数学前沿知识讲座2014

1、数学与图像信息处理数学与图像信息处理李维国李维国中国石油大学（华东）理学院中国石油大学（华东）理学院计算数学系计算数学系了解数学 研究数学数学是什么？数学是什么？维基百科维基百科数学数学是研究数量数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的定理。 经典与现代数学n高斯称数学为“科学之母”。n一些研究应用数学的数学家觉得他们是科学家，而那些研究纯数学的数学家则时常觉得他们是在一门较接近逻辑的领域内工作，且因此基本上是个哲学家

2、。许多数学家认为称他们的工作是一种科学，是低估了其美学方面的重要性 。n有人称：数学是“最能守持古典精神”的科学。现代科学称某些数学方法为“数学技术”，数学“屈尊”为之服务。法国法国-德国德国-美国美国: 世界数学中心的转移世界数学中心的转移 n19世纪末，世界数学中心在法国，庞加莱是首屈一指的权威，是高斯和柯西之后无可争辩的数学大师庞加莱是一个数学的“万能者”，可以说是能对数学的所有分支(纯粹数学和应用数学)都作出贡献的最后一个人（战争和狭窄的研究领域）n从1900年到1933年，数学的中心是德国（哥廷根数学学派）。代表人物：克莱因、希尔伯特。n此后，美国成为世界数学中心。(俄罗斯是当今的又

3、一数学大国。还有波兰、日本等)n21世纪中国和印度数学将称雄世界。n1933年希特勒上台，使得一些主要数学家移居美国列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单：n爱因斯坦(18791955，伟大的物理学家)弗兰克(JFranck，188219641925年获诺贝尔物理学奖) 冯诺依曼(19031957，20世纪杰出数学家之一)柯朗(18881972，哥廷根数学研究所负责人)哥德尔(19061976，数理逻辑学家)诺特(18821935，抽象代数奠基人之一)费勒(WFeller，19061970，随机过程论的创始人之一)阿廷(18961962，抽象代数奠基人之一)

4、费里德里希(KFriedrichs，19011983，应用数学家)外尔(18851955，20世纪杰出的数学家之一)德恩(18781952，希尔伯特第3问题解决者)此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)法国法国-德国德国-美国美国: 世界数学中心的转移世界数学中心的转移 数学分类情况数学分类情况 n1980s 中国数学中国数学: 五个二级学科五个二级学科n 基础数学，应用数学，计算数学，基础数学，应用数学，计算数学， 概率统计，运筹控制概率统计，运筹控制n 国外数学国外数学

5、: 纯粹数学纯粹数学(pure)，n 应用数学应用数学 (applied) ，n 统计统计 (statistics) n1990s 本科分三类本科分三类:n数学与应用数学，统计学，信息与计算科学数学与应用数学，统计学，信息与计算科学n数理基础科学数理基础科学 （新）n研究生研究生: 同上五个二级学科同上五个二级学科 n应用数学主要是数学模型应用数学主要是数学模型(model) n计算数学主要是算法计算数学主要是算法 (algorithm) 著名计算物理学家，诺贝尔奖获得者著名计算物理学家，诺贝尔奖获得者WilsonWilson教授在教授在2020世纪世纪8080年代就指出：年代就指出： 科学工

6、程计算科学工程计算应用应用问题问题数学数学模型模型计算计算方法方法建模建模计算计算Validation Verification算法算法软件软件?高性能科学计算研究高性能科学计算研究并行自适应方法并行自适应方法保结构算法保结构算法并行自适应并行自适应支撑软件框架支撑软件框架及核心应用程序及核心应用程序千万自由度三维多介质千万自由度三维多介质大变形流体力学数值模拟大变形流体力学数值模拟千万自由度千万自由度完整气候系统模式的算法完整气候系统模式的算法处理几百上千个原子处理几百上千个原子的实空间第一原理计算方法的实空间第一原理计算方法材料多物理多尺度耦合模型材料多物理多尺度耦合模型及其计算方法及其计

7、算方法共性问题共性问题应用数学小分支图像处理n图像图像(Image)：用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用人眼并进而产生视知觉的实体。（清华大学章毓晋）一维信号电压流量txy二维图像n常用的图像之一是灰度图，这时f表示灰度值。对可见光，灰度值对应于观测的亮度。n日常所见图像是连续的，即f,x,y的值可以是任意实数。为了能用计算机对图像进行加工，需要把连续的图像在坐标空间XY和性质空间F都离散化。这种离散化了的图像就是数字图像。nRGB模型nHIS模型n H: hue 色相n S: saturation 饱和度n I: intensity 强度，明度RGB模型连

8、续观点：灰度图像f(x,y)，彩色图像TyxfyxfyxfyxF),(),(),(),(321图像处理（图像处理（Image Processing）nNoise and denoise（去噪）nDefocus and blur, and deblurring（去模糊）nMissing data and inpaiting (interpolation)（修复或修补）nSegmentation（分割）nRegistration, data compression, motion detection, etc.（配准、数据压缩、运动检测）nContrast Enhancement（对比增强）Den

9、oisingDeblurMissing dataAutomatic inpaintingMissing Data and InpaintingSegmentation（分割）Initial contourTarget objectis segmented 应用广泛(I) Broad applications in a variety of important fieldsnAstronomical Observation and Space Exploration（天文观察/空间探测）nImages from the Hubble TelescopenImages from the surfa

10、ce of MarsnMedical and Health Care（医疗与健康服务）nImaging technologies: CT, PET, NMR (2003 Nobel Prize in Medicine)nAutomatic surgeries, design & manufacturing of artificial tissuesnAbnormality detection and monitoring (such as tumors and bad tissues)nBrain imaging and functional mappingnAcquisition a

11、nd analysis of gene microarrays.nSecurity, Identity, and Identification（安检保卫与鉴别）nFBI fingerprint storage and processing (Wavelets) retina image next?nAirport security checkpoints: Are human observers reliable and efficient?nSurveillance cameras & videos应用广泛(II)nHuman and Machine Vision（人机视频）nMod

12、el and interpret how WE (human) see (vision psychology)nUnderstand the psychophysics of the human vision systemnDesign and manufacture vision recovery devices (for partially blind people)n(And ultimately) create THE robot that can SEE like us, or better than usnMilitary（军事）nAutomatic piloting and gr

13、ound image reading for terrain mapping.nTarget identification, and dynamic trackingnRobust night visionnInternet and Telecommunication（网络与通讯）nNext generation of search engines: Image Searching (not Gooooooogles)nEfficient and high-quality wireless image/video transmissionnJPEG2000 (wavelets) and ima

14、ge and data compression使用大量的数学工具nDifferential Geometry (2, 3-D, curvatures, geodesic flows)nComputational TopologynInverse Problems & Regularization Theory.nLinear and Nonlinear Optimization ProblemsnStatistical Mechanics (Ising model, Gibbs law, renormalization)nApplied and Computational Harmon

15、ic Analysis (wavelets+Fourier)nBayesian and Statistical Methods (decision theory, Monte-Carlo)nInvariant Theory (what do we mean by features and patterns?)nLearning Theory (new in mathematics)nGeometric Measure Theory (minimum surfaces and BV)nFunctional Analysis and Calculus of VariationnFree Bound

16、ary Problems (e.g., the Mumford-Shah model)nPartial Diff Equations (geometric, nonlinear, viscosity, etc) nComputational Mathematics数学在其中所起到的桥梁桥梁作用nMathematical Modeling（数学建模）nVision phenomena (hundreds of years of psychological results)nApplication motivated modeling (medical, astronomical, etc)nSt

17、atic (or near equilibrium) vs. dynamic modelsnDeterministic vs. stochastic modelsnContinuous vs. discrete (or combinatorial) modelsnMathematical Analysis（数学分析）nExistence and uniquenessnRegular or singular perturbationsnParameter and stability analysisnTime-frequency or spectra-space or scale-space analysisnComputation and Algorithms（算法设计与计算）nDeterministic: CFD, PDE, numerical Lin Alg, multigrid, dyn. program.nStochastic: Monte-Carlo, simulated annealing, EM algorithm图像恢复模型示意图n退化模型示意图f(x,y)h+g(x,y)n(x,y)退化过程 h f g恢复过程 h(-1) g f图像恢复是不适定的反问题 （ill-pos