函数的定义域

1、1.函数的定义域(1)函数的定义域是指 . （2）求定义域的步骤是： 写出使函数式有意义的不等式（组）； 解不等式组； 写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出） （3）常见基本初等函数的定义域： 分式函数中分母不等于零. 偶尔根式函数、被开方式大于或等于0. 2.2 2.2 函数的定义域、值域函数的定义域、值域 要点梳理要点梳理使函数有意义的自变量的取值范围 一次函数、二次函数的定义域为 . y=ax,y=sinx,y=cosx,定义域均为 . y=tanx,定义域为 . 函数f(x)=x0的定义域为 .2.函数的值域 (1)在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫 , 叫函数

2、的值域.R RR R.,2zkkxx且R RxxR R且x0函数值函数值的集合（2）基本初等函数的值域 y=kx+b(k0)的值域是 . y=ax2+bx+c(a0)的值域是:当a0时,值域为 ； 当a0且a1)的值域是 . y=logax(a0且a1)的值域是 . y=sinx,y=cosx的值域是 . y=tanx的值域是 .R R,442abacabac，442)0( kxkyyyR R且且y y0R RR R(0,+)-1,11.(2008全国理，1)函数 的定义域 为 （ ） A.xx0 B.xx1 C.xx10 D. x0 x1 解析解析 要使函数有意义，需函数的定义域为xx10

3、基础自测基础自测xxxy) 1(, 0, 0) 1(xxx解得. 0, 01xxx或C2.（2007北京理北京理，2）函数f(x)=3x(0 x2)的反函数的定 义域为 （ ） A.（0,+） B.（1，9 C.（0，1） D.9，+） 解析解析 0 x2,13x9,f(x)的值域为(1,9, f(x)的反函数的定义域为（1，9.3.若函数f(x)=loga(x+1)(a0且a1)的定义域和值域都是 0，1，则a等于 （ ） A. B. C. D.2 解析解析 0 x1,1x+12,又0loga(x+1)1,故 a1,且loga2=1, a=2.D31222D4.函数 的值域是 （ ） A.

4、B. C. D. 解析解析 xxy12121，21, 01 , 0, 041)211(1122xxxy.210, 110, 1yxxB5.若函数y=x2-3x-4的定义域为0，m，值域为 则m的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 解析解析 故由二次函数图象可知 解得 ，4425)3 ,23(323，30，323，, 425)23(43)(22xxxxf, 4)0(,425)23(ff又.0232323mm. 323 mB 求下列函数的定义域 （1） (2) (3) 【思维启迪思维启迪】对于分式要注意分子有意义，分母不为零； 开偶次方根，被开方数大于等于零. 解解 (1)由题意得 化简得

5、 题型一题型一 求函数的定义域求函数的定义域;)1(0 xxxy;531223xxy. 11xxy,001xxx,1xxx.01xx即故函数的定义域为xx0且x-1.(2)由题意可得故函数的定义域为(3)要使函数有意义，必须有x1,故函数的定义域为1，+）探究拓展探究拓展 求函数的定义域，实质上是解不等式（组）的过程，具体来说，求函数定义域的步骤为：列出使函数有意义的x适合的不等式（组）；解这个不等式（组）；把不等式（组）的解表示为集合或区间的形式作为函数的定义域.355xxx且,11, 0101xxxx即.553,050322xxxx解得 设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定

6、义域. （1）y=f(3x)；(2) （3） （4）y=f(x+a)+f(x-a). 【思维启迪思维启迪】简单复合函数的定义域要用整体代换的思想 列出x满足的条件，再通过解不等式（组）解出x的范围. 解解（1）03x1,故 y=f(3x)的定义域为题型二题型二 抽象函数的定义域抽象函数的定义域);1(xfy );31()31(xfxfy,310 x.310，（2）仿（1）解得定义域为1，+）（3）由条件，y的定义域是 定义域的交集.列出不等式组故 的定义域为（4）由条件得 讨论：当 即 时，定义域为a,1-a;当 即 时，定义域为-a,1+a)31()31(xfxf与3431323113101

7、310 xxxx,3231x)31()31(xfxfy.32,31,111010axaaxaaxax,11,1aaaa210 a,1,aaaa021a综上所述：当 时，定义域为a,1-a;当 时，定义域为-a,1+a.探究拓展探究拓展 对于抽象函数的定义域问题,要注意如下两点：（1）fg(x)的定义域为a,b指的是x的取值范围为a,b，而不是g(x)的范围为a,b，如：f(3x-1)的定义域为1，2，指的是f(3x-1)中的x的范围是1x2.(2)若f(x)=g(x)+h(x),则f(x)的定义域为g(x)的定义域和 h(x)的定义域的交集.210 a021a 求下列函数的值域： （1） （2

8、） （3） 【思维启迪思维启迪】（1）是分式型可考虑分离常数，配方法或者 判别式法.（2）是无理函数型，可考虑换元法或者单调性 法.（3）可结合反函数求解. 解解（1）方法一方法一 （配方法）题型三题型三 求函数的值域求函数的值域;122xxxxy;21xxy.1e1exxy,1112xxy而方法二方法二 （判别式法）由y=1时，x ，y1.又xR,R,必须=（1-y）2-4y(y-1)0.y1,函数的值域为（2）方法一（单调性法）定义域 函数y=x, 均在,4343)21(122xxx,341102xx.131, 131，y值域为. 0)1 () 1(,1222yxyxyxxxxy得. 13

9、1y.131，,21xxxy21 上递增，故 函数的值域为方法二方法二 （换元法）令 则t0 ，且（3）由 得，ex0,即 解得-1y1.函数的值域为y-1y1),求a、b的值. 【思维启迪思维启迪】求出f(x)在1,b上的值域，根据值域已 知的条件构建方程即可解. 解解 2分 其对称轴为x=1,即1，b为f(x)的单调递增区间.4分 6分 8分 由解得 12分题型四题型四 根据定义域、值域求参数的取值根据定义域、值域求参数的取值axxxf221)(.21) 1(21)(2axxf121) 1 ()(minafxfbabbbfxf2max21)()(. 3,23ba探究拓展探究拓展 本题主要考

10、查一元二次函数的定义域和值域问题，主要体现了配方法求函数的值域.由于含有字母，在分析时，要考虑字母的范围.基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分析，经常考虑分母、被开方数、对数的真数等方面，几种常见函数的定义域和值域都有必然的联系.方法与技巧1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且 它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义 域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或 不等式（组）；对于含有字母参数的函数定义域，应注意 对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际 问题有意义.2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化 范围

11、.利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域. 3. 函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数 的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域 时，一定注意等号是否成立，必要时注明“=”成立的条件. 失误与防范1.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特 别注意定义域对值域的制约作用. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调 性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际问题的最 值的求法.2.对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原 则，同时结合不等式的性质.1.求下列函数的定义域： （1） （2） （3） （4） 解解 (1)由 所以-

12、3x0，则当 即a2时，函数的定义域为 ；当 即0ak,若0k1,则函数的定义域为R;R;若k1，则x ，即原式无意义.).0()2(02 akakaxxx, 0)2(xa, 12akxxa2log|, 120a, 12akxxa2log|2. 若函数f(x)的定义域是0，1，则f(x+a)f(x-a) 的定义域是 （ ） A. B.a,1-a C.-a,1+a D.0,1 解析解析 f(x)的定义域为0，1， 要使f(x+a)f(x-a)有意义， 须 且)210( a,111010axaaxaaxax.1,1,210axaaaaB3.求下列函数的值域： （1） （2） 解解 （1）（分离常数

13、法） 故函数的值域是 （2）（换元法） 1-x20,令x=sin , 则有 故函数值域为;521xxy.12xxy)52(2721xy.21, 0)52(27yx21-且yyy,R,2sin21cossiny.21, 04.（2008广东重点中学联考广东重点中学联考）已知函数f(x)=x2-4ax+2a=+6 (xR R) (1)求函数的值域为0，+）时的a的值； (2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-aa+3的值域. 解解 （1）函数的值域为0，+）， =16a2-4(2a+6)=0 2a2-a-3=0 （2）对一切xR R,函数值均非负，.231aa或. 03,2310) 32(

14、82aaaaf(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2二次函数f(a)在 上单调递减，f(a)的值域为).23, 1(417)23(2aa231，, 4) 1()(,419)23()(maxminfaffaf.4 ,4191.已知函数f(x)的定义域为（0，2,函数 的定义 域为 （ ） A.-1，+） B.（-1，3 C. D. 解析解析 由不等式解 得-1x3.2.B 3.D 4.B)1(xf3, 5)5, 0(,01210 xxB5.设 g(x)是二次函数，若f(g(x)的值域 是0，+）, 则g(x)的值域是 （ ） A.（-，-11，+） B.（-，-10，+） C.0，+） D.

15、1，+） 解析解析 f(x)的图象如图所示： 因f(g(x)的值域为0，+）， 故g(x)的值域为0，+）.不可能为 A、B.因为g(x)为二次函数，不可能值域同时取到-和 +.故选C.,)(2xxxf, 1x, 1xC6.B 7.3,+）8.若函数y=lg(4-a2x)的定义域为R R,则实数a的取值范围为 . 解析解析 当xR R时，4-a 2x0恒成立. a0,a0时，定义域为R R.9.(1)(-3,0)（2，3） （2）a042，10. （2007北京理北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其 长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯 形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的 端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S的最大值. 解解 （1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系 O-xy（如图）,则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程 解得 其定义域为x0 x