专题检测(八)等差数列、等比数列

1、第8页共8页专题检测（八）等差数列、等比数列A组一一“6+3+3”考点落实练一、选择题1 .（2019全国卷出）已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则 a3=（）A.16B.8C.4D.210, q0,解析：选 C 由题意知a+a1q + a1q2 + a1q3= 15,I aq = 3aq + 4a1,解得 a3=a1q2=4.故选 C.q = 2,2 .（2019 湖南省五市一校联考）已知数列an满足 2an = an-1+an+1（n2）,a2 + a4+a6=12, a1 + a3 + a5=9,则 a1 + a6=（）A.6B.7C.8D.9解析：

2、选B 法一：由题意知，数列an是等差数列，设公差为d,则a + d + a + 3d + a + 5d = 12,a1 = 1,解得： 所以 a1+a6=a1 + a1+5d = 7,故选 B.a +a1+2d+a+4d= 9,d= 1,法二：由题意知，数列an是等差数列，将 a2+a4+a6= 12与a + a3+a5=9相加可得3（a+a6）= 12 + 9=21,所以 a + a6=7,故选 B.3 .（2019福州市质量检测）等比数列an的各项均为正实数，其前 n项和为Sn.若a3=4, a2a6= 64,则 S5=（）A.32B.31C.64D.63解析：选B 法一：设首项为 ab公

3、比为 q,因为an0,所以q0,由条件得ai q = 4,ai= 1,j 5 解得1 所以Ss= 31,故选B.法二：设首项为a1，公比为q,因为an0,所以q0,由a2a6=a2=64,出=4,得q=2, a1=1,所以 S5= 31,故选 B.4 .数列an中，a=2, a2=3, an+1 = an an 1(n2, nCN ),那么 a2 019=()A.1B.-2C.3D.-3斛析：选 A 因为 an+1= an an1(n2),所以 an= an 1 an 2(n5 3),所以 an+ 1 = anan 1 = (an 1 an 2)一 an 1= an 2(n 3).所以 an+

4、3= an(n C N ),所以 an+ 6= 一 an+ 3= an ,故an是以6为周期的周期数列.因为 2 019=336X 6+ 3,所以 a2 019= a3 = a2 a1 = 3 2= 1.故选 A.5 .(2019届高三 西安八校联考)若等差数列an的前n项和为Sn,若SsSS5,则满足SSn + 1S7S5,得 Sz= S6+a7S5,所以 a70,13 (a1 + a13)12 (a+a2)所以 &3=2=13a70 ,所以 S12S130,即满足SnSn+10的正整数n的值为12,故选C.6 .已知数列an满足 an+2an+1=an+1 an, nC N，且 a5=2,

5、右函数 f(x)=sin 2x+2cos2x2,记yn=f(an),则数列yn的前9项和为()A.0B.-9D.1C.9解析：选C 由已知可得，数列an为等差数列，f（x） = sin 2x+ cos x+1, f |= 1f（兀x） = sin（2 兀一2x） + cos（兀一x） + 1 = sin 2x cos x+ 1, - f（兀一x） + f（x） = 2, -ai+ a9= a2 + a8= =2a5=Tt, f（ai）+ f（a9）=2X4+1 = 9,即数列yn的前 9 项和为 9.二、填空题3 .7.（2019全国卷I ）记Sn为等比数列an的前n项和，若ai=1, 0 =

6、 7则S4=.解析：设等比数列的公比为q,则an = aqn-1=qn-!a1 = 1, S3 = 4，a1 + az+a3 = 1 + q+q2= 4,21即 4q+4q+1 = 0,q= - 2,答案:88.(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn,若a?=3, S=10,则a5 = , Sn的最小值为.解析：. a2= a + d=3, S5=5a + 10d=10,a1 = 4, d= 1, a5 = a1 + 4d = 0, - an = a1+ (n 1)d= n 5.令an0,则n7 时，an0；当 nw6 时，an2).(1)证明：数列an+1为等比数列；(2)求数列

7、an的通项公式，并判断 n, an, Sn是否成等差数列？解：(1)11明：. a3 = 7, a3 = 3a2 2,，a2=3,- an= 2an-1 + 1,- a1 = 1, an+ 12an-1 + 2=2(n2), an1+1an1+1.数列an+1是首项为a+1 = 2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,an+1=2n,. an=2n-1,n、. Sn=-n = 2n + 1-n-2,1-2. n+Sn-2an=n+(2n+1-n-2)-2(2n- 1)=0,. n+Sn=2an,即n, an, Sn成等差数列.B组一一大题专攻强化练1.(2019湖南省湘东六校联考)已知数列a

8、n满足an+13an=3n(ne N*)且a1=1.设bn=F,证明：数列bn为等差数列;（2）设Cn= n-,求数列Cn的前n项和Sn. an解：（1）证明：由已知得an+1 = 3an+3 ,得 bn+1 =an+1 3an+ 3an3n3n3n所以 bn+ 1 bn= 1 ,又a1=1,所以 bi = 1,所以数列bn是首项为1,公差为1的等差数列., an由知bn=F=n所以 an= n 3n 1, Cn = J ,31x1-$) 3f 所以 Sn=一二=3；1 1 _ 一1 3a5.2.（2019全国卷I ）记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-若a3=4,求an的通项公式;（

9、2）若a10 ,求使得Sn an的n的取值范围.解：（1）设an的公差为d.由 Sg= - a5 得 a1 + 4d=0.由 a3= 4 得 a + 2d = 4.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得 a1 = 4d,故 an=(n5)d,n (n 9) dSi =2由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+102 020成立的最小正整数 n的值.解：(1)令 n=1 得，a1一2a2+a3=0,解得 a2=5.又由 an2an +1 + an+2= 0 知，an+2an+1 = an+1 an=a2a1 = 2,故数列an是首项a1 = 3,公差d= 2的等差数列，于是 an = 2n + 1,bn= a2n 1 = 2n +1.(2)由(1)知，bn=2n+1.是 b1 + b2+bn=(2+22+ +