切比雪夫不等式与大数定律

1、主要内容（主要内容（1.5学时）学时）一、切比雪夫不等式。一、切比雪夫不等式。二、依概率收敛简介。二、依概率收敛简介。三、大数定律（难点）。三、大数定律（难点）。 1、切比雪夫大数定律。、切比雪夫大数定律。 2、伯努利大数定律。、伯努利大数定律。 3、辛钦大数定律。、辛钦大数定律。第四节第四节 切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式与大数定律 (), () ,设设 是是只只取取非非负负值值的的随随机机变变量量, ,且且具具有有数数学学期期望望则则对对于于任任意意正正数数有有 XEE XP XX 一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式k k重重要要性性在在于于不不知知道道X X的的分分布布( (f

2、 f( (x x) ), ,p p ) )情情况况下下 通通过过E E( (X X) )估估计计事事件件 的的概概, ,. .率率下下限限X 说明：说明：1、马尔科夫不等式马尔科夫不等式 （证明见下页）（证明见下页）: X证证明明以以连连续续型型 证证明明, , 设设X X的的概概率率密密度度为为f(x).f(x)., 0, ( )0只只取取非非负负值值故故时时Xxf x()改改写写为为: : E XP X 0()( )E Xxf x dx0( )( )xf x dxxf x dx ( )xf x dx ( )f x dx P X 22222|()|(), (), , |()|1设设随随机机变

3、变量量的的存存在在则则对对 0 0, ,有有或或PXEXE XXXXDPXE |()|k k通通过过E E( (X X) ), ,D D( (X X) ) 估估计计事事件件 重重要要性性: : 不不知知道道X X的的分分布布( (f f( (x x) ), ,p p ) )情情况况下下率率下下限限, ,. . 的的概概XE X 223 , |()| 3 0.1119PXE X 如如取取则则2、切比雪夫不等式切比雪夫不等式 22: |()|()证证明明PXE XPXE X 22() )EXE X 2()D X 例例1 已知正常男性成人每毫升血液中的白细胞数平均已知正常男性成人每毫升血液中的白细胞

4、数平均是是7300，均方差是，均方差是700 。利用切比雪夫不等式估计每毫升白。利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在细胞数在52009400之间的概率下界。之间的概率下界。解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X。依题意，依题意，E(X)=7300，D(X)=7002(52009400)PX73007300(52073)000094 0PX( 2100210()21)0)(0(0)PXP XXEEX2()1(2100)D X2700181()1210099即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在5200520094009400间的概率不小于间的概率不小于8/9 .8/9 .二、依概

5、率收敛简介二、依概率收敛简介 (1,2,.), , 0,lim 1, .:.nnnPnnXaRP XaXaXa 设设为为一一随随机机变变量量序序列列 n n= =若若对对则则称称依依概概率率收收敛敛于于 记记作作 (1) lim0nnP Xa 说说明明: :另另一一种种形形式式(2) , ( , )nN nNU aX 对对时时落落在在邻邻域域外外的的个个数数有有限限, ,测测度度为为0 0. . (4) , ( )()( ).nnXayg xxag Xg a P PP P设设函函数数在在处处连连续续, , 则则(5) , ,( , )( , )(,)( , ).nnnnXa Ybg x ya

6、bg XYg a b PPPPP P设设函函数数在在点点处处连连续续, , 则则 (3) , ,. , /(0)nnnnnnnnXaYbXYabXYa bXYab b P PP PP PP PP P设设则则. . 背景：背景： 大数定律大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值收敛于其均值的算术平均值。收敛于其均值的算术平均值。11( )( )nnAniinRAXp Ann 211111 ,., ()nnPiiiinXE XnnX XX核核心心: : 满满足足什什么么条条件件时时 特例：频率的稳定性。特例：频率的稳定性。, ()PXE X即即满满足

7、足什什么么条条件件时时 三、大数定律（难点）三、大数定律（难点）说明：说明：1、切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律11221(89)1lim ,.,1( (,0,1 lim1 比比条条件件设设随随机机变变量量相相互互独独立立, ,且且数数学学期期望望和和方方差差相相同同. .即即) )= = , ,) )= =, ,令令则则对对于于任任意意或或弱弱nniiinininiXXXE XD XXPP XXXnPn 121111(1) ,., ().nnniiiiXXXXE XnXn P PP P的的算算术术平平均均值值即即(2) , ().XXXE X P P为为总总体体均均值值的的一一致致无无偏偏数

8、数理理统统计计用用估估计计计计估估, , (证明见下页证明见下页)由切比雪夫不等式，可得：由切比雪夫不等式，可得：11: ()niiEXnE X 证证明明11()niiE Xn 1*nn 1()1niiDXnD X 211()()niiD Xn 2221*nnn ()1P XE X 11niiPXn 2()1D X 221n 1n 11: limlim1ninniP XPXn 即即得得 1 (1,2,.),201 (2,3,.),. 例例2 2 相相互互独独立立, ,证证明明服服从从大大数数定定律律nnnnXnP XnnP XnXn211:()0*(1)*()*0nE Xnnnnn 证证明明(

9、) 1P XE X 即即2()()nnD XE X 22110 *(1)*2nnnnn nX满满足足切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律 ()()0nE XE X 又又11 0nPiiXXn 故故说明：说明：2、伯努利大数定律伯努利大数定律0, lim1) ( PAAAnnnPppp Annn 设设为为n n次次独独立立重重复复试试验验中中随随机机事事件件A A发发生生的的次次数数, , 是是事事件件A A在在每每次次试试验验中中发发生生的的概概率率, ,则则对对任任意意成成立立即即 (1) n, A( )( ) P P重重伯伯努努利利试试验验中中 事事件件 发发生生的的频频率率AnnR Ap A

10、n(2) ,()Anp An试试验验次次数数充充分分大大时时 可可用用频频率率近近似似代代替替概概率率(证明见下页证明见下页)5: =0.01, n=10, 0.50.0197.5%AnPn 例例抛抛硬硬币币试试验验若若时时: ( ,)AAnnnb n p证证明明代代表表 重重伯伯努努利利试试验验中中A A发发生生的的次次数数, , 12. .AnnXXX 则则 12,.,nXXX又又相相互互独独立立, , 根根据据切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律lim1, 1 limnAnP XnPpn 即即 1 (i=1,2,.,n)0iiXi第第 次次A A发发生生令令第第 次次A A没没发发生生, (

11、), ()(1) (i=1,2,.,(1,)iiiE Xp D XXbppp 1111, ()()nnAiiiinXXE XEXpnnn 又又 = =说明：说明：1121 ,.,1( (1,2,.). ,0, 1lim1 lim1 设设随随机机变变量量相相互互独独立立, ,服服从从同同一一分分布布, ,且且数数学学期期望望) )= =令令则则对对于于任任意意成成立立或或nniiininniXXXE XkXXnP XPXn 12(1) : ,.,与与( (切切) )大大数数定定律律区区别别 不不要要求求方方差差存存在在, ,但但要要求求分分布布相相同同. .nX XX11(2) , : 11()

12、nniiiPiXE XnnX P P形形式式二二3、辛钦大数定律辛钦大数定律(3) (1,), ()(),iiiXbpE XpD X 伯伯努努利利大大数数定定律律为为辛辛钦钦定定律律特特例例( ( 辛辛钦钦定定律律为为切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律特特例例( (相相同同 分分布布不不一一定定相相同同).).11 (1,2,.)(0,1), ():,. 例例3 3 独独立立同同分分布布, ,且且令令 证证明明并并求求nkknPnknkXkXUYXYCC:, ln.kkXX证证明明独独立立同同分分布布故故也也独独立立同同分分布布lnlnknnXZY 满满足足辛辛钦钦大大数数定定律律, , 令令

13、( )xf xe 又又函函数数连连续续1 nZPnYee 故故10(0,1), (ln)ln1kkXUEXxdx 11lnln1nniiPnXYnZ 则则1 Ce 故故本节重点总结本节重点总结三个大数定律的核心三个大数定律的核心本章重点：本章重点：1、数学期望的定义、性质、计算；、数学期望的定义、性质、计算；2、方差的定义、性质、计算；、方差的定义、性质、计算；3、协方差、相关系数的定义、性质及计算。、协方差、相关系数的定义、性质及计算。4、三个大数定律的核心。、三个大数定律的核心。 备选备选1 已知已知P(A)= 0.75。求。求n需要多大时，才能使在需要多大时，才能使在n次次独立重复试验中

14、，事件独立重复试验中，事件A解：设解：设X为为n 次试验中事件次试验中事件A出现的次数，出现的次数，则则 E(X)=0.75n, (0.740.76)0.90 XPn即即求求满满足足 的的最最小小n n. .则则 XB(n, 0.75)D(Xn=0.1875n(0.740.76)(0.740.76 )PnnXnXP2()1(0.01 )D Xn200001nnn依题意，取依题意，取9 . 018751n1875: 187510n0.9解解得得即即n=18750时，可使时，可使n次独立重复试验中次独立重复试验中, 事件事件A( 0.010.0()0.010 5)().71PnXnXE XnnP说明：说明：补充：补充：马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律12211(2) ,.,(),().11 ()(niinniiiiXXXE XD XD