理论力学动力学new

1、第三篇动力学第三篇动力学 本篇重点本篇重点：动力学普遍定理（三大定理）；达朗贝尔原理（动静法）；虚位移原理 本篇难点本篇难点：动力学普遍定理的综合应用；虚位移原理的有关概念3-1 动力学基础 动力学基本定律：动力学基本定律：牛顿三大定律 （惯性定律、力与加速度之间的关系定律、作用与反作用定律） 质点运动微分方程质点运动微分方程 即牛二定律的微分形式：矢径式直角坐标式自然坐标式任一质点系的质心任一质点系的质心 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量:刚体对z 轴的转动惯量转动惯量：(设刚体对轴的转动惯量为 ，质量为m，则由式定义的长度 ，称为刚体对轴z的回转半径。 )

2、连续体表达式：直角坐标下刚体对(z)轴的转动惯量转动惯量此时连续体表达式：其中z是刚体对(z)轴的回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径）ZImIzz刚体对点的转动惯量刚体对点的转动惯量连续体写法：可证：对平板：平行轴定理平行轴定理 2. 组合法组合法 3. 实验法实验法均质细长杆：均质圆盘：利用平行轴定理和 来求。对挖去部分，可令其转动惯量为负。刚体转动惯量的求法刚体转动惯量的求法 1. 直接积分法直接积分法常见规则图形刚体的转动惯量：常见规则图形刚体的转动惯量：3-2 动力学普遍原理（动能定理）动力学普遍原理（动能定理）动能：动能：描述物体（整体）机械运动强度的量。质点质点动能 质点系质点

3、系动能 平动刚体平动刚体动能 转动刚体转动刚体动能 平面运动刚体平面运动刚体 对任意质点系，应用速度合成定理对任意质点系，应用速度合成定理质系动能随动系(质心)平动动能相对动系(质心)之相对动能质系动能 随质心平动动能相对质心之转动动能 功功的一般表达式的一般表达式元功：功：dsFdsFrdFWcos 质点的动能定理质点的动能定理牛二定律动能定理的积分形式(有限形式)动能定理的微分形式质点系的动能定理质点系的动能定理求和，有微分形式积分形式势能、机械能守恒定律在普通物理中论述较多，此略。势能、机械能守恒定律在普通物理中论述较多，此略。例例 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中

4、心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止) 解解：取系统为研究对象 01T222221 2121BCAOIvgQIT)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(8动能定理动能定理便于解平动、转动两者兼有的问题。注意问题：注意问题：动能是一标量其永远为正值，功是一代数量，它有正负，因此必须正确判断

5、其正负号，并分清哪些力做功、哪些不做功。重力之功仅与始末位置有关而与路径无关；弹性力之功只与始末位置弹簧形变有关。记住常见力做功和刚体平动、转动等时具有的动能计算。3-3 动力学普遍原理（动量定理） 质点的动量质点的动量: 质点系的动量质点系的动量 力的冲量：力的冲量：力在时间上的积累效应常力：任意力：元冲量，合力的冲量： tFIdtFIdtdtFI0作用时间t内：iIIvMPciivMvMP内力的冲量内力的冲量恒为零动量定理动量定理 质点的动量定理质点的动量定理 Idvmd)(Ivmvm12牛二定律动量定理的积分形式动量定理的微分形式 质点系的动量定理质点系的动量定理)(12)(,eieIP

6、PdtFPd微分形式积分形式质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 若：若： 0)(eiF常量则21PP 0)(eixF常量则xPP21x质心运动定理质心运动定理 质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。质心运动定理 形式与牛二定律（动力学基本方程）相同，但含义不同；适于任意质点系； ， 动量定理微分形式:质心运动定理注：注：此定理与动量定理完全等价，都反映质系随质心平动部分与所受外力主矢之间的关系，但形式和所用物理量不同。质心运动定理已不再使用动量和冲量的概念；对刚体系,由于表示每个刚体的质量和质心的加速度，则质心运动定理又可写为质心运动守恒质心运动守恒质心运动定理质心运动定理：

7、质点系质心位置不变质点系质心位置不变质点系质心运动守恒质点系质心运动守恒例 已知：如图所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转子质量为m2，由于制造或安装是的偏差, 转子质心O2不在转轴中心上，偏心距 O1O2=e。转子以等角速度 转动，试求电动机机座的约束力。 解：1 研究对象：电动机整体 2. 分析受力（如图示） 分析运动：定子不动 ； 转子作匀速圆周运动，其法线加速度 011OOyx 22eanO列动力学方程求解： ixixiFamxFtemmcos0221iyiyiFamgmmFtemmy21221sin0temFxcos22te

8、mgmmFysin2221本例也可以选用质心运动定理求解。 在图中，因为定子不动，故是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公式： 212cosmmtemxc212sinmmtemyc2122cosmmtemxc 则：2122sinmmtemyc 由质心运动定理： ixcFxm xFmmtemmm212221cosiycFym gmmFmmtemmmy21212221sin得到同样结果运用动量定理解题有以下几点情况：（1)已知研究对象所受的力，求它的运动方程、位移、速度和加速度等。（2）已知研究对象的运动状态，求它所受的力。注意事项：注意质点系的动量的计算，是各质点动量的矢量和，当质心速度已知时可以

9、用Mvc直接求。运用质心运动定理，应先列出质心的坐标公式，再用求导的方法求出质心速度和加速度。会判断动量定理的守恒条件，当条件满足时，使用守恒定理确定质点系中各部分运动的关系。1.质点系动量的变化仅与质点系所受外力有关与内力无关。3-4 动力学普遍原理（动量矩定理） 质点的动量矩质点的动量矩含义：质点相对某点“转动”运动强度。瞬时量。 2.对轴Z： 1.对定点：表征质系相对定点O点“转动”运动强度的量。3. 对定点O与对轴Z动量矩的关系：ZoZvmMvmM)()(hmvmvMvmMxyxyoZ)()()(vmrvmMo)( ： 1. 平动刚体的动量矩:刚体的动量矩刚体的动量矩2.定轴转动刚体的

10、动量矩（角动量）3. 平面运动刚体的动量矩对质心C：对定点O：动量矩定理动量矩定理质点的动量矩定理：质点系的动量矩定理 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 质点：若MO(F)=0, 则MO（mv）常矢量 质点系：)()(FMvmMdtdoo)()(eiooFMLdtd常矢量则OeiOLFM, 0)(两者对某一轴也成立刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 )(.FMIZZ题目类型：题目类型：直接运用动量矩定理解决质点和质点系的动力学问题；定轴转动微分方程的应用；动量矩守恒的运用；3-5分析力系基础分析力系基础一、一、 约束约束 约束的运动学分类约束的运动学分类 静力学中讲的约束静力学中讲的约束约束

11、的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示（R），常指物体；此处讲的约束此处讲的约束约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示,指运动限制条件。1、约束和约束方程、约束和约束方程自由质点系：自由质点系：运动不受任何限制。非自由质点系非自由质点系:限制条件用数学方程表示即约束方程即约束方程运动受到限制3-5-1、基本概念、基本概念2、约束的分类 双面约束和单面约束（不可解约束和可解约束） 几何约束和运动约束（完整约束和非完整约束） 稳定约束和不稳定约束 约束方程不含t和含t之别2222Rzyx2222Rzyx0),(, 0),(tzyxfzyxf或0),(.tzyxzyxf我们遇到的一

12、般是完整、定常、几何、双面约束（或具有双面约束性质的单面约束），其约束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示。此处只讨论上述情形。二、自由度和广义坐标自由度：为描述一个具有完整约束的力学体系的位置所需要的独立坐标数目。 1个自由质点在空间：3个自由度 n个自由质点在空间：3n个 n个质点受到k个约束：3n-k个自由度2. 广义坐标1. q1,q2,q3, 三、实位移和虚位移 理解虚位移有4个要点：为约束所容许，即不能破坏系统的约束可能发生的，即假想的，与时间无关所有的，可不止一种；无限小，不改变系统位置。3-5-2、虚功原理虚功原理一、虚功、理想约束的概念 虚功 理想约束（理想化模型、科学的抽

13、象） （光滑面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等）rFwniiirR10二、虚功原理 具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是，所有作用于质点系上的主动力主动力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。解题步骤：1、建立坐标系，写出各主动力的矢量式及其作用点的位矢；2、代入虚功原理方程中；3、当作用于力学体系上的主动力为保守力，则虚功原理为：4、解得结果。 0V 已知：图15。7所示，长度均为 的杆AB和BC在B点用光滑铰链连接，又在杆的D和E两点连一弹簧，设BD=NE=b。弹簧的刚性系数为c，当 时，弹簧拉力为零，杆重不计。求：在c点的作用一水平力 ，杆系处于

14、平衡时， d=？ laAC FAC例例：解：解：建立坐标系，分析主动力 ，其中 为弹性力，在图示位置时，其大小为 （ 弹簧原长， 图示长度）由 得 ),(21NFFF21FF)(021rrcFF0rrdrlbar0albr 0dlbr )(21adlcbFF从而(1)cos)(blxDcos)(blxEcos2lxCsin)(blxDsin)(blxEsin2lxC由虚功原理求解得：0)(ziiziiyiixFyFxF0)sin2(sin)()(sin)(21lFblFblF(2)(1)代入(2)式，且考虑 的独立性得，2)(blcFadAC3-5-3、达朗伯原理（化动为静）、达朗伯原理（化动为静） 00GioioGiiFMFMFFF包括主动力、约束力，但不包括内力。0GFRF主质点：质点系质点系 ：3-7 动力学专题（单自