高中数学必修一《基本初等函数》题库(1)

1、.一、指数函数（Exponential Function）（一）分数指数幂的相关运算1. 计算：（1）；（2）÷47. （3）（4）（5）解：(1) 原式=；(2) 原式= 2. 化简：(1) ；(2) 解：(1) 原式= ；(2) 原式 3. 已知则的值为_变式1：已知，则 变式2：已知，求下列各式的值：（1）； （2）4. （1）若，则使之成立的x的取值范围为 （2）若，则使之成立的x的取值范围为 5. 计算下列各式（式中字母都是正数）（1）；（2）6. 计算下列各式：（1）；（2）7. 计算下列各式：（1）； （2）（3）8. (2010年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况

2、下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于_分钟10009. 若函数在上的值域为，则先定单调性，由函数图像可得10. 已知集合，且试求实数的值及集合11. 若方程的解为，则 12. 已知，求的值. 因为，所以， 而，所以，所以 13. 14. 等式成立的的条件是 （二）指数函数的概念1. 已知指数函数经过点，求的值（三）指数函数的图像1. 下图是底数分别为5，6，的指数函数的图像，请具体指出2. 将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式 _3. 画出函数的草图4. 画出函

3、数的图象，并利用图象回答：（1）的单调区间是什么？（2）k分别为何值时，方程|3x1|=k无解？只有一解？有两解？5. 在定义域内是减函数，则的取值范围是 6. 若方程|有一解，则= 7. 当a0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是 变式1：当0<a<1,b<1时，函数y=ax+b的图象必不经第 象限变式2：若函数y=ax+b的图象不经第过第一象限，则实数a,b的取值范围是_变式3：函数的图象与负半轴相交于一点，则的取值范围为 变式4：如果函数f(x)axb1(a>0且a1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有_ 0<a<1且b&

4、gt;0 0<a<1且0<b<1 a>1且b<0 a>1且b>08. 函数在上是减函数，则的取值范围是 9. 在下列图象中，二次函数y=ax2bxc与函数y=()x的图象可能是10. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是 11. 给定函数 , , , 210y/m2t/月23814,其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 12. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时间(月)的关系:,有以下叙述: 这个指数函数的底数是2; 第5个月时,浮萍的面积就会超过; 浮萍从蔓延到需要经过1.5个月; 浮萍每个月增加的面积都相等; 若

5、浮萍蔓延到、所经过的时间分别为、，则.其中正确的是 （填写正确命题的序号）1、2、513. 已知函数在R上递增，则a的取值范围为_14. 已知实数a,b满足等式，下列五个关系式： 0<b<a; a<b<0; 0<a<b; b<a<0; a=b，其中不可能成立的关系式有_个15. 已知函数若方程有三解，则实数m的取值范围是 _16. 已知方程有负根，则实数的取值范围 17. （2004年江苏高考题）若，_18. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是f (x)A BC D19. 函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1,16，当a变动

6、时，函数bg(a)的图象可以是_20. 已知函数（1）若的图像如图（1）所示，求的值；（2）若的图像如图（2）所示，求的取值范围；（3）在(1)中，若有且仅有一个实数解，求出的范围（1） （2）21. 若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围为 _. （四）指数函数的性质1. 求下列函数的定义域（1） （2） 2. 求下列函数的值域（1）；（2） 变式： ；思考1：的值域怎么求？思考2：的定义域、值域、奇偶性和单调性怎么研究？思考3：已知函数(a、b是常数且a0，a1)在区间,0上有ymax=3，ymin=，则ab 3. 已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）求证函数在上是增函数拓展：已知

7、函数（1）判断函数的奇偶性；（2）求函数的值域；（3）判断并证明函数的单调性变式：已知函数是定义域上的奇函数（1）求实数的值；（2）求函数的值域解：（1）因为是奇函数，所以恒成立，即， 化简得，解得 （2）由，设，则， 因为，所以所以函数的值域为变式：(2009年高考山东卷改编)函数y的图象大致为_ 4. 已知是奇函数，则常数m的值为 5. 若指数函数在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数 变式1：解不等式变式2：定义：区间的长 为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_.6. 求函数的值域及单调区间.变式1：函数y=0.25的值域是_ 单调递增区间是_变式2：函

8、数y=为增函数的区间是 7. 设 求它的最小值变式1：若函数在区间上是奇函数，则的值为_变式1：已知函数y=4x3·2x+3的值域为7,43，试确定x的取值范围.变式2：已知，求函数的最大值和最小值.变式3：函数在上最大值为14,则的值为_8. 函数的对称轴为直线，且，比较的大小变：思考题：若，且，求证：(1) 当时，；(2)当时， 9. (2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且abab2，则abab的值等于_变式：已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1) 求a，b的值；(2) 若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围

9、（五）指数函数的综合问题1. （2013年梁丰高一数学10月月考）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求的值；（2）若，试判断函数单调性（不需证明），并求不等式的解集；（3）若上的最小值为，求实数的值. 2. （苏州2013年期初检测）对于函数,若在定义域内存在实数,满足，则称为“局部奇函数”（I）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；（II）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（III）若为定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；3. 设，若0<a<1，求（1）的值；（2）求的值（倒序相加法）一般性推广：求的值4. 已知定义域为的函数是奇函数.

10、（1）求的值； （2）求证：在上是增函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.5. 定义在D上的函数，如果满足:对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）求函数在上的上界T的取值范围；（3）若函数在上是以3为上界的函数，求实数的取值范围.6. 已知函数,且为奇函数() 求a的值;() 定义:若函数,则函数在上是减函数,在是增函数.设,求函数在上的值域解：（）函数f（x）的定义域为R，为奇函数，f（0）=0，1+a=0，a=-1 3分() =3分设，则当时， 3分当

11、时，函数单调递减；当时，函数单调递增； 2分当时，y的最小值为当时，当时，y的最大值为 2分函数在上的值域是 1分7. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数， 使得 成立，则称 是上的有界函数， 其中称为函数的上界. 已知函数， .（1）当时， 求函数在上的值域， 并判断函数在上是否为有界函数， 请说明理由；（2）若， 函数在上的上界是， 求的取值范围；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数， 求实数的取值范围解：（1）值域为，故不存在常数， 使得对任意恒成立，所以函数在上不为有界函数；（2），函数在定义域上单调递减则的值域为,当时， 所以对于恒成立，则的取值范围是（3）转化为不等式恒成

12、立问题在上恒成立，求得8. 已知函数（1）若时，求函数的值域；（2）若函数的最小值是1，求实数的值.解：（1）由，设，得（1）当时，当时，的最大值为；当时，的最小值为，所以函数的值域为（2）由， 当时，令，得，不符合； 当时，令，得，不符合； 当时，令，得（舍负）综上所述， 9. 已知定义域为的函数同时满足以下三个条件： 对任意的，总有； ； 若，且，则有成立，则称为“友谊函数”.（1）若已知为“友谊函数”，求的值；（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？给出理由；（3）已知为“友谊函数”，假设存在，使得且，求证：指数的历史个相同的因数相乘，即，记作，叫作的次幂，这时叫做指数.本来，幂的指数总是

13、正整数，后来随着数的扩充，指数的概念也不断发展.正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算联系紧密的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了.我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜未曾流传开来.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数概念.17世纪英国的瓦利士在他的无穷小算术中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列的指数是-2，立方指数倒数的数列的指数是-3，两项逐项相乘，就有了五次幂倒数的数列它的指数显然是(-2)+(-3)=-5.同样，平方根倒数的数列的指数是”这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用的指数符号.分数指数幂最早在奥力森的比例算法中出现，他使用的符号不简洁.现在的分数指

14、数和负指数是牛顿创设的.牛顿在1676年6月13日写信给莱布尼兹说：“因为当代数学家将等写成，所以我将写成；又将写成”.牛顿还首先使用任意实数指数.18世纪以后，人们发现复数还可用三角式即指数式表示，从而得到了一般复数指数的概念.1679年莱布尼兹写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程，这是引入变指数的开始.指数概念形成以后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算的基础上，这就是现行教科书中广泛采用的方法.二、对数函数（Logarithm Function）（一）对数的相关运算思考1：设方程的解是_（08浙大自主招生）设满足，求的值 （二）对数的运算性质1. 计算：=_2. 计算：=_3. 设且,求证： 4.

15、 已知，则用表示为 4. 已知，则5. 任何一个正实数的常用对数可以写成如下形式：，这里，这时我们把叫的首数，把叫做的尾数，如果的首数为，与的尾数相等，则此时解：，所以，得，故6. 对于，下列命题中，正确命题的个数是_.若，则； 若，则；若，则； 若，则7. 给定函数，则 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是_9.已知函数f(x)alog2xblog3x2，且f()4，则f(2010)的值为_10. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系是v2000·ln(1M/m)当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速

16、度可达12 km/s.11. 已知函数，若对于满足Î（- a，4 - a）的一切x恒成立，则（a，b）为_（2，1）12.（2013年苏锡常镇四市高三数学二模附加题23题）已知，设，比较与的大小13. 已知，则的取值范围为 14. （1）写出对数的换底公式并证明；（2）已知，试用表示解：（1）对数的换底公式：，其中，证明：设，则，两边同时取以为底的对数，得， 即，所以，得证 （2）因为，所以 15. 已知集合是函数的定义域，是不等式的解集（1）若集合中恰有两个正整数解，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围16. （三）对数函数的图像与性质1. 求下列函数的定义域 （1）ylo

17、g2（x22x5） （2）ylog（x24x5） （3） y（0a1）（4） （5）思考1：已知函数的定义域是F, 函数的定义域是N,确定集合F、N的关系？思考2：已知集合Px|x3,函数f(x)=log2(ax22x+2)的定义域为Q.（1）若Q为实数集R，求a的取值范围;（2）若PQ，PQ，求实数a的值.思考3：若函数ylg(x2ax1)的定义域为R，实数a的取值范围为 变式：已知函数ylg(x2ax1)的值域为R，则a的取值范围是 2. 求下列函数的值域1.（1）求下列函数的值域 1. （2）（3）（4）ylog（x24x5）（5）ylog2（x22x5） （6）2. 已知集合,设函数（

18、）的值域为，若，则实数的取值范围是 3.（1）若，求函数f(x)= 的值域.（2）设=|，求函数，的最值及其相应的的值.（3）函数的值域是（4）已知f(x)log3x2，x1,9，则函数yf(x)2f(x2)的最大值是_4. 在函数的图象上有三点A、B、C，横坐标依次是（1）试比较； 函数的凹凸性（2）求ABC的面积的值域 3. 对数函数的图像问题1. 1在同一坐标系中，三个函数,的图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是_变式1：已知，m,n为不等于1的正数，则n、m、1的关系为 变式2：（10浙江）设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数

19、是_6_（图像平移与变换）变式3：画出函数图像：2. 方程的实数根为，的实数根为，的实数根为，则实数的大小关系为_3. 已知不等式，当上恒成立，则实数的取值范围为_4. 已知函数, 若, 则的取值范围是_5. 已知，则的大小关系为_6. 是的方程的解，则这三个数大小关系是_7. 当xn，n1)，(nN)时，f(x)n2，则方程f(x)log2x根的个数是_8. (2010年福建厦门模拟)已知lgalgb0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是_9. 若a>1且0<b<1，则不等式alogb(x3)>1的解集为_10. 若，则下列式子成立的是 1、2、5

20、（1）； （2）； （3）；（4） （5）11. 已知，且，则从大到小的顺序是 12. 已知函数的零点依次为，则的大小关系是 13.作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）4. 单调性1. 求函数的单调递增区间；2. 求函数的单调递减区间；3. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .4. 已知y（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_5. 若定义在区间（1，0）内的函数满足，则a的取值范围为 6. 若，则实数的取值范围是_7. 设函数在上单调递增，则的大小关系为_8. 函数在区间上恒有,则实数的取值范围是_变式1：已知函数，其中为不等于1的正数，若，且函数在区间

21、上总有，则的取值范围为_变式2：已知函数.（1）求的定义域；（2）若在上递增且恒取正值，求满足的关系式.9. 已知函数（1）求函数的定义域；（2）解不等式：10. 函数的定义域是_；单调减区间是_；值域是_11. 比较下列数的大小 （分类讨论）变式：的大小顺序从小到大依次为_（1） （2） 12. 已知函数f(x)在上是减函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)<g(1),则x的取值范围是_ 变式：已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则不等式 的解集为 13. 已知函数f(x)log3，x(0，)，f(x)同时满足下列三个条件：(1) 在(0,1上是减函数，(2) 在1，)上是

22、增函数，(3) f(x)的最小值是1，则14. 已知函数f(x)lg(kR且k>0)若函数f(x)在10，)上是单调增函数，则实数k的取值范围为_15. 若在上恒正，则实数的取值范围是 16. 函数f(x)=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是 17. 已知函数（1）判断的奇偶性并证明；（2）若的定义域为()， 判断并证明在定义域上的单调性；18. 已知，若，则19. 若，试比较，的大小 20. 设偶函数在上是单调减函数，则与的大小关系是 21. 若，函数，则使的的取值范围_22. 设，且，则函数的最大值为 05. 奇偶性1. 函数的奇偶性为 2. 若函数是奇函数，则a 3. 设是偶函

23、数，是奇函数，值为_（四）对数函数的综合应用1、已知函数，（1）若为奇函数，求的值；（2）若在（-1，5内有意义，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，判断并证明的单调性解：（1） ；（2）（3）当时，f(x)在定义域上为减函数由，得f(x)定义域为（1，），令 ， ，即在(1,a)为减函数2、解（）因为，由，得所以的定义域关于原点对称又因为所以函数是奇函数（）当时，则的定义域为，设则 因为，所以即，所以故，所以函数是减函数当时，同上可得，函数是增函数（）因为，且，所以（）所以探究与交点个数，即探究方程在上根个数亦即方程在上根的个数令，因为对称轴，由得或，又，当时，则，方程有一个实根当时，则，

24、方程无实根当时，则，方程无实根3、已知函数()是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围. (1) 因为为偶函数，所以，即 对于恒成立.于是恒成立,而x不恒为零，所以. (2) 由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为任取、R，且，则，从而.于是，即，所以在上是单调减函数.因为，所以.所以b的取值范围是 (3) 由题意知方程有且只有一个实数根令，则关于t的方程(记为(*)有且只有一个正根.若a=1，则，不合, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由或3；但，不合，舍去；而

25、；方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是 4. 已知函数，（，且）（1）求函数的定义域；（2）求函数的值为正数的的取值范围5. 已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断并证明函数的单调性6. 函数,，关于的方程在上有解，则的取值范围为_7. 已知函数，其中且.（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）对于函数，当时，求实数m的取值范围；（3）当时，的值恒为负数，求实数a的取值范围.8. 设函数的定义域区间为,其中.() 求的长度(注:区间的长度定义为);() 判断函数的单调性,并用单调性定义证明;() 给定常数,当时,求区间长度的最小值.解：（）由，得

26、， 2分。 1分（）在上是增函数，在上是减函数， 1分设，则2分， 2分在上是增函数 1分同理可证，在上是减函数 1分（）， 1分由（）可知，在上是增函数，在上是减函数的最小值为中较小者； 2分2分的最小值为 1分9. 已知函数，其中，若是奇函数（1）求的值并确定的定义域；（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围10. 已知且，函数，记（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.（1）（且） ，解得，所以函数的定义域为令，则（*），即 解得， 经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为所以函数的零点为. （2

27、）（）设，则函数在区间上是减函数当时，此时，所以若，则，方程有解；若，则，方程有解11. 设,其中且,若在区间上有恒成立，求实数的取值范围. 12. 已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的解析式. 解（1）由，得.由得. 因为，所以，.由得. （2）当xÎ1,2时，2-xÎ0,1，因此. 13. 已知函数（1）求函数的定义域；定义域为；时，定义域为（2）若在上有意义，求实数的取值范围. 14. 已知函数（1）若的两个零点为，且满足，求实数的取值范围；（2）若函数存在最值，求实数的取值范围. 15. 图1是定义在R上的二次函数的部

28、分图象，图2是函数的部分图象 (1)分别求出函数和的解析式；(2)如果函数在区间上单调递减，求的取值范围.16. 设，为常数）当时，且为上的奇函数（1）若，且的最小值为，求的表达式；（2）在（1）的条件下，在上是单调函数，求实数的取值范围解：由得, 3分若，则无最小值 要使取最小值为0，必须，,当，则， 又， 又 ， (2)，令，则，13分当，或，或时，为单调函数综上所述：实数的取值范围是或三、幂函数（Power Function）1. 已知幂函数在上为减函数，则实数 2. 若，则使函数的定义域为R，且在（，0）上单调递增的值为 3. 已知幂函数的图象过点，若函数在上是减函数，则的取值范围 4

29、. 已知函数为偶函数，且，(1) 求的值，并确定的解析式； 1(2) 当时，讨论在2，3上的单调性；增(3) 若在2，3上为增函数，求实数的取值范围.5. 若幂函数的定义域为，则实数的值为 6. 点都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是.又在轴上的射影分别为，记的面积为，的面积为.（1）求和的表达式；（2）比较和的大小，并证明你的结论.四、函数的应用（一）函数与方程1. 求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解类比上述解题思路，方程的解集为 1，2解：（*）构造函数，易得函数在定义域R上单调递增，则（*）式方程可写为2. 已知不等式ax25xb0的解集为x|3x

30、2，求不等式6x25xa0的解集3. 关于x的不等式ax2bx2< 0的解集是（，）（，），求ab的值4. 对零点存在性判别定理的若干思考：思考1：能否对定理进行加强？思考2：能否去掉“不间断”一词？思考3：定理的逆命题是否成立？思考4：定理能判断零点个数吗？5. 若方程有两个零点，则的取值范围为_变式：函数的零点个数为 6. 已知关于x的方程（1）有一正根，一负根，求k的取值范围？（2）若一根大于1，一根小于1，求k的取值范围？变式1：若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围.变式2：函数y = f (x) = x2 ax + 2在(0，3)内， 有2个零点. 有1个零点，求a的取值范围.7. 用二分法求方程在区间2，3内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是_8. 已知方程根在