第三章晶体振动与晶体的热学性质

1、第三章晶体振动与晶体的热学性质3.1 3.1 连续媒质中的弹性波连续媒质中的弹性波连续媒质中弹性波的波动方程：连续媒质中弹性波的波动方程：222222zyx其中其中为拉普拉斯算符，在笛卡儿为拉普拉斯算符，在笛卡儿 直角坐标系中直角坐标系中kzj yi xr方程解的形式方程解的形式：q为波矢量，方向为波的传播方向；为波矢量，方向为波的传播方向； 为波的角频率或圆频率为波的角频率或圆频率.色散关系：色散关系：3.1.1 3.1.1 描写波的几个物理量描写波的几个物理量1.周期和频率周期和频率质点完成一次全振动的时间，用质点完成一次全振动的时间，用T表示表示质点角频率质点角频率trq把把 称为相位，

2、则周期可表述为同一质点相位变化称为相位，则周期可表述为同一质点相位变化2所需要的时间所需要的时间.频率：单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用频率：单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用v表示表示所以：所以：2角频率的意义就是角频率的意义就是 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数.22.波矢和波长波矢和波长等相面等相面（波阵面）（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.波矢：波矢：q波的传播方向波的传播方向平面波：等相面为平面的波平面波：等相面为平面的波.波长：同一时刻相位相差波长：同一时刻相位相差 的两点之间的长度，用的两点之间的

3、长度，用 表示表示.2波矢与波长的关系：波矢与波长的关系：3.相速度和群速度相速度和群速度沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：pv对于弹性波，等相面满足对于弹性波，等相面满足tqr常数，求其微分得：常数，求其微分得：由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数.群速度：振幅传播的速度群速度：振幅传播的速度.大小为：大小为：对于连续媒质弹性波，对于连续媒质弹性波，qvp，而，而pv与与q无关无关.所以：所以：群速度等于相速度群速度等于相速度.在晶体中传播的格波，

4、色散关系在晶体中传播的格波，色散关系 不是简单的线性关系，群速度不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等和相速度不再相等. 当当 不是常数时不是常数时)(qpv3.1.2 3.1.2 周期性边界条件和状态密度周期性边界条件和状态密度1.周期性边界条件周期性边界条件波恩卡门边界条件波恩卡门边界条件zyxyLzLxL晶体周期性边界条件晶体周期性边界条件所以波矢只能取所以波矢只能取的整数倍，即只能是一系列分立的值的整数倍，即只能是一系列分立的值.xL2所以：所以：在在q空间中一个分立的波矢量占据的体积为空间中一个分立的波矢量占据的体积为 ：注意：这里的注意：这里的 不是波矢量的增量，而是表示不是波

5、矢量的增量，而是表示 空间的一个体积空间的一个体积元，式中元，式中 为所处理的晶体的体积为所处理的晶体的体积.qqzyxcLLLV把媒质分成原胞，在把媒质分成原胞，在x，y，z方向上的基矢长度分别为方向上的基矢长度分别为a，b，c，原胞原胞数分别为数分别为.,321NNN则：则：321NNNN 为原胞总数为原胞总数为每个原胞体积为每个原胞体积所以：所以：倒格子原胞倒格子原胞的体积的体积倒格子原胞得体积与第一布里渊区得体积相等倒格子原胞得体积与第一布里渊区得体积相等.所以第一布里渊区内分立波矢量的所以第一布里渊区内分立波矢量的数目为：数目为：所以：第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数

6、目所以：第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目.虽然它是在直虽然它是在直角坐标系中推出的，但是它普遍成立角坐标系中推出的，但是它普遍成立.2.状态密度状态密度状态密度：单位频率间隔内的状态数目状态密度：单位频率间隔内的状态数目.用用表示表示.)(状态是用角频率表示，而角频率往往是波矢量的函数状态是用角频率表示，而角频率往往是波矢量的函数色散关系色散关系所以：所以：dqdZ为单位波矢间隔内的状态数为单位波矢间隔内的状态数.对于弹性波，一个波矢对应一对于弹性波，一个波矢对应一个状态，则它可个状态，则它可 由由q空间中的波矢大小为空间中的波矢大小为q的球体内的分立波矢数的球体内的分立波矢

7、数Z求出求出:所以：所以：对于弹性波，对于弹性波，qvp则则:代入代入得：得：弹性波的状态密度曲线弹性波的状态密度曲线)(O3.2 3.2 晶格振动的经典理论晶格振动的经典理论3.2.1 3.2.1 简谐振动简谐振动0)(0rrU在平衡位置附近在平衡位置附近当振动很微小时时，当振动很微小时时，很小，上式只保留到很小，上式只保留到2项，则原子间的相互作用力可表示为：项，则原子间的相互作用力可表示为：其中其中0)(22rrU 对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动正比的虎克力，由此得出原子在其

8、平衡位置附近的简谐振动.所以称这所以称这个近似为简谐振动个近似为简谐振动3.2.2 3.2.2 一维单原子链的振动一维单原子链的振动模型：一维无限长的单原子链，原子间距模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量为原子质量为m.1n2nn1n2na2nx1nxnx1nx2nx试探解试探解:求色散关系求色散关系 :aamax0性质：性质：(1) 长波长波0q时时,格波成为弹性波格波成为弹性波解释解释:很大很大,本来不连续的晶格可视为连续的了本来不连续的晶格可视为连续的了.(2)驻波特征驻波特征所以：所以：而此时而此时即当即当akq) 12 (时，时，0群v能量不向外边

9、传播能量不向外边传播 驻波驻波原因：入时波和反射波的迭加原因：入时波和反射波的迭加（3）周期性）周期性 周期为一个倒格子矢量周期为一个倒格子矢量a5a3a2a2a2a3a0q可把可把q限制在第一布里渊区限制在第一布里渊区),(aa解释：解释：q与与q+ 分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？a2从图可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同从图可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同.唯一唯一 不同的就是两格点之间的不同的就是两格点之间的运动状态运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质而这些中间状态的差异并不影响

10、物理实质.所以为了使所以为了使xq（q）的关系成为单值，限制的关系成为单值，限制q在第一布里渊区，对一维来说在第一布里渊区，对一维来说q的取值的取值,(aa（4）第一布里渊区的分立波矢数晶体原胞数）第一布里渊区的分立波矢数晶体原胞数.晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数证：使用周期性边界条件（图形）证：使用周期性边界条件（图形）第一布里渊区的长度：第一布里渊区的长度：第一布区分立波矢数：第一布区分立波矢数：第二个结论显然是成立的第二个结论显然是成立的.（5）状态密度）状态密度连续介质连续介质格波格波q0q格波有截止频率格波有截止频率求解格波步骤：

11、求解格波步骤：（4）由久期方程求色散关系由久期方程求色散关系3.2.3一维双原子链的振动一维双原子链的振动 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3 2a（1）列运动方程列运动方程（2）取试探解取试探解（3）代入原方程，代入原方程， 得到久期方程得到久期方程（5）加周期边界条件加周期边界条件（6）求状态密度求状态密度设设Mm代入得到：代入得到：整理得：整理得：二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:0) 1(cos4)(22224qamMMm解得：解得：2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：支格波的最大频率和最小频率及相应得

12、波矢分别为：a2a221)2(m21)2(M声学支声学支光学支光学支0q一维双原子晶格得色散关系一维双原子晶格得色散关系讨论讨论：0q（1） ，声频支退化为弹性波，声频支退化为弹性波,而光频支不会而光频支不会2/12/1222/1)2()(sin)(1)2(qaMmmM而而0q（2） ，声学波描写原胞质心运动，光学波，声学波描写原胞质心运动，光学波描写原胞中各原子描写原胞中各原子之间得相对运动，并且质心保持不动之间得相对运动，并且质心保持不动.xqb.光频支：光频支：波长很长，相邻原子的位相差很小波长很长，相邻原子的位相差很小.表示质心的运动表示质心的运动相邻原子反向相邻原子反向运动运动xqa

13、.声频支声频支由（）中第一式有由（）中第一式有质心不动质心不动（3）晶格中振动的波矢数晶体的原胞数晶格中振动的波矢数晶体的原胞数 晶格振动的频率数晶体的自由度数晶格振动的频率数晶体的自由度数证：加周期性边界条件证：加周期性边界条件N为原胞数为原胞数第一布区：第一布区：波矢数：波矢数：波矢数为原胞数，每个原胞中有两个原子，对每个波矢数为原胞数，每个原胞中有两个原子，对每个q对应两个频率，显然第二条规律也是对应两个频率，显然第二条规律也是满足的满足的.这两条规律对三维也是适用的这两条规律对三维也是适用的.3.3 3.3 晶格中振动的量子化和声子晶格中振动的量子化和声子3.3.1 3.3.1 晶格振

14、动的哈密顿量晶格振动的哈密顿量一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：晶体势能：晶体势能：晶体动能：晶体动能：其中其中表示位移对时间的一次导数，也就是速度表示位移对时间的一次导数，也就是速度.nx 系统的总的哈密顿量为：系统的总的哈密顿量为：格点位移格点位移iqnatqnainetAAetx)()()(个值有NqH为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论.为此引进简正坐为此引进简正坐标标Q.单个谐振子的哈密顿量单个谐振子的哈密顿量逆变换：逆变换：系统总能量：系统总能量：由量子力学，一个谐振子的能量与由量

15、子力学，一个谐振子的能量与 的关系为：的关系为：证明利用了正则坐标证明利用了正则坐标Q的正交关系，的正交关系，参见参见P67三维复式格子三维复式格子N个原胞，每个原胞中含有个原胞，每个原胞中含有n个粒子个粒子结结论：论：（1）独立波矢数原胞数）独立波矢数原胞数N振动状态数晶体自由度数振动状态数晶体自由度数3nN（2）3nN独立振动分为独立振动分为3支声学波，支声学波，3(n-1)支光学波支光学波.3支声支声学波中有一支纵波，两支横波学波中有一支纵波，两支横波. n=1没有光学波，即没有光学波，即Bravais格格子中不含有光学波子中不含有光学波. n=2，3既有声学波，又有光学波既有声学波，又

16、有光学波3.3.2 声子声子声子声子晶格振动的能量量子晶格振动的能量量子(准粒子准粒子)(qj能量能量q动量动量用声子代表真实晶体如同用光子代替电磁波一样用声子代表真实晶体如同用光子代替电磁波一样.光子可以解光子可以解释光电效应，声子则可以解释固体热容量，而且能解释晶体释光电效应，声子则可以解释固体热容量，而且能解释晶体导电导热的性质，晶体吸收就可以理解为声子吸收光子的能导电导热的性质，晶体吸收就可以理解为声子吸收光子的能量而变热，晶体散射则可以理解为声子与光子的碰撞量而变热，晶体散射则可以理解为声子与光子的碰撞.电子与电子与晶格的相互作用可以理解为电子与声子的相互作用晶格的相互作用可以理解为

17、电子与声子的相互作用声子是玻色声子是玻色(bose)子，满足玻色分布子，满足玻色分布喻住房高层人喻住房高层人少，底层人多少，底层人多3.4 3.4 离子晶体中的长光学波离子晶体中的长光学波3.4.1 3.4.1 黄昆方程黄昆方程长波极限下的声学波和光学波反映不同分支格波的特点长波极限下的声学波和光学波反映不同分支格波的特点, ,长声学波描述原胞质心长声学波描述原胞质心的运动的运动, ,长光学波描述原胞中原子间的相对运动长光学波描述原胞中原子间的相对运动. .波长较短时波长较短时, ,不同支格波的上述不同支格波的上述特点变得不明显特点变得不明显. . 对晶体性质影响最大的格波往往是长声学波和长光

18、学波对晶体性质影响最大的格波往往是长声学波和长光学波. .如果如果 表示表示 的正离子的位移，的正离子的位移，uM 表示质量表示质量 的负离子的位移的负离子的位移. .由正负离子相对位移所引起的宏观电场强度设为由正负离子相对位移所引起的宏观电场强度设为 ，这时作用在离，这时作用在离子上的除了准弹性恢复力外，还有电场的作用子上的除了准弹性恢复力外，还有电场的作用. .但是作用在某离子上但是作用在某离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场的电场不能包括该离子本身所产生的电场. .从宏观场强从宏观场强 中减去该中减去该离子本身所产生的场强，这叫有效场强离子本身所产生的场强，这叫有效场强 . .得到

19、：得到：umeffeffeuuuM*.)(effeuuum*.)()(MmmMuuu：uVNWc黄昆于黄昆于19511951年引进的，称为黄昆方程年引进的，称为黄昆方程. .物理物理意义：意义：第一个方程代表振动方程第一个方程代表振动方程. .第二个方程代表极化方程第二个方程代表极化方程. .3.4.2 3.4.2 LSTLST关系关系设黄昆方程的解具有平设黄昆方程的解具有平面波形式，即：面波形式，即：).(0trqieWW).(0trqiePP).(0trqie其中其中 为波矢为波矢. .位移位移 与波矢与波矢 垂直的部分构成横波，记为垂直的部分构成横波，记为 . .位移与波矢平位移与波矢平

20、行的部分构成纵波行的部分构成纵波, ,记为记为 . .存在下列关系：存在下列关系：q在所讨论的电介质中，没有自由电荷，电位移在所讨论的电介质中，没有自由电荷，电位移D D无散，即：无散，即：又因为纵向的旋度为又因为纵向的旋度为0 0，即：，即：将式子将式子0LP代入代入2221bWbP得：得：对对P和和 同样可分为纵场和横场同样可分为纵场和横场,纵纵场场(如库仑场如库仑场)旋度为旋度为0,横场横场(如感应如感应电场电场)散度为散度为0.LWbb22021TLWWW将将和和代入代入1211.bWbW得：得：代表横向振动方程代表横向振动方程代表纵向振动方程代表纵向振动方程所以：所以：（1 1）对于

21、静电场）对于静电场0.W这时这时1211.bWbW可化为：可化为：代入代入2221bWbP（2 2）对于光频电场，）对于光频电场，W W0 0，2221bWbP晶体静电介电常数晶体静电介电常数可化为：可化为：)1(022bP晶体光频介电常数晶体光频介电常数得：得：这就这就LSTLST关系关系. . 由于静电介电常数恒大于光频介电常数，所以长光学纵波的频由于静电介电常数恒大于光频介电常数，所以长光学纵波的频率恒大于长光学横波频率，这是由于长光学纵波伴随有宏观电场，增率恒大于长光学横波频率，这是由于长光学纵波伴随有宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波的频率加了恢复力，从而提高了纵波的频率. .1

22、 1结论结论： 当当 ，而，而 时，则意味着晶体内时，则意味着晶体内部出现自发极化部出现自发极化. .把趋向于零的把趋向于零的 称为光学软模称为光学软模. .由由LSTLST关系关系所发展出来的自发极化理论，叫做所发展出来的自发极化理论，叫做“铁电软模理论铁电软模理论”. .STOw, 0S2 2TO 介电常数与频率的关系介电常数与频率的关系2221bWbP消去消去W W得：得：另外：另外：从而有：从而有：).(0trqieWW).(0trqiePP).(0trqie得到：得到：联立：联立：211TObTOsbb2102112)(利用利用LSTLST关系，上式可表示为：关系，上式可表示为：TO

23、)(LO)(这个表达式表明：这个表达式表明： 是介电常数是介电常数 的极点，的极点， 是介电常数是介电常数 的零点的零点. .sTOLO)( 极化激元极化激元实际上，离子晶体的长光学横波振动总是伴随着交变电磁场，因实际上，离子晶体的长光学横波振动总是伴随着交变电磁场，因而，应当将黄昆方程与麦克斯韦方程联立求解这个振动系统的振动模而，应当将黄昆方程与麦克斯韦方程联立求解这个振动系统的振动模. .真空中的电磁波色散关系：真空中的电磁波色散关系：介质中的电磁波色散关系：介质中的电磁波色散关系：实质上实质上, ,求解黄昆方程与电磁波方程的联立方程组就可得到：求解黄昆方程与电磁波方程的联立方程组就可得到

24、：ck只要将只要将代入代入ck2222)(TOLO就相当于将电磁波振动与光学格波振动进行了耦合就相当于将电磁波振动与光学格波振动进行了耦合从而可求得从而可求得2 2支振动的色散关系支振动的色散关系)(k)(k和和)(kLOTOcksck0k这种耦合称为极化激元这种耦合称为极化激元. .由图可以看出：由图可以看出：一支耦合振动模一支耦合振动模时为纯时为纯TO振动模，频率即为无耦合时的横光学波振动模，频率即为无耦合时的横光学波为纯为纯TO振动模，但频率为振动模，但频率为ck/|LOLO；时为高频电磁时为高频电磁ck/|LO频率频率. .在中间在中间k值区域，值区域，和)(k)(k代表的振动模是电磁

25、波代表的振动模是电磁波与横光学格波的混和模式，不能区分出格波和电磁波与横光学格波的混和模式，不能区分出格波和电磁波. .LOTO是频率的禁区，这样的频率不能穿过晶体是频率的禁区，这样的频率不能穿过晶体. .)(k满足满足0,0kTO时低频电磁波，时低频电磁波，波波. .另一支耦合模另一支耦合模3.5 3.5 晶格比热容的量子理论晶格比热容的量子理论固体物理学中的比热容一般指定容热容：固体物理学中的比热容一般指定容热容：其中其中 为固体物理在温度为固体物理在温度T时的热力学平均能量时的热力学平均能量.)(TE)(Tcv主要由两主要由两分组成：分组成：其中其中 是晶格（离子）热运动的结果，称晶格比

26、热容；是晶格（离子）热运动的结果，称晶格比热容； 是电是电子热运动的结果，称为电子比热容子热运动的结果，称为电子比热容,仅在低温才起作用仅在低温才起作用.)(TccV)(TceV3.5.1 3.5.1 经典理论的困难经典理论的困难能量按自由度均分能量按自由度均分,每个简谐振动的平均能量为每个简谐振动的平均能量为(N个粒子个粒子, 3N个自由度个自由度)杜隆杜隆-珀替定律珀替定律:摩尔比热容摩尔比热容:是一个与材料性质和温度无关的常数是一个与材料性质和温度无关的常数.实验结果实验结果:当当0TTTVc3导体导体绝缘体绝缘体3.5.2 3.5.2 晶格比热容的一般公式晶格比热容的一般公式由于量子化

27、，使得每个振动平均热运动能量不再是由于量子化，使得每个振动平均热运动能量不再是 ，如果忽略，如果忽略零点能，而成为零点能，而成为得：得：TkB)()(qqnjj晶体的总能量为晶体的总能量为NjTkjBjeTE31)(1)(设设表示角频率在表示角频率在 之间的格波数之间的格波数d)(d式中：式中： 是最大的角频率是最大的角频率 ， 为晶体中的原子数为晶体中的原子数mN而晶体的比热容成为：而晶体的比热容成为：3.5.2 3.5.2 爱因斯坦模型爱因斯坦模型爱因斯坦假设爱因斯坦假设: 晶体中各原子的振动均是相互独立的晶体中各原子的振动均是相互独立的.且振动频率相且振动频率相同同(或者说或者说,晶体中

28、各原子均以一种频率振动晶体中各原子均以一种频率振动)vcT爱因斯坦爱因斯坦 比热函数比热函数1.高温时高温时BVTENkTcT3)(,lim杜隆杜隆-珀替定律珀替定律2.低温时低温时3/2, 0)(, 0)/(3)(,TccTcTeTNkTcTVVVTEBVEE实验中的以指数形式趋于零而非但与实验相符3.5.4 德拜模型德拜模型假设：把晶格视为各向同性连续介质假设：把晶格视为各向同性连续介质.即把格波视为弹性波，且纵波即把格波视为弹性波，且纵波与横波具有相同的相速度与横波具有相同的相速度.德拜不认为所有振动模为单一频率德拜不认为所有振动模为单一频率,而应有一个宽广的分布而应有一个宽广的分布pv

29、其中其中是是1支纵波支纵波, 2支横波的传播速度的总效果支横波的传播速度的总效果态密度态密度32223)(pcvV见第一节，见第一节，V为晶体体积为晶体体积.上限频率上限频率德拜温度德拜温度:最大波矢量最大波矢量由由(85)可得系统可得系统总能量：总能量：因此：因此：讨讨论论（1）低温）低温15)(943DBTTNkvCvTE)(说明在低温下只有长波声子被激发，而且只有长声学波说明在低温下只有长波声子被激发，而且只有长声学波.因为只有长声学波因为只有长声学波才能视晶体为弹性介质才能视晶体为弹性介质.（2）高温）高温杜隆珀替定律杜隆珀替定律EdxxxTTNkTDBD/03311)(9（4）的形象

30、解释的KittlelawT 3上限波矢上限波矢:低温被激发的声子：低温被激发的声子：mqq这一性质刚好与电子相反，在第五章我们会注意到首先被激发的电子是波矢比较大的即费米面这一性质刚好与电子相反，在第五章我们会注意到首先被激发的电子是波矢比较大的即费米面附近的电子附近的电子.3.6 3.6 晶体热膨胀晶体热膨胀0rr，对晶格动力学无影响，取对晶格动力学无影响，取令：令：0|0rrU)(0rU0)(0rU32gC则：则：简谐近似时简谐近似时,势能关于平衡位置对势能关于平衡位置对称称,原子间距离的平均值不随温度原子间距离的平均值不随温度升高增大升高增大.但计入非谐效应时但计入非谐效应时,势能势能不

31、对称不对称,温度升高时温度升高时,平均距离会增平均距离会增大大-热膨胀热膨胀按玻尔兹曼统计，按玻尔兹曼统计，平均位移是：平均位移是：对简谐近似对简谐近似,U是二次函数是二次函数,故分子中被积函数是奇函数故分子中被积函数是奇函数,积分为积分为0考虑非谐项时考虑非谐项时,有有近似下，线脉系数与温度无关，在更高级近似下，近似下，线脉系数与温度无关，在更高级近似下，线胀系数与温度有关线胀系数与温度有关.3线胀系数线胀系数:分子间平均距离随温度升高而增大分子间平均距离随温度升高而增大-热膨胀热膨胀3.7 3.7 晶体热传导晶体热传导 简谐近似，各种格波是独立的，某一格波处于某一能级不会简谐近似，各种格波

32、是独立的，某一格波处于某一能级不会衰减，这样晶格振动的热平衡就无法实现衰减，这样晶格振动的热平衡就无法实现. 实际晶体，势能的非谐振项的存在，振子相互间要发生作实际晶体，势能的非谐振项的存在，振子相互间要发生作用，声子间有能量交换用，声子间有能量交换. 一种频率的声子将会转换成另一种频一种频率的声子将会转换成另一种频率的声子，即一种声子湮灭，另一种声子产生，经过一定的率的声子，即一种声子湮灭，另一种声子产生，经过一定的时间后，各种声子的分布就能达到平衡时间后，各种声子的分布就能达到平衡.3.7.1 3.7.1 声子散射、声子散射、N N过程和过程和U U过程过程2个声子相互作用而湮灭，产生第个

33、声子相互作用而湮灭，产生第3个声子，在这过程中满足能量守恒和波矢选个声子，在这过程中满足能量守恒和波矢选择定则：择定则：0hK , 正常过程（正常过程（N过程）过程）,满足能量守恒和动量守恒；满足能量守恒和动量守恒；0hK, 倒逆过程（倒逆过程（U过程）能量守恒，动量发生明显变化过程）能量守恒，动量发生明显变化3.7.2 3.7.2 热导率热导率在在U过程中过程中 已超出第一布里渊区，已超出第一布里渊区，只有加上某个倒格子矢量才能回到第只有加上某个倒格子矢量才能回到第一布里渊区一布里渊区.21qq晶体晶体振动振动格波格波声子气声子气简谐近似简谐近似晶体理想气体晶体理想气体热传导率为无穷大热传导

34、率为无穷大非谐作用非谐作用声子有相互作用声子有相互作用非理想气体非理想气体U过程中声子作用前后动量变化大过程中声子作用前后动量变化大,动量方向几乎相反动量方向几乎相反,是产生晶格热阻是产生晶格热阻的主要物理机制的主要物理机制.N过程中过程中,21,qq较小较小,21qq 未未超出第一布里渊区超出第一布里渊区,总动量不变总动量不变,不影不影响热流方向响热流方向,对热阻无贡献对热阻无贡献.产生热传导的条件产生热传导的条件: 存在温度梯度存在温度梯度能流密度能流密度单位时间内单位时间内通过垂直温度梯度方向的单位面积的能量通过垂直温度梯度方向的单位面积的能量.为热传导系数为热传导系数热阻形成的原因分析

35、热阻形成的原因分析: 力学观点不能解释力学观点不能解释.如将格波视为机械波如将格波视为机械波,其传播时不需要温度梯度其传播时不需要温度梯度,即即热导率无限大热导率无限大,不存在热阻不存在热阻. N过程也不能解释热阻的形成过程也不能解释热阻的形成.如开始动量沿如开始动量沿x方向方向,N过程动量不变过程动量不变,晶晶体携能量沿体携能量沿x方向传播方向传播,无需温度梯度无需温度梯度,无热阻无热阻. U过程可解释热阻的成因过程可解释热阻的成因. U过程可以改变声子气的波矢过程可以改变声子气的波矢,无规碰撞使无规碰撞使波矢在小范围达到热平衡波矢在小范围达到热平衡,只有存在温度梯度时只有存在温度梯度时,不

36、同小范围内才能交换不同小范围内才能交换声子声子.无温度梯度则无热流无温度梯度则无热流,有热阻有热阻.气体热导系数气体热导系数:l平均自由程平均自由程为平均速率，为平均速率，v声子气也具有同样的规律声子气也具有同样的规律证明：证明：声子在声子在x方向上的运动速度方向上的运动速度:xv平均自由时间平均自由时间:自由时间内所走路程自由时间内所走路程:xvd 热导率的定量讨论热导率的定量讨论:两次碰撞之间温度的变化为两次碰撞之间温度的变化为:xvdxdTddxdTT单位时间内通过单位面积的热量：单位时间内通过单位面积的热量： 令声子密度为令声子密度为n, 一个声子对比热容的贡献一个声子对比热容的贡献c,单位体积内声子的单位体积内声子的比热容为比热容为nc, svxcnsvx体积内声子的比热容为体积内声子的比热容为T体积内声子在温度改变体积内声子在温度改变svx时时, 热量的增量为热量的增量为3.83.8确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振