反函数复合函数的求导法则（课堂PPT）

1、上页下页结束返回首页1一、反函数的导数一、反函数的导数二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式小结三、求导法则小结三、求导法则小结2 反函数、复合函数的求导法则反函数、复合函数的求导法则上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页2一、反函数的导数一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxfj=。 简要证明：简要证明： 因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。 )(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD即 )(1)(yxfj=。 )(11

2、limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD)(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD， 下页上页下页结束返回首页3 例例1求(arcsin x)及(arccos x)。 类似地有：211)(arccosxx=。 一、反函数的导数一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxfj=。 (arcsin x) 解：解：因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以 (arcsin x)yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(s

3、in1=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=。 下页上页下页结束返回首页4 例例2求(arctan x)及(arccot x)。 一、反函数的导数一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxfj=。 解：解：因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx= 类似地有：211)cotarc(xx=。 22211tan11sec1)(

4、tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=。 下页上页下页结束返回首页5 (16) (arctan x)211x=。(1) (C)=0，(2) (xm)=m xm1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x)=sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (csc x)=csc x cot

5、x，(9) (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，基本初等函数的导数公式小结：基本初等函数的导数公式小结：(12) (ln x)=x1， (13) (arcsin x)=211x， (14) (arccos x)=211x， (15) (arctan x)=211x， (11) (log a x)=axln1(a0, a1)， ，上页上页下页结束返回首页6二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 假定u=

6、j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，此时有 简要证明：简要证明： 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim = f (u 0)j (x 0)。 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim 下页上页下页结束返回首页7二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复

7、合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=fj(x)在区间Ix内可导，且下式成立： dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 下页上页下页结束返回首页8 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 3y=lntan x ，求dxdy。 解：解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成， dxdududydxdy=xxxu22seccotsec

8、1= xxcossin1=。 dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1=dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1= 下页上页下页结束返回首页9 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 4y=3xe，求dxdy。 dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=。 解解：函数3xey =是由 y=eu ，u=x3 复合而成， 下页上页下页结束返回首页10 例例5212sinxxy=，求dxdy。 dxdudu

9、dydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 222212cos)1 ()1 (2xxxx=。 解解：212sinxxy=是由 y=sin u，212xxu=复合而成， dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 下页上页下页结束返回首页11 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。 例例 6lnsin x，求dxdy。 解解：)(sinsin1)s

10、in(ln=xxxdxdy xxxcotcossin1=。 )(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy)(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy 下页上页下页结束返回首页12 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例73221xy=，求dxdy。 解解：)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 322)21 (34xx=。 )21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 下页上页下页结束返回首页13 dxdududydxdy=，

11、或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 8y=lncos(e x)，求dxdy。 解解： )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee= )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=。 复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。下页上页下页结

12、束返回首页14 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 9xey1sin=，求dxdy。 解解：)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx xexx1cos11sin2=。 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx 下页上页下页结束返回首页15 例例 10y=sin nx sin n x (n 为常数)， 求dxdy。 解：解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x ) = ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x。 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则：上页上页下页结束返回首页16函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、