多自由度,弹性体

1、本次教学内容v固有频率和主振型v主振型的正交性和模态矩阵v模态坐标与正则坐标（模态分析法）v固有频率的工程计算方法v弹性体振动的基本概念v杆的纵向振动v梁的横向振动一、固有频率和主振型一、固有频率和主振型无阻尼多自由度系统振动方程： (1 )m x k xP 设解：x=A sin (wt+f)则 x= - w2A sin (wt+f) ( k w2m)A=0特征方程 |k w2m | =0 也称频率方程特征値 w1w2w3wn特征矢量 A (i) 对应特征値wi0二、主振型的正交性和模态矩阵二、主振型的正交性和模态矩阵（一）正交性（一）正交性 任意两个不同的振型关于刚度矩阵和质量矩阵正交，即：

2、 T( )( )T( )( )0,0()srsrAmAandAkArs上述特性具有非常重要的工程应用价值，其证明如下：对于多自由度系统，有： 20nkmA 2nkAmA对第r阶和s阶两个不同的振型，有： ( )( )2( )( )(4)TTrsrsnsAkAAmA ( )2( )(1)rrnrkAmA上述两式分别左乘( )( ),TTsrAA得： ( )( )2( )( )(3)TTsrsrnrAkAAmA对（4）两边同时转置得： ( )( )2( )( )(5)TTTTsrsrnsAkAAmA TTTTAB CCBA而： ,TTmmkk ( )2( )(2)ssnskAmA ( )( )2(

3、 )( )(6)TTsrsrnsAkAAmA ( )( )2( )( )(3)TTsrsrnrAkAAmA（3）-（6）得： 22( )( )0TsrnrnsAmA前面已假设：22nrns，显然只有： ( )( )0(7)TsrAmA（7）代入（3）得： ( )( )2( )( )200(8)TTsrsrnrnrAkAAmA（二）模态矩阵（二）模态矩阵 (1)mxkxP1、多自由度振动方程解耦的必要性引入模态矩阵的目的是为了方便地求解如下形式的振动方程：1 12211 122iinniiiiinniiiiim xm xm xk xk xxPmkk xx上述方程组的第i方程为：特点：各广义坐标及

4、其对时间的二次导数之间是相互耦合的，给方程的求解造成了困难，能不能有一种方法使方程（1）解耦，即在第i个方程中只有第i个广义坐标及其对时间的二次导数，如下式：iiiiiM xKQx这样，多自由度方程的求解就可以采用单自由度强迫振动的求解方法。实际上模态矩阵就有这样的功能。2、模态矩阵（振型矩阵）、模态矩阵（振型矩阵）把n个振型（特征向量）依次排成一行，构成模态矩阵，即 (1)(2)( )(2)nAAA为了求解振动方程（1），令 (3)xq显然还有： (4)xq（3）和（4）代入（1）得： mqkqP左乘 T (5)TTTmqkqP1）模态矩阵的定义）模态矩阵的定义 ,TTTMmKkQP (1)

5、MqKqQ模态方程可以证明， ,MK均为对角矩阵。 (1)(2)(1)(2)( )( )TTnTnAAMmAmAmAA (1)(2)( )(1)(2)( )TTnnMmAAAmAAA (1)(1)(1)(2)(1)( )(2)(1)(2)(2)(2)( )( )(1)( )(2)( )( ) TTTnTTTnTTTnnnnAmAAmAAmAAmAAmAAmAMAmAAmAAmA根据主振型的正交性，上述矩阵所有非对角线元素值均为零，即(1)(1)(2)(2)( )( ) 000 000 TTTnnAmAAmAMAmA12000000nMMMM其中rM叫第r阶模态质量，由下式计算：( )( ) T

6、rrrKAkA同样可以得： 12000000nKKKK第r阶模态刚度( )( ) TrrrMAmA (1)MqKqQ111122220000000000000nnnnMqKqMqKqMqKq自由振动方程0rrrrM qK q2rrrKM2122220000000n 2KM 三、模态坐标与正则坐标（模态分析法三、模态坐标与正则坐标（模态分析法） 12(1)(2)( )nnqqxqAAAq1 1、模态坐标的物理含义、模态坐标的物理含义 前面已介绍了模态坐标：( )1nrrrqA若 ，则上式变为：11,0,(1)rqqr结论：原广义坐标x1，x2，xn是n个主振型的线性组合，也即系统的任何振动状态都

7、是由各个主振型按照一定的比例叠加起来的。 (1)xA 由此可见，系统的位移列阵正好与第一阶主振型相等，这就是q1取单位值得物理含义。或者说，每个模态坐标的值反映了其对应的振型在位移响应中所占的比例。2 2、正则坐标、正则坐标 我们学习了解耦的动力学方程：rrrrrM qK qQ如果想办法使1rM ，则上述方程变为：rrrrqK qQ模态正则方程这时，2nrrK1rM 目标： T( )( )(1)rrrMAmA而把1rM 所对应的振型记作( )rNA，称为正则主振型，则( )( )(2)rrNrAA T( )( )1(3)rrNNAmA根据定义（2）代入(3)： T( )( )1rrrrAmA

8、T( )( )11rrrrrMAmA 12000000n正则模态矩阵为： (1)(2)( )(1)(2)( )12nNNNNnnAAAAAA 由于：1rM 因此， 100001MI3 3、利用模态分析法的一般过程、利用模态分析法的一般过程1）建立微分方程 mxkxP2）计算固有频率和振型 212det0nnnnnkm 2( )( )0rrnrkmAA3）列出模态矩阵 (1)( )nAA4）计算模态质量矩阵和模态刚度矩阵 11KTnTnMmdiag MMkdiag KK5）计算正则模态质量矩阵和正则模态刚度矩阵 (1)( )1nNnAA 1100TNNNnnKMKkKM 1rrM6）变量置换 ,

9、TNNNxqQPrNrrNrqK qQrNrrNrqK qQ2NrNrK0( )sintrNrNrqQtd Nxq例，已知振动方程为： 1003100101210001013mxkx试写出其正则模态方程。1）特征方程：222302003nnnkmkkkmkkkm得：1233,2nnnkkkmmm 222302003nnnkmkkkmkAkkm2）求振型：(1)121A (2)101A(3)111A 3）模态质量矩阵 111201111 600020003TMmm 6000600012TKkk112233001000003000400NKMKkKMmKM11223300030000400kmqq

10、kqqmqqkm 四、固有频率的工程计算方法四、固有频率的工程计算方法1 1、动力矩阵、动力矩阵 20nkmA 2(1)nkAmA作用力方程：位移方程： 21(2)nAmA 210nImA方程(2)就是矩阵理论中典型的特征方程，实际上也可把(1)化成特征方程的形式：21n思考： 12(3)nmkAA 21(2)nmAA 12(3)nmkAA 1(4)mDmk位移方程作用力方程动力矩阵：221(5)nn位移方程作用力方程特征值： (6)DAA统一的特征方程：2 2、矩阵迭代法的基本原理、矩阵迭代法的基本原理1）设初始迭代向量为： ，关于初始向量的选取，可以有多种方法，最简单的是令 111121n

11、AAAA 11 11A2）迭代计算： 21ADA为了减少迭代计算量，通常要把新矩阵 进行规格化，即找出绝对值最大的元素，用该元素去除所有的元素，保证各元素中最大的数为1。 2A3）进行下一轮的迭代计算，每一轮的迭代结果均需进行规格化处理，这样经过m次迭代后，有： 1(7)mmADA 可以证明，当迭代次数足够大时，迭代的向量最终收敛于最低阶振型（位移方程）或最高阶振型（作用力方程），工程实际中主要关心低频振动，下面我们讨论低频形式。令21(1,2,)iniin因此：12n而： (1)(2)( )121nnACACACA于是： (1)(2)( )1221(1)(2)( )1 122(1)(2)(

12、)211211nnnnnnnnADAC DACDACDACACACACACACA这说明，经过第1次迭代后，第1阶以外的振型所占的分量已经相对缩小了，再进行第2次迭代，得： (1)(2)( )2112211nnnACACACA11(1)ii222(1)(2)( )211211nnnCACACA 32ADA结论：当迭代次数m足够大时，由于11(1)mii因此 (1)11mmACA即，m次迭代后的向量即为一阶振型（需要进行规格化处理）。在实际工程计算中，当 和 比较接近时，迭代结束。下面简单介绍一下第2阶固有频率和振型的计算方法。前面利用动力矩阵 D作为迭代计算的矩阵，而二阶迭代的矩阵为： 1mA

13、mA 11DDS 1213110010000100001nS(1)1(1)11(2,3,)iiiM AinM A 11mmADA迭代公式：3 3、示例、示例柔度矩阵为：11213113k223211433kkk33111733kkkk 11111443147k质量矩阵： 400020001mm1x2x3x 4214843487mDmk动力矩阵 11 1 1TA 211971619330.36840.8421 1TTmmADAkk 315.21044.157812.21040.36815.210440.8421 10.2734330.80281TTTADmmkk 414.51603.699211

14、.51600.27314.516040.8028 10.2548330.7933 1TTTADmmkk 514.36563.605811.36560.25414.365680.793310.2510330.7911 1TTTADmmkk 614.33283.586211.33280.25114.332800.7911 10.2502330.79061TTTADmmkk 714.32563.582011.32560.25014.32560.2500320.7900.79053161TTTADmmkk因此：(1)0.25000.79051TA (1)(1)114.3250.25000.790516

15、3TmDAAk而：1110.4570nkm (1)(1)3322(1)(1)11111001.581010010001001m Am Am Am AS 1104.323.001.670301.673.0mDDSk 11mmADA 11 1 1TA 1217.321.00000.22810.63807.321.674.6733TTmmADAkk (2)1.001.0A 221nkm其他近似计算方法：里兹法(Ritz method）子空间迭代法霍尔兹法（Holzer method）传递矩阵法五、弹性体振动的基本概念1 1、弹性体振动、弹性体振动 任何机器零件和结构元件那是由质量和刚度连续分布的弹性

16、体所组成的，需要无限多个坐标来描述其运动，因此，它们是无限多自由度的连续系统。弹性体上任意一点的振动不仅与时间变量有关，还与该点的位置有关，从而弹性体的振动必须用偏微分方程来描述。2、建立弹性体振动模型的若干假设 1）弹性体的质量和刚度均匀分布；2）在振动过程中应力不超过弹性极限（否则发生塑性变形）；3）只限于线性范围内，应力和应变之间的关系服从胡克定律 ；4）材料满足各向同性。六、杆的纵向振动六、杆的纵向振动1、运动方程1）已知条件：均质等截面，面积为A，杆长为l，密度为，拉压弹性模量为E。2）变量描述：以杆左端中心为O点，Ox轴沿其中心线，x表示杆未变形时杆上各点的位置，u表示杆x处的纵向

17、位移（变形），则( , )uu x t3）运动方程微元左端（x）受力：S，位移：( , )u x t微元右端（x+dx）受力： ，位移：SSdxx( , )( , )u x tu x tdxx微元的质量：Adx牛二定律：22uSAdxSdxStx22uSAdxdxtxuudxuuxSAAEAEAEdxxuSAEx22SuAExx22uSAtx2222uuAAEtx22222221uuuxEtat式中：Ea为声波在杆中纵向传播速度。二阶波动方程2 2、固有频率和振型、固有频率和振型222221uuxatHow to solve it？而多自由度系统的自由振动解： i tuU e U振幅（主振型）

18、，有n个分量对于连续系统，可以理解为n ，因此，连续系统的自由振动解可写为：,( )( )u x tU xt这种方法在数学上叫分离变量法。于是：22222222,( )( ),( )( )u x td U xtxdxu x tdtU xtdt22222( )1( )( )( )d U xdttU xdxadt22222( )1( )( )( )d U xdttU xdxadt22222( )1( )( )( )d U xadtdxU xtdt思考：方程左边和右边各是哪些变量的函数？222222( )1( )( )( )nd U xadtdxU xtdt 2222222( )( )0( )( )

19、0nndttdtd U xU xdxa( )sinntAt11( )cossinnnU xCxDxaa11( , )cossinsincossinsinnnnnnnu x tCxDxAtaaCxDxtaa该解包括几个待定系数？,C D如何确定它们？边界条件和初始条件l1两端为自由端，应力为零l2两端固定，位移为零lm3左端位移为零，右端力平衡lk4左端位移为零，右端力平衡应力为零：00E?( , )sincossinnnnnu x tCxDxtxaaa0|0cos00nxnuDtDxa|0sinsin0sin0nnnx lnuCltlxaaa (1,2,3,)njljja(1,2,3,)njj

20、ajEjll主振型： ( )sinsinnijU xCxCxal思考：2、3、4的边界条件如何写？2、两端固定(0, )( , )0sin0nutu l tla3、左端固定，右端集中质量22( , )( , )1(0, )0,nnlu l tu l tEAutEAmtgxtama 4、左端固定，右端弹簧( , )(0, )0,( , )nnlu l tEAutEAku l ttgxaka 七、梁的横向自由振动七、梁的横向自由振动1 1、运动方程、运动方程1）横向振动的定义：梁的弯曲变形引起的运动。2）建模的基本假设： 梁的横截面为均匀截面，且尺寸与长度之比较小，忽略转动惯量和剪切变形的影响（不

21、考虑角变形）。3）已知条件：横截面积为A，密度为，抗弯刚度为EJ弯矩剪切力牛顿第二定律22VyVVdxAdxxt横向变形力矩平衡：022dxMVdxMVMdxVdxxx22VyAxt 忽略高阶微小量有：MVx22VMxx由材料力学：22yMEJx4242yyEJAxt 最终得：424221yyxat EJaA2 2、固有频率和振型、固有频率和振型分离变量法：( , )( )( )y x tY xt4444( , )( )( )y x td Y xtxdx2222( , )( )( )y x tdtY xtdt222444( )( )0( )( )0ndttdtd Y xY xdx242242(

22、 )1( )( )( )nad Y xdtY xdxtdt 22( )sincosnntCtDt242na444( )( )0d Y xY xdxHow to solve this equation?( )sxY xe通解：4(4)44sxd YYs edx特征方程：440s1,23,4,sis 1234( )i xi xxxY xAeA eA eA e方程解：,cossin,cossinxxi xi xech xsh xech xsh xexixexix双曲余弦、正弦函数( )scossinY xAch xB h xCxDx方程解：22( , )scossinsincosnny x tAch

23、 xB h xCxDxCtDt方程解：, ,A B C D由边界条件确定22,CD由初始条件确定对于考虑弯曲变形的梁，不同的支撑条件决定了不同的边界条件，如下所示：支撑条件 边界条件自由端 弯矩和剪切力为零固定端 位移和转角为零简支梁 位移和弯矩为零右端集中质量 牛顿第二定律23230,0yyMEJVEJxx0,0dyydx220,0d yyMEJdx注意：由于( , )( )( )y x tY xt，因此上述运算，可直接把y换成Y322322,0d yd yd yVEJmMEJdxdtdx( )scossinY xAch xB h xCxDxs,s2,2xxxxeeh xh xch xeec

24、h xch xsh x( )sincosY xAsh xBch xCxDxx222( )scossinY xAch xB h xCxDxx333( )sincosY xAsh xBch xCxDxx1）两端自由左端：V(0,t)=0，M(0,t)=000BDBDACAC222( )cosssinY xA ch xxBh xxx333( )sincosY xA sh xxB ch xxx右端：V(l,t)=0，M(l,t)=0cosssin0A ch llBh llsincos0A sh llB ch llsincos0cossinsh llch llch llsh llcos1ch ll222( )scossinY xAch xB h xCxDxx333( )sincosY xAsh xBch xCxDxxc