求数列通项公式及求和的基本方法

1、求数列通项公式及求和的基本方法1 .公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an =Sn -SnA(n至2),等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列 Q#的前n项和为Sn,并且an +Sn =1(nw N*),求an的通项公式?an 二 一n 2反思：利用相关数列 匕0与&的关系：ai =Shan =0 Sn(n 2 2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.2 .累加法：利用an =a1 +(a2 -a1)+ (an -an)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an=an + f(n)的递推数列通项公式的基本方法( f(n)可求前n项和).1 11

2、,.*；一，,已知ai =自4=%+ (n N ),求数列、0通项公式. 22a2 a3an3 .累乘法：利用恒等式an = ai(an # 0,n22)求通项公式的方法称为累乘法，ai a2an累乘法是求型如：an* =g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).已知 a1 = 1, an = n( an + - an) (n e N )，求数列 tan)通项公式.an = n .反思：用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1 = g(n)an4 .构造新数列：类型 1 an 1, an - f(n)解法：把原递推公式转化为 an4 an = f (n)，

3、利用累加法(逐差相加法)求解。11.1.13 1例 1：已知数列13n 卜菌足a1= 一，an4=an+丁，求 anan=+1 = 2n2 n2 n 2 n解：类型 2 an 1 = f(n)ana 一.解法：把原递推公式转化为，士 = f (n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例 2：已知数列 %n满足 a1 = 2 , an* =nan，求 an。a,=-3 n 13n解：变式：(全国I,)已知数列an,满足a1=1, an =a1+2a2+3a3 +-，+(n-1)an/(n2)则信小的通项ann =1n -2n!(一)类型 3 an41=pan+q （其中 p, q均为常数，（pq

4、（p_1）#0）解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an书t = p（an -t）,其中t =-q-，再利用换元法转化1 - P为等比数列求解。例 4：已知数列 6中，a1=1, an+=2an+3,求 an.an=2n*3.解：类型 4 an 1 ; pan - qn(其中 p,q 均为常数,(pq ( p 1)( q 1)=0)。(或 2门中=pan + rq ,其中p, q, r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn*,得：9瞿 =之十1引入辅助数列bn（其q q q q中bn =），得：bn 1 = bn - 1再待定系数法解决。 qq q例5：已知数列。口中，a

5、1 =5, an4 =1an +（1）n*,求 an。632解:,1/1、n 1n 1n 12 /on在an书=an + () 两边乘以 2 后：2*an_i (2 an)+1323令bn =2n ,an ,则 bn+ =|bn +1,解之得：bn =32(1)n所以an号Wn 类型5递推公式为an书=pan4+qan （其中p, q均为常数）解（特征根法）：对于由递推公式an*=pan41+qan，a1=a,a2= P给出的数列anL方程x2 一 px q = 0 ,叫做数列an的特征方程。若X1,X2是特征方程的两个根，当x1 #x2时，数列an1通项为an = Ax1n1 +Bxn，其中

6、a, b由a1 =ol , a2 = P决定（即把n -1n -1 _a1, a2, x1, x2和n = 1,2 ,代入an = Ax1 + Bx2 ,得到关于a、b的万程组）；当x1=x2时，数列2的通项为2门=6 + 8门八；,，其中a, B由a1 =a, a2 = P决定（即把 n 1 一a1,a2, x1, *2和 n =1,2 ,代入 an =（A + Bn）x1，得到关于 a、b 的方程组）。例6：数列 An ： 3an攵一5an书 +2an =0（n 之 0,n w N） , a1 = a,a2 = b ,求an（特征根法）：的特征方程是：3x2 5x+ 2=0。 x1 =1,

7、x2an = Ax；_ n 1 一 2n 1b Bx? = A + B ()。又由 ai = a,a2=b,于是 3A =3b -2a故 an =3b _2a+3(a B = 3(a - b)练习：已知数列an中，&=1=2自书lanjgan，求为。L 7 3/ 1g key： an(-)4 4 3变式：(福建，文,22) 已知数列an满足a =1,a2 =3芈=3an书-2an（n= N*）.求数列an的通项公式;(I)解：二 an =(an an)+(an二-an/)+ (a2 a1)+a1=2- 22.2 1 =2n -1(n N*).类型6递推公式为Sn与an的关系式。（或Sn=f（a

8、n）-Sn41ns?与 an =Sn Sn=f Sn) - f Sn)消去 Sn (n - 2)(n 2)或与 Sn = f (SnSnJ （n之2）消去an进行求解。例7:数列（an 前n项和Sn = 4 一 an -2-.求an41与an的关系；（2）求通项公式an.2n Y11斛, (1)由 Sn = 4 an 2n_2 倚：SnH1 =4an中一2nj.1于712 Sn 1 Sn- ( an -an 1)( 2n N所以 an 1 -an -an 1）2n，11 -2nd k an 1 - 2 an2n .（2）应用类型4（ an + = pan + qn （其中p, q均为常数，（p

9、q（ p -1）（q -1）*0）的方法，上式两边同乘以2n*得：2n*an. =2 n 1nan 2上C1由 a1 S1 二 4 - a _ 122 =、a1=1.于是数列12nan）是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2nan =2 2(n -1) =2n= an数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项,找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和1、等差数列求和公式:snannd22na1(q =1)2、等比数列求和公式:Sn = lai(1-qn)a -anq3、,n1

10、 ,Sn = k n(n 1)21 -q1 -q、Sn(q 二 1)n 21=、k2,n(n 1)(2n 1)km 6利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法/3125、& 八 k =1n(n 1)k 12a1（山东文18）设an是公比大于1+ 3,3a2, a3+4构成等差数歹U.的等比数列,Sn为数列 an的前n项和.已知S3 = 7 ,且（1）求数列an的等差数列.(2)令 bn =ln a3n由，n =1,2,111,求数列bn的前 n 项和 T .51 +a2 +a3 = 7, 解：（1）由已知得：由1+3）+（a3+4）解彳a2=2.22 一 设数列an的公比为q ,

11、由a2 = 2 ,可得a1 = ，a3 =2q .q2_ _ _ 2 一一又 S3=7 ,可知一+2 + 2q=7,即 2q 5q+2 = 0,q1. 一斛彳寸q1 =2, q2 = 由题意得q 1,，q = 2 .2n 1 二a1 =1 .故数列an的通项为an =2 _.由于 bn =in a3n* n =1,2,|,由（1）得 a3n 4=23n, bn =ln 23n =3nln2 ,又 bn由一bn =3ln 2n,bn是等差数列. Tn = b1 . b2 , |. bnn（bi bn）一 2n（3ln 2 31n 2）一 2= 3nn）1n2.23n（n 1）,小故 Tn = I

12、n 2 .n 2一一 一*Sc练习：设 Sn= 1+2+3+n, nGN,求f（n）=的最大值.（n 32）Sn.1二、错位相减法设数列An的等比数列，数列An是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。例2（高考天津）在数列4中，a1 =2,小4二九小+九科+（2九）2n（nW N*），其中九 0 .（I）求数列 U的通项公式；（口）求数列an的前n项和Sn；(I)解：由 an盘 =n 十九n*+(2九)2n(nw N*),九 0,所以!）21|为等差数列，其公差为 l?J J得(1 一 . )Tn = 2这时数列an的前n项和Snn -2n 12(n -1) n, /.

13、(1- )2+ 2n由-2 .nn = n 1,所以数列an的通项公式为 an =(n -1)Xn +2n .(u)解：设二儿2+2九3 +3九4 +|+(n _2)九n+(n-1)?/ ,ZTn =+2，J +3九5 +|+(n -2)? +(n1)/中当九#1时，式减去式，2 n 13. nn 1n 1l| _ (n _ 1)1=-(n -1)1 一2 n 1n Tn -2n _11 2(n -1),_ (n -1) n ,(1 - )21 - 一 (1 - )2当人=1时，T =n(n -1) .这时数列an的前n项和Sn = n(n-1)+2n-2 .22例3 （高考全国口文 21）设

14、an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1 =匕=1 , a3 +bs =21, a5*b3=13（i）求an , bn的通项公式；an（口）求数列n b的刖n项和Sn bn,. .1 2d q4解：（i）设an的公差为d , bn的公比为q ,则依题意有40且4q1 4d q =13,解彳Id =2, q =2 .所以 an =1+(n1)d =2n_1 ,（口）包 2n -1bn2nl2n-3 2n-15 .2Sn =2 3 2 |2nN2n -32n -3,三2n -1+2n -2一一22 .2一得 Sn = 2 . 2 .二 HI . F2222n2n -1二2 2 1 1止

15、2n -12nl1-X=2 2 一吧12nl1 -2c 2n 3= 6-2n-三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）2x1 -x -例4设函数f(x)产的图象上有两点y。、Px4 y2),右OP = (OR +OP2)，且点P2x , 22的横坐标为(I)1 .2求证:P点的纵坐标为定值，并求出这个定值;一 123.n.*,、(II)右 Sn = f (一)+ f () + f ()+ f (一),nN ,求 Sn；11（I） OP = （0Pl +OP2），且点 p 的横坐标为一.22：P是PP2的中点，且X1X2=12X1 _2X22X12 2X2

16、： 22X1 2X22 2X2 2X122X22_4_j_2 2x2 2X1 =14 2 2X2 2X1yp”由（i）知,x+X2=1 f（X1）+f 乂尸上且“尸2-尤又 Sn = f1)In JJ2 )+ f 一In ).Jn -1 +tN + f Sn = fn n -1 f n . nnn *+ fIn J，, ”, (1) + (2)得:2sn=f 1 f 1 f ” f 2f nZ2 n . nn .=2f 11 1 HI 1=n 3 -2,2snn 3-222四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.裂项法的实质是将数

17、列中的每项（通项）分解，然后.通项分解（裂项）如：(1)an111=-n(n 1) n n 1(2)an_ 2(2n)(2n -1)(2n 1)11=1(2 2n -12n 1(3)an1n(n -1)(n - 2)11等。(n 1)(n - 2)例5求数列,，的前n项和.-n n 1解：设 an = _n + 1 _ Jn（裂项）,n 、n 1111则 Sn = 一一 + _ +，+（裂项求和）1,223. n 、n 1=（.2 一，1） （.3 一2）（. n 1 一 n）=n 1 -1，一、，.,一、. . . ._. V，一.一 ，.,例6（局考湖北）已知二次函数 y = f（x）的图

18、像经过坐标原点，其导函数为f（X）=6X 2,数歹|Jan的前n项和为Sn,点（n,Sn）（nw N*）均在函数y=f（x）的图像上。（i）求数列an的通项公式；一 1 一 一一 m（U）设bn =, Tn是数列bn的前n项和，求使得T” 对所有n= N都成立的最小正整anan120数m；解：(I)设这二次函数 f(x) = ax2+bx (a w 0),则 f(x)=2ax+b, 由于 f(x)=6x - 2,得a=3 , b= 2,所以 f(x) =3x2 2x.又因为点(n,Sn)(nw N*)均在函数y = f (x)的图像上，所以Sn =3n22n.当 n)2 时，an = $S1=

19、 ( 3n2 2n) 3 n -1)2 -2(n -1)=6n - 5.当 n=1 时，ai = S=3x 122= 6X1 5,所以，a=6n5 (nWN*)33111、(U )由(I )信知 bn = = rh =(-),anan1(6n -5)6(n -1) -51 2 6n - 5 6n 1n故 Tn= bii 1-) 16n 1(1-6n 1因此，要使 1 (1 1一)-m (nw N“)成立的m,必须且仅须满足 2 6n 120足要求的最小正整数 m为10.1 m0 220评析:一般地，若数列a为等差数列，且公差不为0,首项也不为 0,则求和:n 11 一首先考y aiai 1ai ai 1ai 1ai ai 1(-)aan 1a1an1。下列求和：也可用裂项求和法。.ai ai 1五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可 分为几个等差、等比或常见的数列，然后分