人教A版必修5-第一章-解三角形--课件1.2-解三角形应用举例(1)

1、2021/3/2711.2 解三角形应用举例(1) 高度高度角度角度距离距离有关三角形计算有关三角形计算2021/3/272 1、正弦定理、正弦定理:知知 识识 点点 小小 结结sinCcsinBbsinAa 可以解决的有关解三角形问题可以解决的有关解三角形问题: （1）已知两角和任一边）已知两角和任一边; （2）已知两边和其中一边的对角）已知两边和其中一边的对角。 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 可以解决的有关解三角形的问题可以解决的有关解三角形的问题: （1）已知三边）已知三边;（2）已知两边和他们的夹角。）已知两边和他

2、们的夹角。2、余弦定理、余弦定理:2021/3/273 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解。创设情境创设情境2021/3/274测量问题测量问题: :1 1、水平距离的测量、水平距离的测量两点间不能到达,又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小,由余弦定理, 可求得AB的长。 2222cosABCACBCA CBC2021/3/275两点能相互看到,但不能到达。 需要测量BC的长、角B和角C的大小,由三角形的内角和,求出角A然后由正弦定理, 可求边AB的长。sinsinABB

3、CCA2021/3/276两点都不能到达两点都不能到达第一步第一步:在ACD中,测角DAC,由正弦定理 sin ADCsinDACACDC求出AC的长; 第二步第二步:在BCD中求出角DBC,由正弦定理 sin BDCsinDBCBCDC求出BC的长; 第三步第三步: :在ABC中,由余弦定理 2222cosABCACBCA CBC求得AB的长。 2021/3/277在测量上在测量上, ,根据测量需要适当确定根据测量需要适当确定的线段叫做的线段叫做基线基线, ,如例如例1 1中的中的ACAC, ,例例2 2中的中的CD.CD.基线的选取不唯一基线的选取不唯一, ,一般一般基线越长基线越长, ,

4、测量的精确度越高测量的精确度越高. .形成结论形成结论2021/3/278例 1:如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC=51，ACB=75.求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m). ABC实例讲解实例讲解2021/3/279解解:根据正弦定理根据正弦定理,得得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答答:A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。2

5、021/3/2710例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量两点间的距离的方法。设计一种测量两点间的距离的方法。分析分析:用例用例1的方法的方法,可以计算出河的这可以计算出河的这一岸的一点一岸的一点C到对岸两点的距离到对岸两点的距离,再测再测出出BCA的大小的大小,借助于余弦定理可以借助于余弦定理可以计算出计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。2021/3/2711解解:测量者可以在河岸边选定两点测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得测得CD=a,并且并且在在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和

6、BDC中中,应用正弦定理得应用正弦定理得)sin()sin()(180sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBC计算出计算出AC和和BC后后,再在再在ABC中中,应用余弦定理计算应用余弦定理计算出出AB两点间的距离两点间的距离cos222BCACBCACAB2021/3/2712例题例题2:2:要测量河对岸两地要测量河对岸两地A A、B B之间的距离之间的距离, ,在岸边选在岸边选取相距取相距 米的米的C C、D D两地两地, ,并测得并测得ADC=30ADC=30、ADB=45ADB=45、ACB=75ACB=75、BCD=45BCD=45, ,A A、B B、C

7、 C、D D四点在同一平面上四点在同一平面上, ,求求A A、B B两地的距离。两地的距离。 100 3解解: :在在ACDACD中中, ,DAC=180DAC=180（ACD+ADCACD+ADC）=180=180(75(75+45+45+30+30)=30)=30AC=CD=AC=CD=100 3在在BCDBCD中中, ,CBD=180CBD=180（BCD+BDCBCD+BDC）=180=180（4545+45+45+30+30）=60=60 2021/3/2713由正弦定理由正弦定理 , , 得得sin BDCsinDBCBCDCsin BDC100 3sin75200sin75sin

8、DBCsin60DCBC在在ABCABC中由余弦定理中由余弦定理, , 2222cosABCACBCA CBC222(100 3)(200sin75 )2 100 3200sin75 cos755 100 100 5AB 所求所求A A、B B两地间的距离为米。两地间的距离为米。 100 52021/3/2714选定选定两个可到达点两个可到达点C C、D;D; 测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大小的大小; ;利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BC;BC; 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.测量两个不可到达点之间的距离

9、方案测量两个不可到达点之间的距离方案: :形成规律形成规律2021/3/2715两点之间不可通也不可视两点之间可视不可达 两点都不可达求距离kABCABCbaaABCDa11212342021/3/2716新课讲授新课讲授 问题 1:什么叫仰角与俯角? 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角. 2021/3/2717测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的; ; 测量出角测量出角C C和和BCBC的长度的长度, ,解直角解直角三角形即可求出三角形即可求出ABAB的长。的长。 2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 测量边测量边CD,CD

10、,测量测量C C和和ADBADB, , cotcotCDABCADB2021/3/27183 3 设设ABAB是一个底部不可到达的竖直是一个底部不可到达的竖直建筑物建筑物,A,A为建筑物的最高点为建筑物的最高点, ,如何测量如何测量和计算建筑物和计算建筑物ABAB的高度的高度C CA AB B问题探究问题探究D DE EH HG G2021/3/2719设在点设在点C C、D D处测得处测得A A的仰角分别为的仰角分别为、,CD=a,CD=a, ,测角仪器的高度为测角仪器的高度为h h, ,试求建试求建筑物高度筑物高度ABABsinsinsin()ahC CA AB BE EH HG G问题探

11、究问题探究D DsinABACh2021/3/2720例例3、如图、如图,要测底部不能到达的烟囱的高要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在同一水平直线上的从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处两处,测得烟囱的仰角分别是测得烟囱的仰角分别是和 45 60CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器高已知测角仪器高1.5m,求求烟囱的高。烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形几何图形?已知什么已知什么,求什么求什么?想一想想一想2021/3/2721AA1BCDC1D1分析分析:如图,因为AB=AA1+A1B,又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15s

12、in120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答:烟囱的高为 29.9m.2021/3/27224 4 如图如图, ,在山顶上有一座铁塔在山顶上有一座铁塔BCBC, ,塔塔顶和塔底都可到达顶和塔底都可到达, ,A A为地面上一点为地面上一点, ,通通过测量哪些数据过测量哪些数据, ,可以计算出山顶的高可以计算出山顶的高度度? ?A AB BC C问题探求问题探求2021/3/2723设在点设在点A A处测得

13、点处测得点B B、C C的仰角分别为的仰角分别为、,铁塔的高铁塔的高BC=aBC=a, ,测角仪的高度测角仪的高度忽略不计忽略不计, ,试求山顶高度试求山顶高度CD CD A AB BC CD Dcossinsin()a问题解决问题解决sinCDAC2021/3/2724练习练习: 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面处测得地面上一点上一点A的俯角的俯角 60 ,在塔底在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角30。已知。已知铁塔铁塔BC部分的高为部分的高为28m,求出山高求出山高CD.分析分析:根据已知条件根据已知条件,应该设法计应该设法计算出算出AB或或AC的长的长解解:在在ABC中中,BCA

14、=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据根据正弦定理正弦定理,)90sin()sin(ABBCDABC 2021/3/2725)(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC=42-28=14(m)答答:山的高度约为山的高度约为14米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，2021/3/2726练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向方向,30min后航行

15、到后航行到B处处,在在B处看灯塔在船处看灯塔在船的北偏东的北偏东65o的方向的方向,已知距离此灯塔已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域以外的海区为航行安全区域,这艘船可这艘船可以继续沿正北方向航行吗以继续沿正北方向航行吗?北方向航行答：此船可以继续沿正向航行此船可以继续沿正北方则的距离为到直线设点，由正弦定理得，中，解：在milenhmilenSBhhABSmilenABSBSSBAASB5.6)(06.765sin,)(787.745sin20sin1.1645sin20sin451152021/3/2727练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸

16、货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 0260 （1 1）什么是最大仰角）什么是最大仰角? ? 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在ABC中已知什么中已知什么, ,要求什么要求什么? ?CAB20

17、21/3/2728练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 0260 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m,AC1.40m, 夹角夹角CAB6620,求求BC解解:由余弦定理由余弦

18、定理,得得571. 3 0266cos40. 195. 1240. 195. 1 cos2 22222AACABACABBC)(89. 1m BC答答: :顶杆顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB2021/3/2729课堂小结课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中关键要、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意分析题意,分清已知分清已知 与所求与所求,根据题意根据题意画出示意图画出示意图,并正

19、确运用正弦定理和余并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。弦定理解题。3、在解实际问题的过程中、在解实际问题的过程中,贯穿了贯穿了数学建模数学建模的思想的思想,其流程其流程 图可表示为图可表示为:实际问题实际问题数学模型数学模型实际问题的解实际问题的解数学模型的解数学模型的解画图形画图形解三角形解三角形检验（答）检验（答）P19 1.2A 1、 3、 92021/3/2730课堂课堂小结小结 解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析：理解题意，分清已知与未知，画出理解题意，分清已知与未知，画出示意图示意图 （2）建模：建模：根据已知条件与求解目标，把已知根据已知条

20、件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验：检验上述所求的解是否符合实际意检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解义，从而得出实际问题的解 2021/3/27311.1.在测量上在测量上, ,根据测量需要适当确定根据测量需要适当确定的线段叫做基线的线段叫做基线. .课堂小结课堂小结2021/3/27322.2.距离测量问题包括一个不可到达距离测量问题包括一个不可到达点和两个不可到达点两种点和两个不可到达点两种, ,设计测量设计测量方案的基本原则是方案的基本原则是: :能够根据测量所能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离得的数据计算所求两点间的距离, ,其其中测量数据与基线的选取有关中测量数据与基线的选取有关, ,计算计算时需要利用正、余弦定理时需要利用正、余弦定理. .课堂小结课堂小结2021/3/27333.3.解决物体高度测量问题时解决物体高度测量问题时