第七章梁的弯曲

1、第七章第七章 梁梁 的的 弯弯 曲曲第第7 7章章 梁的弯曲梁的弯曲7.1 7.1 平面弯曲平面弯曲7.27.2平面弯曲梁的内力平面弯曲梁的内力7.37.3平面弯曲梁的内力图平面弯曲梁的内力图7.47.4梁弯曲时的应力及强度计算梁弯曲时的应力及强度计算7.5 7.5 梁的变形梁的变形和刚度条件和刚度条件一、简单梁一、简单梁7.1-7.1-平面弯曲的概念平面弯曲的概念1.简支梁简支梁2.悬臂悬臂3.外伸梁外伸梁1悬臂梁 梁的一端为固定端，另一端为自由端 2简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座3外伸梁 梁的一端或两端伸出支座的简支梁 3外伸梁 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图8-4(

2、c)）（a）（b）（c）图8-4起重机大梁起重机大梁平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线二、平面弯曲的概念二、平面弯曲的概念ABP1P2RARB对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面梁变形后的轴线梁变形后的轴线与外力在同一平与外力在同一平面内面内梁的轴线梁的轴线一、剪力、弯矩一、剪力、弯矩 F FQ Q剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力。横截面的内力合力。 M M 弯矩弯矩，垂直于横截面的，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。内力系的合力偶矩。7.27.2梁的内力梁的内力-剪力和弯矩

3、剪力和弯矩剪力FQ弯矩M 截面上的剪力绕梁上任意一点的矩为截面上的剪力绕梁上任意一点的矩为顺时针顺时针转转向时，向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负为负。 截面上的弯矩使得梁呈向下截面上的弯矩使得梁呈向下凹出凹出为为正；正；反之反之为负。为负。二、剪力和弯矩的正负二、剪力和弯矩的正负（1）计算支座反力；）计算支座反力；（2）用假定切面）用假定切面m-m截开梁成为两段；截开梁成为两段；（3）取外力简少部分的隔离体为研究对象进行受力分析）取外力简少部分的隔离体为研究对象进行受力分析 抄写外力和支反力，设定内力即剪力和弯矩，一般按抄写外力和支反力，设定内力即剪力和弯矩，一般按 内力的方向设定；内力

4、的方向设定；（4）按照隔离体的平衡原则列隔离体的平衡方程，解方程）按照隔离体的平衡原则列隔离体的平衡方程，解方程 求出未知内力。求出未知内力。三、截面法三、截面法例例7-1：如图受集中力和集中力偶作用下的简支梁，求指定截如图受集中力和集中力偶作用下的简支梁，求指定截面面D D处剪力和弯矩值。处剪力和弯矩值。 解：解：（1）计算支座反力）计算支座反力 在支座在支座A、B处表示出支座反力处表示出支座反力 和和 ，分别以，分别以A、B点为矩心列平衡方程点为矩心列平衡方程解得：解得： AYBYAYBY( )02 10860ABMY ()04 10860BAMY 2BYkN8AYkN例例7-1：（2）截

5、开）截开在在D处切开梁分成左右两个隔离体。处切开梁分成左右两个隔离体。 （3）取隔离体进行受力分析）取隔离体进行受力分析在切面处将未知内力在切面处将未知内力-剪力和弯矩设定为方向，对隔离体进行受剪力和弯矩设定为方向，对隔离体进行受力分析即表达出内力，照抄出外力。力分析即表达出内力，照抄出外力。 例例7-1： （4）研究隔离体的平衡，列平衡方程）研究隔离体的平衡，列平衡方程研究左段隔离体，有平衡方程研究左段隔离体，有平衡方程解得：解得： 01008 100AQDQDYYFF ()03 10 108 3 10 10DADDMYMM 2QDFkN 14DMkN m例例7-1：7.37.3梁的剪力图和

6、弯矩图梁的剪力图和弯矩图剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图 用用 Q（x）或）或M（x）函数表示梁的各个横截面上的）函数表示梁的各个横截面上的剪力和弯矩情况。剪力和弯矩情况。 绘制剪力图和弯矩图时，按选定的比例尺，以绘制剪力图和弯矩图时，按选定的比例尺，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以截面沿梁轴线横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以截面沿梁轴线的位置为横坐标绘出表示的位置为横坐标绘出表示 Q（x）或）或M（x）的图线。）的图线。列出内力方程，列出内力方程，建立坐标系，建立坐标系，以横坐标为杆件，以横坐标为杆件，以纵坐标为内力值，以纵坐标为内力值，画出内力方程图线。画出内力方程图线。内力图绘制内力图绘制

7、：1.方程法方程法对于剪力，正值一般对于剪力，正值一般画在画在x轴的上侧；轴的上侧；对于弯矩，一般画在对于弯矩，一般画在梁的受拉侧。梁的受拉侧。 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出剪力和弯矩剪力和弯矩 方程方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM

8、例题例题1 1qx xM xFS BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例题例题2 2可见，在剪力等于零

9、的截面上弯矩有极值。可见，在剪力等于零的截面上弯矩有极值。 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。lM /lMb/CMab例题例题3 3 由上述内力图可得出结论：梁在集中

10、力偶作用处，左右截面上的剪梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8

11、/2ql 例题例题4 4 从上面的剪力图和弯矩图中可得出结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；在剪力等于零的截面上弯矩有极值。线，弯矩图为二次抛物线；在剪力等于零的截面上弯矩有极值。利用微分关系绘制内力图利用微分关系绘制内力图一、剪力、弯矩和荷载集度三者之间的微分关系一、剪力、弯矩和荷载集度三者之间的微分关系 上一节从直观上总结出剪力图、弯矩图的一些规律和特点，现进一步讨论剪力图、弯矩图与荷载集度三者之间的关系。 如图8-15(a)所示，梁上作用有任意的分布荷载 ( )，设 ( )以向上为正。现取分布荷载作用下的一微段 作为研究对象，

12、如图8-15（b）所示。qxqxdx图8-15考虑微段的平衡，由 得： 0yF0)()()()(xdFxFdxxqxFSSS整理得： )()(xqdxxdFS（8-4-1） 得结论一：梁上任意一横载面上的剪力对的一阶导数等于作用在该截面处的梁上任意一横载面上的剪力对的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。 再由 得：0CM0)()(2)()()(xdMxMdxdxxqdxxFxMS经过整理得 ：)()(xFdxxdMS（8-4-2） 结论二：结论二：梁上任一横截面上的弯矩对的一阶导数等于该截面上的剪

13、力梁上任一横截面上的弯矩对的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力。将式(8-4-2)两边求导，可得：)()(22xqdxxMdS（8-4-3）结论三：梁上任一横截面处的弯矩对的二阶导数等于该截面处的分布荷载集梁上任一横截面处的弯矩对的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度度。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度。因此可以由分布荷载集度的正负来确定弯矩图的凹凸方向。二、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图二、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可总结出下列一些规律，以用

14、来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。1无荷载梁段，即 时，弯矩图是一条斜直线。0)(xq2均布荷载梁段，即 常数时， 是 的二次函数，即弯矩图为二次抛物线。 )(xq)(xMx 这时可能出现两种情况： 时，抛物线下凹； 时，抛物线上凸，如图8-16所示。0)(xq0)(xq图8-16 利用上述荷载、剪力和弯矩三者之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：(1) 分段，即根据梁上外力及支座等情况将梁分成若干段；(2) 根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；(3) 利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的值和值；(4) 根据值和值逐段直接绘出梁的剪力

15、图和弯矩图。例例8-7 一外伸梁，梁上荷载如图8-17(a)所示，已知 ，利用微分关系绘出梁的剪力图和弯矩图。m4l解：解：(1)求支座反力图8-17kN20BFkN8DF(2) 根据梁上的外力情况将梁分为 、 和 三段。ABBCCD(3) 计算控制截面剪力，画剪力图如图8-17（b）所示。(4) 计算控制截面弯矩，画弯矩图如图8-17(c)所示。 例例8-8 一简支梁，尺寸及梁上荷载如图8-18(a)所示，利用微分关系绘出此梁的剪力图和弯矩图。解：解：(1) 求支座反力：kN6AFkN18CF(2) 根据梁上的荷载情况，将梁分为 和 两段，逐段画出内力图。ABBC图8-18(3) 计算控制截

16、面剪力，画剪力图如图8-18(b)所示。 (4) 计算控制截面弯矩，画弯矩图如图8-18(c)所示。载荷集度、剪力和弯矩的微分关系：载荷集度、剪力和弯矩的微分关系：)()()(22xqdxxdFdxxMdsq q0 0，F FQ Q= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为水平直线；M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F FQ Q( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分

17、布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凸形；），抛物线呈凸形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形。），抛物线呈凹形。3.3. 剪力剪力F FQ Q=0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变内力图绘制内力图绘制：微分关系法微分关系法）微分关系及几何意义：）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy（）在无荷载区段，（）在无荷载区段，Q Q图为水平直线；图为水平直线； 当当Q Q时，时，

18、图为斜直线图为斜直线; ; 当当Q Q时，时，图为水平直线。图为水平直线。（）在均布荷载区段，（）在均布荷载区段，Q Q图为斜直线；图为斜直线；图为抛图为抛 物线，且凸向与荷载指向相同。物线，且凸向与荷载指向相同。 内力图绘制内力图绘制：控制点连线法控制点连线法找出控制点找出控制点（支座、（支座、均布荷起点、均布荷起点、中点、终点，中点、终点，集中力处、集中力处、集中力偶处），集中力偶处），截面法求出各控制点内力，截面法求出各控制点内力，由内力图特征连出内力图线。由内力图特征连出内力图线。14QAFkN0AM，14QCFkN左28CMkN m左， 4QCFkN右28CMkN m右：，4QDFk

19、N左20DMkN m左：，4QDFkN右8DMkN m右，4QBFkN0BM，无均布荷，无均布荷，剪力图为水平线，剪力图为水平线，集中力处有突变。集中力处有突变。无均布荷，无均布荷，弯矩图为斜直线，弯矩图为斜直线，集中力偶处有突变。集中力偶处有突变。q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力PC集中力偶集中力偶mC向下倾斜的向下倾斜的直线直线 或或下凸的二次下凸的二次抛物线抛物线在在Q=0的截面的截面水平直线水平直线+一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变P在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧

20、靠C的某的某一侧截面一侧截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置不同荷载下剪力图与弯矩图的特征不同荷载下剪力图与弯矩图的特征7.47.4叠加法绘制梁的内力图叠加法绘制梁的内力图叠加原理：叠加原理：构件在多个荷载作用下构件在多个荷载作用下所引起的支座反力、弯矩、剪力、所引起的支座反力、弯矩、剪力、应力和变形等于各个荷载分别单独应力和变形等于各个荷载分别单独作用时所引起的弯矩、剪力、变作用时所引起的弯矩、剪力、变形各自量相叠加的总和。形各自量相叠加的总和。叠加法绘制弯矩图的步骤：叠加法绘制弯矩图的步

21、骤：（1）求支座反力（2）分别作出单独荷载作用下的弯矩图（3）将单独荷载作用下的弯矩图进行叠加12AYkN12AMkN m ， P=ql/3qxl悬臂梁受集中荷载悬臂梁受集中荷载 P 和均布荷载和均布荷载 q 共同作用，在距左端共同作用，在距左端为为 x 的任一横截面上的弯矩为的任一横截面上的弯矩为22qxPxxM )(2)(2qxxMqPxPqxlqxP 单独作用单独作用PxxMP)(q 单独作用单独作用P， q 作用该截面上的弯矩等于作用该截面上的弯矩等于P， q 单独作用该截面上的弯矩单独作用该截面上的弯矩的代数和的代数和22qxPxxM )(Pxqx2)(2qxxMq22ql-PxxM

22、P)(+32ql+-32l-+3l182ql62ql62ql2)(2qxxMq22ql-PxxMP)(+32ql-+182ql62qlP=ql/3qxl例7-2：图 示一外伸梁，a = 2m , P1、 P2 、 P3 分别为 600 KN，500 KN，400 KN。试按叠加原理作此梁的弯矩图，求梁的最大弯矩。BCP2P3aDEP1Aaaa解：解：1.将梁上荷载分开将梁上荷载分开 ，求，求P1作用下梁的弯矩图作用下梁的弯矩图BCaDEP1AaaaBCP2P3aDEP1Aaaa-1200adcbeBCP2P3aDEP1Aaaa+adcbe500BCaDEP2Aaaa2 .P2作用下梁的弯矩图作用下梁的弯矩图BCaDEP3AaaaBCP2P3aDEP1Aaaa-adcbe8003 .P3作用下梁的弯矩图作用下梁的弯矩图BCP2P3aDEP1Aaaa-adcbe800+adcbe500-1200adcbe1200 800131-adcbe4 .P1 、 P2 、 P3作用下梁的弯矩图作用下梁的弯矩图一、梁横截面上的正应力一、梁横截面上的正应力7.4 7.4 梁弯曲时的应力及强度计算梁弯曲时的应力及