力学连续体力学(固体的弹性)

1、1连续体力学连续体力学（连续介质力学）（连续介质力学）2连续体包括连续体包括弹性固体、流体（液体和和气体）特点：内部质点之间可以有相对运动（形变或非均匀特点：内部质点之间可以有相对运动（形变或非均匀流动）流动）连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质（质元：宏观足够小，微观足够大质元：宏观足够小，微观足够大）组成，物质的宏观性质宏观性质依然受牛顿力学牛顿力学的支配。这一假设忽略忽略物质的具体微观结构具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量宏观物理量（如

2、质量，速度，压力等）。这些方程包括描述介质性质的方程（本本构方程构方程constitutive equations）和基本的物理定律基本的物理定律，如质量守恒定律质量守恒定律，动量守恒定律动量守恒定律等。3 任何物体，在外力作用下都会发生或多或少的任何物体，在外力作用下都会发生或多或少的形变，如果撤消外力后，物体的形变能够完全形变，如果撤消外力后，物体的形变能够完全消失，那么这种物体就是弹性体，弹性体也是消失，那么这种物体就是弹性体，弹性体也是一种理想模型一种理想模型 弹性体力学研究的是力与形变的规律弹性体力学研究的是力与形变的规律 弹性体的形变种类有：拉伸、压缩形变，剪切弹性体的形变种类有：

3、拉伸、压缩形变，剪切形变，扭转形变，弯曲形变形变，扭转形变，弯曲形变 拉压形变与剪切形变是最基本的形变，扭转形拉压形变与剪切形变是最基本的形变，扭转形变和弯曲形变可以看作由这两种形变组成变和弯曲形变可以看作由这两种形变组成1. 固体的弹性固体的弹性41.1 外力、内力、应力和应变外力、内力、应力和应变外力与内力外力与内力 外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内部各部分间的相互作用力部各部分间的相互作用力 为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面 S ，它，它把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫

4、截把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截面面 S 上的内力，内力总是成对出现的上的内力，内力总是成对出现的 在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截面的不同点处，内力也不相同面的不同点处，内力也不相同F1F2F3F4F5F6FSF1F3F25 正应力正应力: 应力在面元外法线方向的投影应力在面元外法线方向的投影 /nnp npdFds 切应力切应力: 应力在面元切向方向上的投影应力在面元切向方向上的投影 /ppdFds 在一般情况下在一般情况下, 取不同点取不同点, 不同方向不同方向, 对应的应力亦不同对应的应力亦不同 FSon 在在

5、o点附近取有向面元点附近取有向面元 分别分别 为面元为面元S的外法线单位矢量和切向单的外法线单位矢量和切向单 位矢量位矢量,F为作用在为作用在S上的内力上的内力. , , nnS 应力就是单位面积上受到的内力应力就是单位面积上受到的内力 SFp /平均应力：平均应力： , 对应有限面元对应有限面元 应力：应力： dSFdp/ , 对应无穷小面元对应无穷小面元,点点 dFdS应力单位：帕斯卡（应力单位：帕斯卡（pascal）6固体的应变有两种基本形式：体应变（对应于正应力） （剪）切应变 （对应于切应力）液体：只有各项同性的正压力（正应力）静水压力。液体不能抗剪切！液体不能抗剪切！对弹性体施加各

6、项同性的静水压力，其体积V发生变化V体应变定义为VV体应变无量纲！应变无量纲！VKKV体K体弹性模量71.2 弹性体的拉伸和压缩弹性体的拉伸和压缩FFxosFFxosa直杆内的正应力直杆内的正应力 saxFFasxFF ,)(据据牛牛顿顿第第二二定定律律：/F sFsax根据正应力定义：,0,/aFs若则直杆的线应变直杆的线应变l0b0lb0000,bbblll 横横纵纵 泊松系数：泊松系数： |/|纵横，一般情况下，一般情况下，)(x dxdxdl dxdlox拉压形变的胡克定律拉压形变的胡克定律 在弹性形变中，当应变较小时，应力与应变成正比。在弹性形变中，当应变较小时，应力与应变成正比。

7、对于拉伸和压缩形变对于拉伸和压缩形变 ，Y 称为杨氏弹性模量。称为杨氏弹性模量。 若应力、应变分布均匀，则若应力、应变分布均匀，则Y0/llYSFn 0/ll 线应变就是相对线变线应变就是相对线变 ，即单位长度上的线变，即单位长度上的线变，8拉压形变的势能密度拉压形变的势能密度 杆的左端点固定，杆的左端点固定，l0 为杆原长，规定为杆原长，规定Ep(l0)=0，我们求当杆，我们求当杆的右端点移到的右端点移到 x = l 时，杆所具有的形变势能时，杆所具有的形变势能 Ep(l) 00( )( ),lpplElElFdx)(,0000lxFYlYSllxSF 0221022120200)(|)()

8、()()(000000VYSlYlxlxdlxlEllllllYSlllYSp 若杆的形变是均匀的，则形变势能均匀地分布于整个直若杆的形变是均匀的，则形变势能均匀地分布于整个直杆中，用杆中，用V0去除上式，得去除上式，得拉压形变的势能密度拉压形变的势能密度： 表示单位体积的形变势能与应变平方成正比表示单位体积的形变势能与应变平方成正比 2210 YEp Fol0lx91.3 弹性体的剪切形变弹性体的剪切形变 切应变：平行截面相对滑动距离切应变：平行截面相对滑动距离BB与垂直距离与垂直距离AB之比之比 ,称为切变角称为切变角 ABBBtgFS切应力与切应变切应力与切应变剪切形变：剪切形变： 在力

9、偶作用下在力偶作用下, 两平行截面发生相对移动的形变两平行截面发生相对移动的形变SF / 切应力：若截面切应力：若截面S受力均匀，则切应力受力均匀，则切应力切应力互等定律：作用于两个互相垂直截面切应力互等定律：作用于两个互相垂直截面,且垂直于且垂直于 两截面交线的切应力相等，两截面交线的切应力相等，=,bcaacb,aFFb 证明：由于平衡，证明：由于平衡，cFFabFAB BC CD10剪切形变的胡克定律：剪切形变的胡克定律： 在切应变较小的情况下，切应力与切应变成正比，即在切应变较小的情况下，切应力与切应变成正比，即=G，G是由材料本身决定的切变弹性模量是由材料本身决定的切变弹性模量 通过

10、理论推导可知，材料的杨氏模量、切变模量和泊通过理论推导可知，材料的杨氏模量、切变模量和泊松系数有如下关系：松系数有如下关系：2(1)YG与拉、压形变的势能密度与拉、压形变的势能密度 具有相同的形式具有相同的形式2210 YEp 0212pEG剪切形变的势能密度：剪切形变的势能密度：111.41.4弯曲和扭转弯曲和扭转FFoxyhb水泥预制板水泥预制板铁路钢轨铁路钢轨钢管钢管梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲,上层被上层被压缩压缩, 下层被拉长，下层被拉长，y 轴所在的中间层，既不被压缩，也不被轴所在的中间层，既不被压缩，也不被拉长拉长,

11、保持原长，称为中性层保持原长，称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的可见纯弯曲形变是由程度不同的拉、压形变组成。拉、压形变组成。应变、应力分布规律应变、应力分布规律RxRRxR )( x 处取一厚度为处取一厚度为 dx 薄层薄层, 其线应变其线应变 根据胡克定律，正应力：根据胡克定律，正应力：梁的纯弯曲梁的纯弯曲dxooxyRxYR12曲率与力偶矩的关系曲率与力偶矩的关系 xbho/2323/2210302|12hhYbYbRRYbhMx dxxR在平衡状态下，外力矩在平衡状态下，外力矩M与内力矩与内力矩M大小相等大小相等 梁弯曲的曲率梁弯曲的曲率k=1/R，求它与，求它与外力偶矩外力偶矩M

12、的关系：的关系：在坐标在坐标x处取一面元处取一面元: dS=bdx，YRdFdsx bdx作用其上的内力：作用其上的内力：2YbRdMdFxx dxdF对对z轴的力矩：轴的力矩：整个面上的内力对整个面上的内力对z轴的力矩：轴的力矩：dFdx3312,12Ybh kMMkYbh显然，相对于增大显然，相对于增大b，增大增大h，能更好地减小曲率，能更好地减小曲率13 杆的扭转杆的扭转 把杆用假想截面切割成许多近把杆用假想截面切割成许多近似长方体的体元似长方体的体元施加力偶矩后，各个小长方体施加力偶矩后，各个小长方体都发生切变，都发生切变，r 坐标相同的长坐标相同的长方体切变相同方体切变相同,r 越大

13、越大,切变越大切变越大 LRrzGGrL 由胡克定律，切应力由胡克定律，切应力 rL 坐标为坐标为r的体元，切变角为：的体元，切变角为：切应变和切应力的分布规律切应变和切应力的分布规律 从外观看，上端面各半径直线相对下底面转过一个相同从外观看，上端面各半径直线相对下底面转过一个相同的角度的角度，此角称为杆的扭转角，此角称为杆的扭转角 ；侧面轴向直线倾斜一；侧面轴向直线倾斜一个相同角度个相同角度=R/L，它就是外层体元的切变角，它就是外层体元的切变角14扭转角与力偶矩的关系扭转角与力偶矩的关系 LRrzdrdrdF取图示体元，作用在上表面的内力取图示体元，作用在上表面的内力dF及及dF对对z轴的力矩：轴的力矩： 2,GGdFdsr rd d