三、2圆的对称性(1)垂径定理

1、圆的对称性圆的对称性n圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称你能找到多少条对称轴？轴？O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?圆的对称性圆的对称性n圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形. .它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .AM=BM,垂径定理垂径定理nAB是是 O的一条

2、弦的一条弦.n你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想与同伴说说你的想法和理由法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.在同圆或等圆中，完全重合的弧叫等弧垂径定理垂径定理n如图如图,小明的理由是小明的理由是:n连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.

3、AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂径定理垂径定理三种语言三种语言n定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧弧. .n老师提示老师提示:n垂径定理是圆垂径定理是圆中一个重要的中一个重要的结论结论,三种语言三种语言要相互转化要相互转化,形形成整体成整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =

4、BC, AD=BD.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理nAB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.n你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想与同伴说说你的想法和理由法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:CDCDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直径）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对分弦所对的两条弧的两条弧.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理平分

5、弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. .垂径定理垂径定理n垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .OABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD. AM=BMCDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂径定理的推论垂径定理的推论 n如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相那么这两条弦所平的弧相等吗等吗?n老师提示老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条

6、弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.n1 1、判断：、判断：n 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, ,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧的两条弧. . （ ）n平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧对的另一条弧. . （ ）n经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. .（ ) )n圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹

7、的弧相等，则这两条弦平行. . （ ）n弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. . （ ）画一画画一画n如图如图,M,M为为OO内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMn2.2.已知：如图已知：如图,O ,O 中中, ,弦弦ABCD,ABABCD,ABCD,CD,直径直径MNAB,MNAB,垂足为垂足为E,E,交弦交弦CDCD于点于点F.F.图中相等的线段有图中相等的线段有 : : . .图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: : . .FEOMNABCDn3、已知：如图，

8、、已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径OA.DOABCn4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.ABCD0EFGHn你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理n如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对