力学振动和波

1、振动和波振动和波振动与波无所不在振动与波无所不在振动与波是横跨物理学各分支学科的振动与波是横跨物理学各分支学科的最基本的运动形式。最基本的运动形式。尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，但在形式上却有很大的相似性。但在形式上却有很大的相似性。力学力学机械振动，机械波机械振动，机械波 （声波）（声波）电学电学电磁振荡，电磁波（光波）电磁振荡，电磁波（光波） 量子力学量子力学（波动力学）（波动力学）广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。机械振动机械振动：物体在一定位置附

2、近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。弹簧振子弹簧振子(弹簧弹簧物体系统物体系统 )模型模型kxOm22dtxda 又又mk 2 令令简谐振动简谐振动微分方程微分方程0222 xdtxd 一、一、简谐振动的基本特征简谐振动的基本特征1 简谐振动简谐振动（simple harmonic motion)simple harmonic motion)xmkmFa 物体一定作简谐振物体一定作简谐振动动xa2 kxF 其通其通解为：解为：谐振动运动方程谐振动运动方程)cos( tAx运动学特征运动学特征简谐振动定义（判据）：简谐振动定义（判据）：描述运动的物理量遵从微分方程描述运动的

3、物理量遵从微分方程0222 xdtxd （或运动方程为（或运动方程为 ）)cos( tAx运动学特征运动学特征kxF 物体所受合外力物体所受合外力动力学特征动力学特征例：判断下列运动是否为简谐振动例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动乒乓球在地面上的上下跳动2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 mgO22dtdRRamamgtt sin切向运动切向运动 sin很很小小22dtdmRmg 022 RgdtdRg 2令令0222 dtd谐振动谐振动单摆单摆0222 dtd结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振

4、动是简谐振动。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg 2200 当当 时时 sin sinmglM gmfTCO222dmlmgldt 摆球对摆球对C点的力矩点的力矩 mglM l/g 2 复摆复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22dtdImgh Imgh 2 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)cos( tAx1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移

5、（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)sin( tA00, 0 xxt初始条件初始条件 cos0Ax sin0A 2020)( xA频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率对弹簧振子对弹簧振子 21 T角频率角频率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 )(cos)cos(TtAtA 2 T TtAcos单摆单摆glT 2 lg 21 lg 复摆复摆mghIT 2 Imgh 21 Imgh )sin

6、( tA 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相 cos00Axt 时时 sin0A 00tanx 3、位相和初位相位相和初位相)cos( tAx位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态 t三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX 超前和落后超前和落后)cos(111 tAx)cos(222 tAx两个谐振动两个谐振动位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。12 )()(12 tt对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = = 2 2- - 1 1初相差初相差若若 = = 2 2- -

7、 1 10, 0, 称称x x2 2比比x x1 1超前超前 ( (或或x x1 1比比x x2 2后后) )。 0,取取为简单起见为简单起见当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相xy1A2A212 即即x2比比x1超前超前2 )cos()cos(2 tatAam)cos( tAx)2cos()sin( ttAm谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加

8、速度之间的位相关系toTa vx.avxT/4T/4)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由图可见：由图可见：2 va超前超前2 xv超前超前x t+ o Amv ma 090090简谐振动的复数表示简谐振动的复数表示0()itxAe复数表示的优越之处：求导、积分很方便。0()00cos()sin()itxAeAtiAt复数的实部或虚部对应真实的振动量0()itdxvi Aei xdt2222()d xdvai vixxdtdt 例例:如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm, v

9、0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 则则 f=mg-k( l +x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为)tcos(Ax0 s/rad.lgmk10098089 由初条件得由初条件得 ,)xv(arctg0000 mvxA09802020.)( 由由x0=Acos 0= -0.0980 cos

10、00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A不变不变Hzlg6 . 1212 XOmx固有频率固有频率例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、一半径为一半径为R、转动惯量为转动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振

11、动，试证物体作简谐振动，并求其周期振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.（绳与定（绳与定滑轮无相对滑动）滑轮无相对滑动）TmTmga2F moxkJR解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量为为 l，则则0 lkmg TmTmga2F moxkJR当当m有位移有位移x时时maTmg RaJRxlkT )(联立得联立得2JkxmaR 0222 xRJmkdtxd物体作简谐振动物体作简谐振动 22RJmk kRJmT222 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度速度与时间的关系曲线如图与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。43

12、1.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1用解析法求解用解析法求解10715 cmsAv.sin )cos( tAx设振动方程为设振动方程为020 cosAa1431 cmsvAm. 214317150 .sinAv 656或 000 cos,则a6 )cos(2 tAa)sin( tAv17151 cmsvt.21)61sin( mvvAv )sin( tAv431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv 6116761或 0)1cos(,01 则则a 6761 1143 s. cmvAm10143431 . )cos(2 tAa故振动方

13、程为故振动方程为cmtx)cos(610 v的旋转矢量与的旋转矢量与v轴夹角表示轴夹角表示t 时刻相位时刻相位2 t由图知由图知 322 6 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 )cos( tAx)cos()sin(2 tvtAvm1431 cmsAvm. 方法方法2 2：用旋转矢量法辅助求解。：用旋转矢量法辅助求解。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv 0 tst1 2 vo15.715.7-15.7-15.7谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速

14、度为v，位移为位移为x)sin( tAv)cos( tAx221mvEk )(sin2122 tkA221kxEp )(cos2122 tkA谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四四、 简谐振动的能量简谐振动的能量动动能能221mvEk )(sin2122 tkA势势能能221kxEp )(cos2122 tkA情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE20411kAdtETETkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEEpokpEE EtEk(1/2)kA2一、同

15、方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA )cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率的谐振动的谐振动 : :合振动合振动 : :2 简谐振动的合成简谐振动的合成2A1AA1 2 1x2xx如如 A1=A2 , , 则则 A=0, 2 , 1 , 0212 kk 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA , 2 , 1 , 0)12(

16、12 kk 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(212212221 AAAAA合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中21( )2 cos()2A tAttt)2cos(cos12 随随t 缓变，视为合缓变，视为合振动的振幅振动的振幅随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 两个同方向频率相近简谐振动的合成两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍拍分振动分振动)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振动合振动)tcos(t )cos(Ax 222121

17、221xxx 当当 2 1时时, ,ttAx cos)( 则则：1212 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t21拍振幅变化的频率即拍频 122 T或或：三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振动分振动)cos(11 tAx)cos(22 tAyjtyitxtr)()()( 合合振动质点的轨迹方程振动质点的轨迹方程0(1)12 0221 )AyAx(xAA

18、y12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 12(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx2(3)1

19、2 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴轴为轴线的椭圆线的椭圆.质点沿椭圆的运动方质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。向是顺时针的。yx)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx23(4)12 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴轴为轴线的椭圆线的椭圆.质点沿椭圆的运动方质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。向是逆时针的。12212 AyAx = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。四、四

20、、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形yxA1A2o o- -A2- -A1:3:20,4xyyx两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比xxyyxy达到最大的次数达到最大的次数李萨如图形（周期比）李萨如图形（周期比）2:13:13:2 x y五、简谐振动的分解五、简谐振动的分解 频谱频谱振动的分解振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : : 0则各

21、分振动的频率为则各分振动的频率为: : 0、2 0、3 0( (基频基频 , , 二次谐频二次谐频 , , 三次谐频三次谐频 , ) , )按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开)()(tfTtf 10cos2)(iiitkAatf T 22 方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0 tsinAtsinAtsinAAx 55233222xo ot t锯齿波锯齿波A 0 03 3 0 05 5 0 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。变化的简谐振动。xo ot t阻尼振动曲

22、线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A一、一、 阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振弹簧振子弹簧振子动力学方程动力学方程22dtxdmdtdxkx Rd xFvd t 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼因子阻尼因子物体以不大的速率在粘性介质中运动时物体以不大的速率在粘性介质中运动时, ,介质对物体介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比的阻力仅与速度的一次方成正比 阻尼系数阻尼系数t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼0 cos()txAet微分方程的解220 阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减过阻尼过阻尼t)(tx过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 临界阻尼临界阻尼t)(t