第三章最大值最小值问题

1、第第三三章章2 22.22.2 理解教材新知理解教材新知把握热把握热点考向点考向应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 考点二考点二 考点三考点三22最大值、最小值问题最大值、最小值问题 1问题：如何确定你班哪位同学最高？问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学班中最高的同学 2如图为如图为yf(x)，xa，b的图像的图像 问题问题1：试说明：试说明yf(x)的极值的极值 提示：提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值

2、，为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值为函数的极小值 问题问题2：你能说出：你能说出yf(x)，xa，b的最值吗？的最值吗？ 提示：函数的最小值是提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函中最小的，函数的最大值是数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的中最大的 问题问题3：根据问题：根据问题2回答函数回答函数yf(x)，xa，b的最值的最值可能在哪些点取得可能在哪些点取得 提示：在极值点或端点中提示：在极值点或端点中 1最值点最值点 (1)最大值点：函数最大值点：函数yf(x)在区间在区间a，b上的最大值点上的最大值点x0指指的是：函数在这个区

3、间上所有点的函数值都的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0) (2)最小值点：函数最小值点：函数yf(x)在区间在区间a，b上的最小值点上的最小值点x0指指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0) 2最值最值 函数的函数的 与与 统称为最值统称为最值不超过不超过不小于不小于最大值最大值最小值最小值 (1)一般地，连续函数一般地，连续函数f(x)在在a，b上有最大值与最上有最大值与最小值小值 (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最大、最小值必须

4、是整个区间上所有函数值中的最大、最小值小值 (3)函数的极值可以有多个，但最大函数的极值可以有多个，但最大(小小)值最多只值最多只能有一个能有一个 例例1求函数求函数f(x)x42x23在区间在区间3,2上的上的最值最值 思路点拨思路点拨利用导数确定极值点，比较极值与端点利用导数确定极值点，比较极值与端点函数值的大小，确定最值函数值的大小，确定最值 精解详析精解详析法一：法一：f(x)4x34x， 令令f(x)4x(x1)(x1)0， 得得x1，x0，x1. 当当x变化时，变化时，f(x)及及f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x

5、)000f(x)60极大极大值值4 极小极小值值3极大极大值值4 5当当x3时，时，f(x)取最小值取最小值60；当当x1或或x1时，时，f(x)取最大值取最大值4.法二：法二：f(x)x42x23f(x)4x34x，令令f(x)0，即，即4x34x0.解得：解得：x1或或x0或或x1.又又f(3)60，f(1)4，f(0)3，f(1)4，f(2)5，所以当所以当x3时，时，f(x)有最小值有最小值60.当当x1时，时，f(x)有最大值有最大值4. 一点通一点通求函数求函数f(x)在在a，b上的最大值和最小值的上的最大值和最小值的步骤：步骤： (1)求函数的导数求函数的导数f(x)； (2)求

6、方程求方程f(x)0的全部实根的全部实根x0； (3)将将f(x0)的各个值与的各个值与f(a)，f(b)进行比较，确定进行比较，确定f(x)的的最大值与最小值最大值与最小值1函数函数f(x)x33x26x10在区间在区间1,1上的最大上的最大值为值为_解析：解析：因为因为f(x)3x26x63(x1)230，函数函数f(x)在区间在区间1,1上单调递增，上单调递增，当当x1时，函数时，函数f(x)取得最大值取得最大值f(1)6.答案：答案：6x0(0,1)1(1,2)2f(x)0f(x)0极大值极大值ln 2ln 3114 例例2已知函数已知函数f(x)ax36ax2b，是否存在实数，是否存

7、在实数a，b，使使f(x)在在1,2上取得最大值上取得最大值3，最小值，最小值29？若存在，求出？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由 思路点拨思路点拨利用导数求出利用导数求出f(x)的最值的最值(用用a，b表示表示)，列方，列方程求程求a，b的值的值 精解详析精解详析显然显然a0，f(x)3ax212ax3ax(x4)，令令f(x)0，解得，解得x10，x24(舍去舍去) 当当a0时，当时，当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况见下表：的变化情况见下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab最大值最大值16ab当当x0时，时，f(x)

8、取得最大值取得最大值b3.又又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)，当当x2时，时，f(x)取得最小值，即取得最小值，即16a329，即，即a2.当当af(1)，当当x2时，时，f(x)取得最大值，即取得最大值，即16a293，即，即a2.综上所述，综上所述，a2，b3或或a2，b29. 一点通一点通由函数的最值来确定参数的问题是利用导由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应

9、用方程思想的应用5已知函数已知函数f(x)x33x29xc，当，当x2,6时，时，f(x)2|c|恒成立，求恒成立，求c的取值范围的取值范围解：解：f(x)3x26x9，令，令f(x)0，得，得x1或或x3，当当x变化时，有下表：变化时，有下表：x2(2，1)1(1,3)3(3,6)6f(x)00f(x)c2极大值极大值c5极小值极小值c27c54x2,6时，时，f(x)的最大值为的最大值为c54.要使要使f(x)2|c|恒成立，只要恒成立，只要c5454或或c18.c的取值范围是的取值范围是(，18)(54，) 例例3某种商品每件的成本为某种商品每件的成本为9元，当售价为元，当售价为30元元

10、时，每星期可卖出时，每星期可卖出432件如果降低价格，销售量可以件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，单位：元，0 x21)的平方成正比已知商品单价降的平方成正比已知商品单价降低低2元时，每星期可多卖出元时，每星期可多卖出24件件 (1)将一个星期的商品销售利润表示成将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 精解详析精解详析(1)设商品降价设商品降价x元，则多卖的商品数为元，则多卖的商品数为kx2，

11、若记商品在一个星期里的获利为若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有，则有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2)， 又由已知条件，又由已知条件，24k22，于是有，于是有k6.所以所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)令令f(x)0，即，即18(x2)(x12)0，得，得x12，x212.当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)如下表：如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21) 21f(x)00f(x)9 072极小值极小值极大值极大值0 因为因为f(0)9 072f(12)11 664，所以，所以x12时，时，f(x)取得取得最大值，最大值， 即当定价为即当定价为301218(元元)时，能使一个星期的商品销时，能使一个星期的商品销售利润最大售利润最大 一点通一点通利用导数解决优化问题的一般步骤如下：利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式yf(x) (2)求函数求函数f(x)的导数的导数f(x)，并解方程，并解方程f(x)0，即求，即求函数可能的极值点