大学物理运动守恒定律

1、第三章运动的守恒定律第三章运动的守恒定律(The Laws of Conservation of Motion)3.1 3.1 保守力保守力 (Conservative Force)1.几种力的功几种力的功本章内容本章内容： 机械能守恒定律机械能守恒定律动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律由牛律导出，但比牛律适用范围更广，由牛律导出，但比牛律适用范围更广，是自然界的基本定律是自然界的基本定律.(1)弹性力的功弹性力的功特点特点：A取决于物体的始末位置取决于物体的始末位置xb bO OxaX XLxdxFAbaxxkxdx221221bakxkx xaxb b , ,(2)(2)

2、重力的功重力的功O OX XY YhahbLydyFAbahhmgdybamghmgh hahb b , ,特点特点：A取决于物体的始末位置取决于物体的始末位置(3)(3)万有引力的功万有引力的功)()(2barrrGMmrGMmdrrGMmdAAbardrrGMmrdFdA3rdr)(221rdrdr)(21rrd其中其中rrdarbrmM特点特点：A取决于物体的始末位置取决于物体的始末位置系统内力总是成对出现系统内力总是成对出现2121222211)(rfrrfrfrfA一对力所做的功，等于一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的沿两个物体相对移动的

3、路径所做的功。路径所做的功。OA1A2B1B2r1r2r211ff2r1r22、一对力（、一对力（作用力与反作用力）作用力与反作用力）的功的功 由于由于 及相对位及相对位移移 不随参考系而变化，故不随参考系而变化，故任何一对作用力和反作用力所任何一对作用力和反作用力所作的总功与参考系的选择无关。作的总功与参考系的选择无关。）（或或12FFrd 一对力的功的特点一对力的功的特点：前述弹性力、重力、万有引力的功前述弹性力、重力、万有引力的功,实际上都等于各自的一对力的总功实际上都等于各自的一对力的总功.3.保守力保守力定义定义：如果一对作用反作用力的功，只如果一对作用反作用力的功，只决定于两质点的

4、始末相对位置，而决定于两质点的始末相对位置，而与相对路径的形状无关，则称这一与相对路径的形状无关，则称这一对力为保守力对力为保守力Note:另一种表述另一种表述： 如果一对作用反作用力如果一对作用反作用力,沿任沿任意闭合的相对路径所做的功为意闭合的相对路径所做的功为零零,则称这一对力为保守力则称这一对力为保守力.1L2L21LLrdFrdF2LrdF021LLrdFrdF0LrdF等价性等价性：常见保守力常见保守力：弹性力弹性力,重力重力,万有引力万有引力,库仑力库仑力.常见非保守力常见非保守力(耗散力耗散力)：摩擦力摩擦力3.2 势能势能 (Potential Energy)保守力的功保守力

5、的功取决于质点的始末取决于质点的始末相对位置相对位置 可用可用相对相对位置的函数来表征位置的函数来表征 势能势能(函数函数).1.定义：定义：Aab=Epa-Epb= Ep保守力的功等于系统势能的减少：保守力的功等于系统势能的减少：选择选择势能零点势能零点 各点势能值各点势能值e.g.选择选择 Epc=0则有则有 Epa=Epa-Epc=AaccardF即：任一点处的势能等于保守力从该点到即：任一点处的势能等于保守力从该点到势能零点处的线积分势能零点处的线积分.势能值依赖于势能零点的选择势能值依赖于势能零点的选择：bcbacardFrdFrdF势能与保守力做功相关，势能与保守力做功相关，它属于

6、产它属于产生保守力的整个系统生保守力的整个系统Note:2.几种势能几种势能(1)弹性势能弹性势能设弹簧原长处设弹簧原长处Ep=0，则有，则有221kxEP弹性系数弹性系数(倔强系数倔强系数)弹簧的伸长量弹簧的伸长量 思考思考 设设 则则,00 xxpE?xpE(2)重力势能重力势能设设 h=0处处Ep=0，则有，则有 EP = mgh(3)万有引力势能万有引力势能设设 r处处Ep=0，则有，则有rGMmEP 思考思考 设设 则则,00rrpE?rpE例例3-13-1质量为质量为m的质点在指向圆心的力的质点在指向圆心的力F=k/rF=k/r2 2的作用下，作半径为的作用下，作半径为r r的圆周

7、运动，若的圆周运动，若取取E EP P =0=0，则系统的机械能，则系统的机械能E= E= . .解：解：rvmrk22牛牛rkmvEk2221rkdrrkErp2又又rkEEEpk2于是于是思考思考:该力该力为什么是保为什么是保守力守力？rrFF)(3.3 3.3 机械能守恒定律机械能守恒定律 (The Law of Conservation of Mechanical Energy) 1.质点系的动能定理质点系的动能定理来历来历：将质点的动能定理将质点的动能定理应用于应用于系统中各系统中各质点，再求和质点，再求和kextEAAint所有外力所有外力做的功做的功所有内力所有内力做的功做的功系

8、统总动能系统总动能的增量的增量externalinternal2.功能原理功能原理)(pknonextEEAA来历来历：)(intpnonconnonEAAAA其中其中所有外力所有外力做的功做的功所有非保守所有非保守内力做的功内力做的功系统机械能系统机械能的增量的增量kextEAAint系统的动能定理：系统的动能定理：于是于是 nonconservative3.机械能守恒定律机械能守恒定律动能定理、功能原理和机械能守动能定理、功能原理和机械能守恒定律都只是在惯性系中成立恒定律都只是在惯性系中成立能量守恒定律能量守恒定律：一个孤立系统经历一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的任何变化时，

9、该系统的所有能量的总和是不变的总和是不变的机械能守恒定律只是能量守恒定机械能守恒定律只是能量守恒定律的一个特例律的一个特例0nonextAA若若.constEEpk则则Notes:3.4 3.4 动量守恒定律动量守恒定律 (The Law of Conservation of Momentum) PddtFext1.质点系的动量定理质点系的动量定理系统所受合外力系统所受合外力的冲量的冲量系统总动量系统总动量的增量的增量内力的作用可以改变系统的总动内力的作用可以改变系统的总动能能, ,但却不能改变系统的总动量但却不能改变系统的总动量! !Attention:2.动量守恒定律动量守恒定律对于质点系

10、，若对于质点系，若0extF则则.constP 动量定理和动量守恒定律也只是在动量定理和动量守恒定律也只是在惯性系中成立惯性系中成立Notes:分量形式：分量形式：若若0,xextF则则.constPxe.g.在某些情形在某些情形(碰撞、爆炸、子弹射碰撞、爆炸、子弹射入等入等),可忽略外力影响可忽略外力影响,取取.constP 解：解：A AB B系统，在水平面内有系统，在水平面内有.constP vmBvmBvmA 如图，如图，21/vvtg6 .26例例3-23-2 光滑水平面上有两个小球光滑水平面上有两个小球A A和和B B，A A静止，静止，B B以速度以速度 和和A A碰撞碰后，碰撞

11、碰后，B B的速度大的速度大小为小为 ，方向与，方向与 垂直，求碰后垂直，求碰后A A球球的运动方向的运动方向vv2/ v解：解： (1)(1)船砂袋系统，船砂袋系统，P P水平水平=const.=const. mv0=(m+M)v v = mv0/(m+M)例例3-33-3质量为质量为M的船静止的船静止. . 现以水平速度现以水平速度 将一质量为将一质量为m的砂袋抛到船上，此后两的砂袋抛到船上，此后两者一起运动者一起运动. . 设阻力与速率成正比，设阻力与速率成正比，比例系数为比例系数为k，试求：，试求：(1)(1)两者一起开两者一起开始运动的速率；始运动的速率；(2)(2)从开始运动到停止

12、从开始运动到停止时所走过的距离时所走过的距离. .0v(2)(2)牛牛：-kv=(m+M)dv/dt00vSdvdxMmkkmvS/0dxdtdvMmkvdx)(思考思考系统在碰撞前后动能是否改变系统在碰撞前后动能是否改变？原？原因是什么？因是什么？ v(t)=? x(t)=?)1 ()(,)(00tmMktmMkekmvtxemMmvtv3.5 3.5 质心质心 (The Center of Mass) 1.定义定义质心：质心：质点系中一个特殊的点，其位矢为质点系中一个特殊的点，其位矢为Mrmriiic第第i i个质点的位矢个质点的位矢ir质点系的总质量质点系的总质量iimM第第i i个质点

13、的质量个质点的质量imimx xy yz zO OircrC C质心坐标质心坐标：Mxmxiiic质心位置取决于系统的质量分布质心位置取决于系统的质量分布.质心位置与系统的几何对称性质心位置与系统的几何对称性 (中中心对称、轴对称、平面对称心对称、轴对称、平面对称)有关有关.将系统任意分为两部分，则系统将系统任意分为两部分，则系统质心在这两部分质心的连线上质心在这两部分质心的连线上.Notes:3.6 3.6 角动量守恒定律角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum) 角动量角动量通常在转动情形涉及通常在转动情形涉及1.1.质点对固

14、定点的角动量质点对固定点的角动量定义定义：PrLOPrr质点对质点对O点的点的角动量角动量质点对质点对O点的点的位矢位矢质点的质点的动量动量方向：右手螺旋规则方向：右手螺旋规则大小：大小：prL又称又称动量矩动量矩(moment of momentum)LSI unit: kg m2/s or J s质点作直线运动质点作直线运动对对O点，点，0LOO d dvmr对对O 点，点，L大小：大小：mvd方向：方向： 圆周运动圆周运动e.g.方向：方向：右手螺旋规则右手螺旋规则对圆心，对圆心，L大小：大小：mvR2.力对固定点的力矩力对固定点的力矩OFrr定义定义：FrM大小：大小：Fr方向：右手螺

15、旋规则方向：右手螺旋规则3.质点的角动量定理质点的角动量定理dtLdMM质点所受的对某质点所受的对某一点的合力矩一点的合力矩L质点对同一点的质点对同一点的角动量角动量(证明证明See p.152)力对力对O点的点的力矩力矩F4.4.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律对一质点，对一质点，若若0M则则.constL (1)角动量定理和角动量守恒定律也角动量定理和角动量守恒定律也只是在惯性系中成立只是在惯性系中成立思考：思考：卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球在卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的动能、动量、椭圆的一个焦点上，则卫星的动能、动量、角动量是否守恒？角动量是否守恒

16、？(只有角动量守恒只有角动量守恒!)Notes:(2)质点在有心力场质点在有心力场 中运中运动，其角动量守恒动，其角动量守恒)(rrFF例例3-43-4O OX XY YrvF解：解：(1) (1) ，方向：沿，方向：沿Z Z轴正向轴正向vmrLsmkgmvrL/12)180sin(2smkgkL/122(2) (2) ，方向：沿，方向：沿Z Z轴正向轴正向FrMmNFrM3sinmNkM3质点质量质点质量m=2kg,=2kg,位矢位矢 , ,速速度度 , ,受力受力 , ,且且r=3m, , v=4m/s,F=2N,F=2N, = = =30=30 , ,则则质点对质点对O O点的角动量为点

17、的角动量为, ,力力 对对O O点的力矩为点的力矩为 . .rvFF例例3-53-5R RL L1 1L L2 2A A1 1A A2 2卫星沿椭圆轨道运动卫星沿椭圆轨道运动. .已已知地球半径知地球半径R=6378R=6378km, , L L1 1=439=439km,L,L2 2=2384=2384km. .若卫星在若卫星在A A1 1处的速度处的速度V V1 1=8.=8.1km/s，则卫星在，则卫星在A A2 2处的速度处的速度V V2 2= = . .解：解： 卫星对地球中心点的角动量守恒卫星对地球中心点的角动量守恒. .A A1 1处处, ,角动量大小：角动量大小：mV1(R+L

18、1)A A2 2处处, ,角动量大小：角动量大小：mV2(R+L2)于是于是 V2= V1(R+L1)/(R+L2)= 6.3 km/s3.7 3.7 守恒定律与对称性的关系守恒定律与对称性的关系 (Relation Between Laws of Conservation and Symmetries) 1.1.守恒定律是自然界的普遍定律，即使在牛守恒定律是自然界的普遍定律，即使在牛顿定律不适用的情形，它们也保持正确顿定律不适用的情形，它们也保持正确2.2.守恒定律与系统的时空对称性相关联守恒定律与系统的时空对称性相关联. .能量守恒能量守恒时间平移对称性时间平移对称性动量守恒动量守恒空间平

19、移对称性空间平移对称性角动量守恒角动量守恒空间转动对称性空间转动对称性1.1.一对力的功一对力的功总功的量值不依赖于坐标系的选择总功的量值不依赖于坐标系的选择2.2.保守力保守力一对力，且做功与相对路径形状无关，一对力，且做功与相对路径形状无关，or沿任意闭合的相对路径做功为零沿任意闭合的相对路径做功为零Chap.3 SUMMARY3.3.势能势能(1)(1)定义定义: A: Aa ab b=E=EPaPa-E-Epbpb=-=- E EP P(2)(2)选择选择Epc=0, , 则则Epa=AaccardF(3)(3)一些势能一些势能弹性势能弹性势能: :221kxEP( (以弹簧原长处为以

20、弹簧原长处为E EP P=0)=0)重力势能：重力势能：EP = mgh( (以以h=0h=0处为处为E EP P=0)=0)万有引力势能：万有引力势能：rGMmEP( (以以r r处为处为E EP P=0)=0)又又: Epa(c为零点为零点)=Epa(b为零点为零点)-Epc(b为零点为零点)4.4.质点系的动能定理质点系的动能定理kextEAAint5.5.功能原理功能原理)(pknonextEEAA6.6.机械能守恒定律机械能守恒定律0nonextAA若若.constEEpk则则7.7.质点系的动量定理质点系的动量定理PddtFext8.8.动量守恒定律动量守恒定律若若0extF则则.

21、constP 9.9.* *质心质心Mrmriiic10.10.质点对固定点的角动量质点对固定点的角动量PrL11.11.力对固定点的力矩力对固定点的力矩FrM12.12.质点的角动量定理质点的角动量定理dtLdM13.13.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若0M则则.constL 14.14.* *守恒定律与系统的时空对称性相关联守恒定律与系统的时空对称性相关联对功的概念有以下说法：对功的概念有以下说法：(1)(1)保守力做正功时，保守力做正功时，系统内相应的势能增加；系统内相应的势能增加；(2)(2)质点运动经一闭合质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；路径，保守力对质点

22、做的功为零；(3)(3)作用力和作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做的功的代数和为零的功的代数和为零. . 上述说法中：上述说法中：(A)(1)(2)(A)(1)(2)是正确的是正确的. (B)(2)(3). (B)(2)(3)是正确的是正确的. (C). (C)只有只有(2)(2)是正确的是正确的. (D). (D)只有只有(3)(3)是正确的是正确的. . 1.1.答案：答案：C C理由：理由：说法说法与正确的相反与正确的相反说法说法: :一对力所做的总功可以不为零一对力所做的总功可以不为零. . Chap.3 EXERCISES2.2.

23、对质点组有以下说法：对质点组有以下说法：质点组总动量的改变与内力无关质点组总动量的改变与内力无关质点组总动能的改变与内力无关质点组总动能的改变与内力无关质点组机械能的改变与保守内力无关质点组机械能的改变与保守内力无关在上述说法中，在上述说法中，(A)(A)只有只有是正确的是正确的(B)(B)、是正确的是正确的(C)(C)、是正确的是正确的(D)(D)、是正确的是正确的 答案：答案：B B3.3.若作用于一力学系统上外力的合力为零，若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩则外力的合力矩( (填一定或不一定填一定或不一定) ) 为为零；这种情况下，系统的动量、角动量、零；这种情况下，系统

24、的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是机械能三个量中一定守恒的量是 . .答案：答案：动量动量不一定不一定外力为力偶外力为力偶e.g.理由：理由：0,extiF;0,extiM0,extiF,0extA此外，不一定有此外，不一定有.0nonA4.4.如图如图, 小球在光滑桌面上作圆周运动小球在光滑桌面上作圆周运动. 现将现将绳缓慢往下拉绳缓慢往下拉, 则小球的动能、动量、角则小球的动能、动量、角动量三个量中动量三个量中, 保持不变的量是保持不变的量是 . 答案：角动量答案：角动量理由：理由：外力对小球作功外力对小球作功 动能增加动能增加;小球作曲线运动小球作曲线运动 动量改变动量改变;小球受中心力作用小球受中心力作用 角动量守恒角动量守恒5.5.摆球通过细绳悬挂着摆球通过细绳悬挂着, ,子弹射向摆球子弹射向摆球, ,则在则在射入过程中射入过程中, ,子弹摆球系统的子弹摆球系统的 守守恒恒; ;在射入后一起摆动过程中在射入后一起摆动过程中, , 系系统的统的 守恒守恒. .答案：答案：水平方向动量水平方向动量(and(and对点的角动量对点的角动量) )子弹摆球地球子弹摆球地球机械能机械能质点质量为质点质