复变函数(第四版)课件--章节3.2

1、3.2 3.2 复变函数积分的重要定理一一 Cauchy-Goursat定理定理二二 复合闭路变形原理复合闭路变形原理三三 Newton-Libnize公式公式四四 Cauchy积分公式积分公式五五 高阶导数公式高阶导数公式六六 总结总结 七七 作业习题作业习题引言：积分与路径无关的刻画在单连通区域在单连通区域D内，积分内，积分 与路径与路径L无关的充分必要条件是无关的充分必要条件是：0)(,CdzzfC 都有闭合曲线Ldzzf)(DCL,其中1Cauchy-Goursat定理柯西-古萨定理0f(z)dzDCDf(z)C 则内任一为内解析，通域在如果闭闭合合曲曲线线单单 xyyxvu,vuiv

2、,uf(z) 所以所以证明：解析函数证明：解析函数零。零。在闭合曲线上积分都为在闭合曲线上积分都为都与路径无关，都与路径无关，所以该积分的实部虚部所以该积分的实部虚部 CCCudyvdxvdyudxf(z)dzi0f(z)dzC 例例1 1解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西根据柯西-古萨定理古萨定理, 有有 1. 0d321zzz例例2 2 解解 : C ,zdz C曲线曲线平面上任意闭计算 函数函数z在在C内处处解析，内处处解析，根据柯西根据柯西- -古萨定理古萨定理, ,有有0zdz C例例3 3.dz1z1 1iz2计算积分

3、解解,iz1iz12i11z12 解析, 1iz 在 iz1 因根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 1211izdzz 1iz1izdziz1dziz12i12ii20dziz12i11iz 二 复合闭路变形原理 柯西古萨定理的推广柯西古萨定理的推广 当闭合曲线内部包围被当闭合曲线内部包围被积函数的奇点，该积分通常不为零，积函数的奇点，该积分通常不为零，但仍有一定的规律可以研究。但仍有一定的规律可以研究。1 1 闭路变形原理闭路变形原理2 2 复合闭路变形原理复合闭路变形原理1 闭路变形原理闭路变形原理灰灰色色为为奇奇点点，内内解解析析在在多多连连通通域域：设设函函数数 , 1D)z(f )

4、,( 2 1逆时针方向为正逆时针方向为正曲线曲线内的任意两条简单闭内的任意两条简单闭为为（紫色）（紫色）（深蓝色）及（深蓝色）及：DCC.DDCC（浅蓝色）全含于（浅蓝色）全含于为边界的区域为边界的区域及及以以： 311DC1C1D 1CCdz)z(fdz)z(f则则本定理直观意义为本定理直观意义为函数沿闭曲线积分函数沿闭曲线积分, , 闭曲线在区闭曲线在区域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变。域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变。DC1C1D 负负向向正正向向与与的的边边界界，方方向向为为区区域域，合合闭闭曲曲线线两两条条闭闭曲曲线线看看成成一一条条复复和和如如果果把把111CCDC

5、C ), , 的左手边的左手边的内部总在的内部总在的正向进行时的正向进行时即沿即沿(.dz)z(fdz)z(fdz)z(fCC0 1 .dz)z(f0 即可看作柯西即可看作柯西-古萨定理的推广古萨定理的推广2 复合闭路变形原理复合闭路变形原理称称C+C1- +C2- +Cn-为复围为复围线线,记为记为 ，包围着，包围着绿色绿色复连复连通通区域区域D。DC1C2C3CnC函数函数f(z)在绿色复连通区域在绿色复连通区域D解析，解析，紫色阴影是函数紫色阴影是函数的奇点。的奇点。 设设C为简单闭曲线，为简单闭曲线，Ci(i=1,2n )是在是在C内部的简单闭内部的简单闭曲线，互不相交互不包含，曲线，

6、互不相交互不包含，C的内部与的内部与 诸诸Ci的外部围的外部围成绿色复连通区域成绿色复连通区域DDC1C2C3CnC.dz)z(f0 .dz)z(fdz)z(fnkCCk 1 0 1 nkCCkdz)z(fdz)z(f则成立则成立: : 本定理直观意义为本定理直观意义为函数沿闭曲线积分函数沿闭曲线积分, , 闭曲线闭曲线作连续变形而不经过奇点，作连续变形而不经过奇点，可以断裂为多段闭曲线，而可以断裂为多段闭曲线，而积分值不变。可看作柯西古积分值不变。可看作柯西古萨定理的推广萨定理的推广解解221 d , 1 . Czz Czzz 计计算算积积分分为为包包含含圆圆周周在在内内的的任任何何正正向向

7、简简单单闭闭曲曲线线, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1CC也也包包含含这这两两个个奇奇点点，例例412 C ,CC在在内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的圆圆周周和和 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点根据复合闭路定理根据复合闭路定理1C2C12:+CCC 则则构构成成复复周周线线xyo 1 1C2C221dCzzzz 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 iii4 1 d ,

8、, () .nCzCazan 求求为为含含的的任任一一简简单单闭闭路路为为整整数数例例5解解 , 内部内部在曲线在曲线因为因为 a a , 故可取很小的正数故可取很小的正数1 C : , za 使使含含在在内内部部1C11 (),nCCza 在在以以为为边边界界的的复复连连通通域域内内处处处处解解析析由复合闭路定理由复合闭路定理,111dd()()nnCCzzzaza a 1C2,11 d()0,1.nCinzzan 故故2,10,1.inn 三 Newton-Libnize公式1 1 原函数原函数2 2不定积分不定积分3 3变上限函数变上限函数4 4Newton-Newton-Libnize

9、Libnize公式公式(N-L)(N-L)1 原函数定义 的的原原函函数数是是则则称称内内，在在单单连连通通区区域域)z(f)z(F),z(f)z( FD 任任意意两两个个相相差差常常数数，的的原原函函数数有有无无穷穷多多个个，显显然然)(zfC)z(G)z(F,)z(G)z(F(),z(f)z( G),z(f)z( F 即即则则若若0为为任任意意实实常常数数的的全全体体原原函函数数是是所所以以CCzFzf,)()( 2 不定积分定义f(zf(z) )的全部原函数称为的全部原函数称为f(zf(z) )的不定积分，的不定积分，记为：记为：例如：例如：C)z(Fdz)z(f ,Cztanztanz

10、dtanzdzsecztan,Czcoszdzsin,Cedzezz 222221213 变上限函数 ( ) , ( )d . Cf zDf zzC 如如果果函函数数在在单单连连通通域域内内处处处处解解析析那那末末积积分分与与连连结结起起点点及及终终点点的的路路线线无无关关。的的函函数数有有关关，记记为为于于该该积积分分与与路路径径无无关关，令令)z(Fzz,d)(f)z(Fzz 0的某一个原函数。的某一个原函数。是是即即可以证明：可以证明：仿照微积分课程方法，仿照微积分课程方法，)()().()( zfzFzfzF 4 Newton-Newton-LibnizeLibnize公式(N-L(N

11、-L公式) ) zzdf0)(任任意意一一个个原原函函数数。的的是是设设令令解解析析，在在单单连连通通区区域域)()(,)()(,)(zfzGdfzFDzzDzfzz 00)()(CzFCzF 0zzzGzGzG00)()()( )()(0zFzF 例例6 6. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 凑微分法，第一换元法凑微分法，第一换元法例例8 8. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsinizii0cossin . 11

12、 e1 iiicossin分部积分法分部积分法. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的值的值求求内的圆弧内的圆弧试沿区域试沿区域 izzzzzz例例9 9解解 , 1)1ln( 在所设区域内解析在所设区域内解析函数函数 zz ,2)1(ln 2 z它的一个原函数为它的一个原函数为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln .82ln2ln833222i 定理 设函数 f(z) 在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则四四 Cauchy积分公式)()()()(0000221zfidzzzzfdzzzzfizfCC )()(002

13、zfidzzzzfC 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在数在C内有一个奇点内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析该奇点在被积函数解析式的分母。式的分母。 .,)(000,2d1 010nnizzzrzzn此经典例题是柯西积分公式的特例，此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1 iidzzzCauchyz2222 sinsin|积分公式积分公式解：由解：由例例1010 |sinzdzzz2计算计算五五 高阶导数公式高阶导数公式 定理 设函数 f(z) 在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则f

14、(z)的导函数仍为解析函数，f(z)的n阶导数为,!)()()()()(!)()()(2122010100 nnzfidzzzzfdzzzzfinzfnCnCnn 第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在数在 C 内有一个奇点内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解，该奇点在被积函数解析式的分母。析式的分母。!)()()()(nzfidzzzzfnCn0102 高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。时的情形。等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。的系数。例 11124215125izidzzzznz !|)(cos)(cos)(|解解： 251|)(coszdzzz计计算算 例例12 122122222111|)()()(izzizzzzdzzedzzedzze解解：)sin()()!()()!()()/()()/(|412212112212222122122 ieieiizeiizeidzizizedzizizeiiizzizzizzizz 2221|)(zzdzz