把某一行中的所

3、有元素把某一行中的所有元素 k k 倍加到另一行对应元素上倍加到另一行对应元素上去（第去（第 j j 行行 k k 倍加到第倍加到第 i i 行行, ,记作记作jikrr ）. . 例如例如, ,mnmmjnjjiiniinaaaaaaaaaaaaA2122111211 第第 i i 行行 第第 j j 行行 , , mnmmjnjjjninjijinkrraaaaaakaakaakaaaaaAji2121221111211 第第 i i 行行 第第 j j 行行 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换换. . 显然初等变换是可逆的显然初等变换是可逆

4、的, ,例如例如, ,矩阵矩阵 A A 经过变换经过变换jikrr 后后, ,再通过变换再通过变换jikrr 便复原了便复原了. . 例如例如 3102157210101324400102 ;00007600005000000AB 都是阶梯形矩阵都是阶梯形矩阵. . 而而 7210100162 ;00605310215013244000000000001CD 都不是阶梯形矩阵都不是阶梯形矩阵. . 定理定理 2.2.1.11.1 每一个矩阵都可以经过初每一个矩阵都可以经过初等行变换化为阶梯形矩阵等行变换化为阶梯形矩阵. . 例例 用用初等行变换化矩阵初等行变换化矩阵 7621053420412

5、10A 为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵 解解ArrrrrrKA 0000035000412103500035000412107621053420412102313122 例如例如, , 000000910000002310702001;100000010000021BA 都为规范的阶梯形矩阵都为规范的阶梯形矩阵. . 主元或特异元主元或特异元主列或特异列主列或特异列则称矩阵则称矩阵A为规范的阶梯形矩阵或简化的阶梯形矩阵为规范的阶梯形矩阵或简化的阶梯形矩阵(行最简的阶梯形矩阵行最简的阶梯形矩阵)。定义定义2.1.3 如果阶梯形矩阵如果阶梯形矩阵A满足满足:(1) 每个非零行的左起第一个非零元素均为每个

6、非零行的左起第一个非零元素均为1,(2) 每个非零行左起第一个非零元所在的列只有一个非零元每个非零行左起第一个非零元所在的列只有一个非零元.而而1260000100 ;00001100207013200000059000000CD 都不为规范的阶梯形矩阵都不为规范的阶梯形矩阵. . 解解 21215012140121402435000530126700000170120530001500000rrrAAR 定义定义 如如果一个矩阵的左上角为单位矩阵果一个矩阵的左上角为单位矩阵, ,其它其它位置的元素都是零位置的元素都是零, ,则称这个矩阵为则称这个矩阵为拟单位阵或拟单位阵或标标准形矩阵准形矩阵

7、. . 用分块矩阵的表示方法用分块矩阵的表示方法, ,形如形如: : ,rr pnnmm pns rs ps nEOEEEOEOOO 的矩阵都是标准形矩阵的矩阵都是标准形矩阵. . 例例 利用初等变换将利用初等变换将前前例中的矩阵例中的矩阵化为标准形矩阵化为标准形矩阵. . 解解 AccccccccccrIOOOEA 25351720000000010000010000053001051702010000053100051702102515134221矩阵的等价矩阵的等价（相抵）（相抵） 定义定义 2.12.1。5 5 如果矩阵如果矩阵 A A 经过有限次初等经过有限次初等变换后变为矩阵变换后

8、变为矩阵 B (B (即即BA ),),则称矩阵则称矩阵A A 与矩阵与矩阵 B B 等价等价( (或相抵或相抵).). 定理 矩阵的等价具有:自反性,对称性,传递性.即即 110111101()1,E i j 第第 i i 行行 第第 j j 行行 (1)交换交换n阶单位阵阶单位阵E的的i, j 两行两行(列列),得到得到n阶初等矩阵阶初等矩阵, ( , )ijijE i jRC (2) (2) 将将 n n 阶单位阵阶单位阵 E E 某行某行( (列列) )乘以非零数乘以非零数 k,k, 得得到到 n n 阶初等阵阶初等阵 ( )( )1111k ik iRCkE i k 第第 i i 行

9、行 (3) (3) 将将 n n 阶单位阵阶单位阵 E E 的第的第 j j 行行( (列列) )乘以非零数乘以非零数k k 加到第加到第 i i 行上去行上去, , 得到得到 n n 阶初等阵阶初等阵 ( )( )111()1, ( )ik jjk iE i j kkRC第第 i i 行行 第第 j j 行行 初等方阵的性质初等方阵的性质: : 性质性质 1 1 三种初等方阵的行列式分别为三种初等方阵的行列式分别为 ( , )1;( ( ).(0);( , ( )1E i jE i kk kE i j k 性质性质 2 2 初等方阵都是可逆矩阵初等方阵都是可逆矩阵, ,且且 111( ( ,

10、 )( , );1( ( ( )( ( )(0);( ( , ( )( , ().E i jE i jE i kE ikkE i j kE i jk 引引理理 2.1.12.1.1 设设 A A 为为nm阶阶矩阵，则矩阵，则 对矩阵对矩阵 A A作一次相应的初等行变换相当于作一次相应的初等行变换相当于 A A左乘左乘一个一个 m m 阶初等方阵阶初等方阵。 引引理理 2.1.22.1.2 设设 A A 为为nm阶阶矩阵，则矩阵，则 对矩阵对矩阵 A A 作一次相应的初等列变换作一次相应的初等列变换; ;相当于相当于 A A 右右乘一个乘一个 n n 阶初等方阵阶初等方阵。 初等行变换与初等方阵

11、的关系初等行变换与初等方阵的关系:例如例如, ,设设mnmmjnjjiiniinaaaaaaaaaaaaA2122111211 则则 11121121212( , )ijnjjjnrriiinmmmnaaaaaaAE i j Aaaaaaa 111211212( ( )inkriiinmmmnaaaAkakakaE i kAaaa 1112111221212( , ( )ijnijijinjnrkrjjjnmmmnaaaakaakaakaAE i j kAaaaaaa 选选例例 设设 A A 是是 n n 阶可逆矩阵，将阶可逆矩阵，将 A A 的第的第 i i行与第行与第 j j 对换后得到的

12、矩阵记为对换后得到的矩阵记为 B .B . (1)(1)证明证明 B B 是可逆矩阵是可逆矩阵 （2 2）求）求1AB 解解 1111111(1)0,0,2( , )A( , )A( , )( , ):( , )( , )ijijrrrrAABBABABBE i jBE i jA E i jA E i jABA A E i jE i j 可逆。（ ）因此 引理引理 2.12.1. .3 3 对任何对任何nm阶矩阵阶矩阵 A,A,则则 (1)(1)存在存在 m m 阶初等方阵阶初等方阵sRRR,21使得使得ARRRs21为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵AK( (或规范的阶梯或规范的阶梯形矩阵形矩阵AR)

13、 ); ; 推论推论任意矩阵任意矩阵A A， 存在， 存在m m阶初等方阵阶初等方阵sRRR21及及 n n 阶初等方阵阶初等方阵tCCC,21使得使得 ARRRs21nmrtOOOECCC21 为标准形矩阵为标准形矩阵. . 定理定理 2.1.32.1.3 对任何对任何nm阶矩阵阶矩阵 A,A,存在存在 m m 阶可逆阶可逆阵阵 P P 与与 n n 阶可逆阵阶可逆阵 Q,Q,使得使得 PAQPAQ 为标准形矩阵为标准形矩阵, ,即即 rEOPAOOO 其中其中r=r(A)r=r(A) 推论推论 3 3 对任何对任何 n n 阶矩阵阶矩阵 A,A, A A 可逆的充要条件为可逆的充要条件为

14、A A为初等方阵之积为初等方阵之积. .即即, , 存在存在 n n 阶初等方阵阶初等方阵tPPP,21使得使得 tPPPA21 10011011201111112121221rrrrrA 12112(1,2(1)(2( )(2,1( 1)(1,2(1)(2( )(2,1( 1)EEEAEAEEE 例例 将可将可逆矩阵逆矩阵 1111A表示成初等方阵之积表示成初等方阵之积. . 解解 将将 A A 化为单位阵化为单位阵 E E 并记录所用的初等行变换并记录所用的初等行变换: : 11112(2,1( 1)(2( )(1,2(1)(2,1(1)(2(2)(1,2( 1)101011110201A

15、EEEEEE因而因而 定义定义2.12.1. .7 7 在矩阵在矩阵nmijaA)(中中, ,任取任取k k行行k k 列列, ,位于这位于这 k k 行行 k k 列交叉位置的元素按原矩阵列交叉位置的元素按原矩阵 A A 中中的相对位置排成的的相对位置排成的k k阶行列式称为矩阵阶行列式称为矩阵A A的一个的一个k k 阶子式阶子式. . 例如例如, ,54924987632664210131A中中, , 取取 1,3, 1,3,行行, ,取取 2, 52, 5 列列, ,得得 A A 的一个的一个 2 2 阶阶 子式子式: :9613N 2.1.2 矩阵的秩矩阵的秩209例如例如, ,54

16、924987632664210131A中中, , 取取 1,3,4 1,3,4 行行, ,取取 2,4, 52,4, 5 列列, , 得得 A A 的一个的一个 3 3 阶子式阶子式 542986103N 定义定义 2.12.1. .8 8 在矩阵在矩阵nmijaA)(中中, ,有一个有一个 r r阶子式不为零阶子式不为零, ,而而A A中所有的中所有的 r+1r+1 阶子式阶子式( (如果如果存在的话存在的话) )都为零都为零, ,则称则称 r r 为矩阵为矩阵A A的秩的秩, ,记为记为r r( (A A) )或或 rank(rank(A A) ). . 规定零矩阵规定零矩阵O O的秩的秩

17、 0)(Or 显然显然, , 矩阵矩阵A A的秩的秩 r r( (A A) )为为A A中非零子式的最高中非零子式的最高阶数阶数. . 例如例如, ,184303201123A中中, , 二阶子式二阶子式02023, ,所有的所有的 3 3 阶子式阶子式: : 184032112,183030113,143020123,843320123 都为零都为零, ,所以所以 r r(A)=2.(A)=2. 例如例如, ,963852741A 二阶子式二阶子式035241, ,所有的所有的 3 3 阶子式只有一个阶子式只有一个0A, ,所以所以 r r(A)=2.(A)=2. 定义定义 在矩阵在矩阵nm

18、ijaA)(中中, ,任取任取 s s行行 t t列列, ,位于这位于这 s s行行t t 列交叉位置的元素按原矩阵列交叉位置的元素按原矩阵 A A 中的相对位置排成的中的相对位置排成的ts阶矩阶矩阵称为阵称为 A A 的一个的一个ts阶子矩阵阶子矩阵, ,或子阵或子阵. . 矩阵秩数的性质矩阵秩数的性质: : 命题命题 矩阵的秩数具有如下性质矩阵的秩数具有如下性质: : (1)(1) 一个矩阵的秩数是唯一的一个矩阵的秩数是唯一的; ; (2)(2) 若矩阵若矩阵nmijaA)(, ,则则;,min)(0nmAr ; 00)(AAr且 (3)(3) 若矩阵若矩阵nmijaA)(中有一个中有一个

19、 r r 阶子式不为零阶子式不为零, , 则则rAr)(; ; 若矩阵若矩阵nmijaA)(中所有中所有 s s 阶子式都为零阶子式都为零, , 则则sAr)(. . (4)(4) 若若 B B 是是 A A 的一个子阵的一个子阵, ,则则)()(ArBr; ; (5)(5) );()(ArArT (6)(6) 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数 (7)(7) 0,0; 0, )()(kkArkAr (8) (8) 若矩阵若矩阵nmijaA)(, , 则则);(),(min)()()(BrArABrnBrAr 定义定义 2 2. .1 1. .9 9 若矩若矩阵阵nm

20、ijaA)(, , 如果如果r r( (A A) )= =m,m,则称则称 A A 为行满秩阵；为行满秩阵； 如果如果r r( (A A) )=n,=n, 则称则称 A A 为列满秩阵；为列满秩阵； 如果如果r r( (A A) )= =m=n,m=n,则称则称 A A 为满秩阵；为满秩阵； 例如例如 （1 1）57424631A为行满秩阵，为行满秩阵， （2 2）940361543232121B, ,由子式由子式, 020940361121 因此因此 r r(A)=(A)=3,3,A A 为列满秩阵为列满秩阵. . （3 3）931462011C，0C 显然，显然，r r(C)=(C)=3

21、3，A A 为满秩阵为满秩阵. . 定理定理 2.1.42.1.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. . 注注 定理及命题的定理及命题的(6)(6)给给出了求矩阵的秩数的一种出了求矩阵的秩数的一种方法方法_初等初等( (行行) )变换法变换法: :将矩阵将矩阵 A A 用初等行变换化为用初等行变换化为阶梯形阵阶梯形阵AK, ,则则AK的非零行数为的非零行数为 A A 的秩数的秩数. . 11221021512031311041( )Ar A选例 求的秩数314121122111221021510215120313021511104100222rrrrA r(A)=3r

22、(A)=33211221021510000000222rr3411221021510022200000rr 例例 求求矩阵矩阵 A A 的秩的秩, ,其中其中 330116310110321150311110A 000000000000100011105031330116310110321150311110行A 故故 r r(A)=(A)=3 3 选例选例 求矩阵求矩阵 12104246251294732721A 的秩的秩 解解 由由 1210408421300104300000A 知知 r(A)=3.r(A)=3. 由矩阵的秩的定义可推得：由矩阵的秩的定义可推得： (1)(1)n n 阶方阵

23、阶方阵 A A 的秩数的秩数 ( )nr AnAE; ; (2)(2)nm阶矩阵阶矩阵 A A为列满秩为列满秩 ( )nEr AnAO; ; (3)(3)nm阶矩阵阶矩阵 A A为行满秩为行满秩 ( )mr AmAEO 由矩阵的初等变换不改变矩阵的秩可知由矩阵的初等变换不改变矩阵的秩可知: : n n 阶方阵阶方阵 A A 的秩的秩( )0r AnA. . 故故A A可逆可逆 ( )nr AnAE 推论推论 5 5 设设A A 为为nm阶矩阵阶矩阵, ,P P为为 m m 阶可逆阵阶可逆阵, , Q Q为为 n n 阶可逆阵阶可逆阵, ,则则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(

24、A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) 例例 求矩阵求矩阵 A A 的秩的秩, ,其中其中 1561275124524200192356330000411114000A 作业作业B164页页1(1),2,3,4,5,7,8,9,10,11(1),(5),例例 设设 A A 为为nm阶矩阵阶矩阵, ,证明证明:r(A)=1:r(A)=1 充要充要条件为存在条件为存在1m阶矩阵阶矩阵0及及1n阶矩阵阶矩阵0使得使得 TA. . 证证 必要性必要性 由由 r(A)=1r(A)=1, ,存在存在 m m 阶可逆阵阶可逆阵 P P 与与 n n阶可逆阵阶可逆阵 Q,Q,使得使得 0010010000

25、000011nmOOOEPAQ 即即 11001001QPA 显显然然, , 0, ,0 , ,且且TA. . 令令 11001,001QPT 充分性充分性 设设TA, ,其中其中1m阶矩阵阶矩阵0及及1n阶矩阵阶矩阵0, ,由由 1)(, 1)(rr, ,则有则有: : 00121maaa( (行变换行变换) ) 0012121nTnTbbbbbb ( (列变换列变换) ) 即存在即存在 m m 阶可逆阵阶可逆阵 P P 与与 n n 阶可逆阵阶可逆阵 Q,Q,使得使得 001,001QPT 1)(,0000000001ArQPPAQT 补充定理补充定理( (满秩分解定理满秩分解定理) )

26、设设 A A 为为nm阶矩阵阶矩阵,0r(A)minm,n,0r(A)minm,n,则则 r(A)=rr(A)=r 充要充要条件为存在条件为存在rm阶列满秩矩阵阶列满秩矩阵 B B 及及nr阶阶行满秩矩阵行满秩矩阵 C C 使得使得 BCA 证证 必要性必要性 由于由于 r(A)=r,r(A)=r,故有故有 OOOEAr( (初等变换初等变换) ) 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 P,Q ,P,Q ,使得使得 11QOEOEPAOEOEOOOEPAQrrrrr 令令 11,QOECOEPBrr 则则 r(B)=r, r(C)=r r(B)=r, r(C)=r 且且 A=BC. A=BC. 充分性

27、显然成立。充分性显然成立。 2 2. .1.41.4 求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法 由推论由推论 3, A3, A 可逆充要条件为可逆充要条件为 A A 是初等方是初等方阵之积阵之积, , 即存在即存在 n n 阶初等方阵阶初等方阵tPPP21使得使得 tPPPA21 故故 APPPAAEEPPPPPPAttttt)()(111111111111211. . 因而有因而有 )()()(1111111AEEAPPPEAAtt 这给出了求逆矩阵的初等变换法这给出了求逆矩阵的初等变换法: : )()(1AEEAr 例例 设设112213324A 用初等行变换法用初等行变换法, ,判断判断

28、 A A 是否可逆是否可逆? ?如如果果 A A 可逆可逆, ,求求1A 解解 构造矩阵构造矩阵 100112010213011111100112010213001324)(21rrEA 2011001210101110012011001221101110011221100431200111112322123321332)1(223rrrrrrrrrrrrr所以矩阵所以矩阵 A A 可逆可逆, ,且且2011211111A 类似地，用初等行变换法类似地，用初等行变换法, ,可以求矩阵方程可以求矩阵方程 AX=B AX=B，其中其中 A A 可逆可逆 方法为：方法为： )()(1BAEBAr 例

29、例 用初等用初等行变换法行变换法, ,求矩阵方程求矩阵方程 AX=BAX=B，其中，其中 009358,121233515BA 解解 631005201041001001219323358515)(BA 故故 635241X 例例 求矩阵方程求矩阵方程 233141111012112X 解解 053301723023111411123101223111231113101241112)(13122122rrrrrrBA 1210031103035011121003110302311112100172302311112100172302311131323232rrrrrrr 12100131101

30、02340011210013110103501121331rrr 故故 121311234X 作业作业P 16714(3)(4), (2)(2)用某一可逆矩阵左边用某一可逆矩阵左边( (右边右边) )乘分块矩阵的乘分块矩阵的某一行某一行( (列列)()( 可逆矩阵可逆矩阵 P P 左边乘分块矩阵的第左边乘分块矩阵的第i i 行行, ,记作记作iPR ); ); (1)(1) jiKRR ); ); 2.2分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换( (介绍介绍) ) 下面三种变换称为分块矩阵的初等行下面三种变换称为分块矩阵的初等行( (列列) )变换变换 (1)(1) 对调分块矩阵的两行对调分块矩阵

31、的两行( (列列)()(对调对调 i i , , j j 两两 行行, , 记作记作jiRR );); 例如例如, , 分块单位阵分块单位阵nmEEE实施一次分实施一次分 块阵的初等变换可得三类分块初等矩阵块阵的初等变换可得三类分块初等矩阵: : (1)(1) OEEOEmnRR21或或 OEEOEnmCC21; ; (2)(2) nPREOOPE1或或POOEEmPR2; ; (3)(3) nmKRREOKEE21或或nmKRREKOEE12. . 分块矩阵的初等变换的性质分块矩阵的初等变换的性质: : (1)(1) 对分块阵进行初等变换不改变分块阵的秩对分块阵进行初等变换不改变分块阵的秩.

32、 . (2)(2) 对分块方阵进行第三类初等变换不改变分块方对分块方阵进行第三类初等变换不改变分块方阵的行列式阵的行列式; ; (3)(3) 如果如果 A,BA,B 为方阵为方阵, ,且且 1111BDEOCAOEEOBDOECAR 那么那么 11111BDCABDCA 利用这些性质利用这些性质, ,可以解决数学中的许多问题可以解决数学中的许多问题. . 选例选例 1 1 试证行列式的乘法公式试证行列式的乘法公式: : BAAB 其中其中A,BA,B都是都是 n 阶方阵阶方阵. . BABEOABEABOOEABOEEABOEEOABABnARRnBCCnCCnnABRRnn21121221

33、选例选例 1 1 试证行列式的乘法公式试证行列式的乘法公式: : BAAB 其中其中A,BA,B都是都是 n 阶方阵阶方阵. . 例例2.2.32.2.3 设设A A是是nm阶矩阵阶矩阵,B,B是是mn阶阶矩阵矩阵, ,证明证明 .BAEABEnm 证证 令令nmEBAEM, ,则则 BAEBAEOAEEBAEMnnmBRRnm12 ABEEOAABEEBAEMmnmBCCnm21 于是于是.BAEABEnm 选例选例 3 3 证明证明: :当当0,nm时时, ,有有 .BAEABEnnmm 证证 事实上事实上 .11nmBAEBAEABEABEnnmmmm 例例 2.2.62.2.6 设设

34、A A 为可逆矩阵，为可逆矩阵， naaa21, ,证明证明: : .)1 (1AAATT 证证 .)1 (111111AAAAAEAAEAATTTTnT 例例 2.2.42.2.4( (行行列式的第一降阶定理列式的第一降阶定理) ) 设设 A A 是是n 阶可逆阵阶可逆阵,B,B 是是m阶方阵阶方阵, ,试证试证 CDABABDCA1 CDABACDABOCABDCARDAR11112例例 2 22 2.5.5 设设 A A，B B 是是n阶阶方方阵阵, , , ,试证试证 BABABB AA BABB-ABOBABBABABB1221CCAAAARR选例选例 4 4 设设 A A 是是n阶可逆阵阶可逆阵,B,B 是是m阶可逆阵阶可逆阵, , 试证试证 (1) (1) 111BOOABOOA; ; (2)(2) 11111BDABOABDOA; ; (3)(3) OABOOBAO111; ; (4) (4) 11111CBAABOOBAC . . 1111)()(1)(211121211