波函数与波动方程

1、 波函数与波动方程波函数与波动方程 . 物质粒子的波动性物质粒子的波动性 A. 德布罗意假设（德布罗意假设（de Broglie 1923年）年） 他提出：他提出：具有一定动量的粒子与一定波长的波相具有一定动量的粒子与一定波长的波相联系，联系， 称为德布罗意关系。称为德布罗意关系。 当然，能量与频率关系仍为当然，能量与频率关系仍为 Ph kp 2k （称为Einstein关系） 这两个关系，把粒子的动力学变量与波的这两个关系，把粒子的动力学变量与波的特征量联系起来。也就是说，特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能对一个具有确定能量和动量的自由粒子，对应一个有确定的频率和量和动量的自由粒子，

2、对应一个有确定的频率和波长（波数）及一定的传播方向波长（波数）及一定的传播方向 的的平面波平面波 ，pp)(tiAerk)(EtiAerppk E hE 把把具有一定动量的自由粒子所联系的平面具有一定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波）。波称为德布罗意波（物质波）。 物质微粒的波长物质微粒的波长 电子波长电子波长 通常物质微粒不显示出波动性，而电子在通常物质微粒不显示出波动性，而电子在通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。 ， 10101 B. 物质粒子波动性的实验证据物质粒子波动性的实验证据 1. 戴维逊、革末实验戴维逊、革末实验

3、（Davisson andGermer, P.R. 30(27) 707） 当可变电子束（当可变电子束（ ）照射到抛光的）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度镍单晶上，发现在某角度 方向有强的反射（即方向有强的反射（即有较多电子被接收），而有较多电子被接收），而 满足满足eV60030 它证明了，电子入射到晶体表面，发生干涉散射，它证明了，电子入射到晶体表面，发生干涉散射， 具有波动性具有波动性，而相应波长为，而相应波长为这现象无法用粒子的图象来解释。这现象无法用粒子的图象来解释。nasinnh P Ph 2. 实验实验（1927 年）年） 电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍电子通过单晶粉末

4、，出现衍射图象，这一衍射图象反映了电子的波动性射图象反映了电子的波动性。正。正象象 射线照到射线照到单晶粉末压成的金箔单晶粉末压成的金箔上上，满足，满足 一样，一样，电子入射满足电子入射满足 而产生圆形衍射环而产生圆形衍射环 。 x nsind2Phnsind2 这一特点，不仅电子有，后来热中子试验也这一特点，不仅电子有，后来热中子试验也有，即物质粒子还有波动性。当然，经典物理学有，即物质粒子还有波动性。当然，经典物理学是无法解释的。是无法解释的。中子在Na单晶体上的衍射 . 波粒两象性波粒两象性： 既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属

5、性呢？么，如何理解这两属性呢？ A.A.波粒两象性波粒两象性 具有确定动量的自由粒子被一平面波具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述所描述 hEkp)()(EtitiAAerprk将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的在经典物理学中看来是不可能的 B. 物理量取值不一定是连续的物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值辐射体辐射的能量取值 氢原子的能量氢原子的能量 nhE , 2 , 1 , 0n 0202n4na2eEcm10529. 0em4a82e200 想像一个实验事实：想像一个实验事实： a每次接收到的是一个电

6、子，即电子确每次接收到的是一个电子，即电子确 是以一个整体出现；是以一个整体出现； b. 电子数的强度电子数的强度 ，但但 ； 21P,P1221PPP c电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多 一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。因此，我们可得到下面的结论：因此，我们可得到下面的结论： a . 不能认为，波是电子将自己以以一定密不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也子），也不是大量电子分布形成的（稀

7、疏时，也有同样的现象）；有同样的现象）； b b . . 不能想像，电子通过不能想像，电子通过 时，能像经典电时，能像经典电子（有轨道）那样来描述，因子（有轨道）那样来描述，因 2 , 11221PPP c . 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。 总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间分布）。分布）。 这种干涉现象在经典中有类似现象，如水这种干涉现象在经典中有类

8、似现象，如水波通过二个缝后，在接收器上的强度分布波通过二个缝后，在接收器上的强度分布 为为 ， ， ， 但但 。1221III1I2I12I 电子的干涉现象与这完全相似，但两者的电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到的电子多少。的电子多少。 这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也 可用可用 函数来描述（它们一般应是复函数）。函数来描述（它们一般应是复函数）。 ， （ ）21, 211P 222P )(P2*1*21222122112 1212PP2 PP cos21 称为波函数（

9、描述粒子波动性的函数称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数），也就是说，接收称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子器上某位置电子数的多少，将由波函数的模的平方数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。来表征。 空间若有两个波，粒子数多少则应由波函数空间若有两个波，粒子数多少则应由波函数 的模的平方来描述。的模的平方来描述。 但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答，但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间；也没有回答，空间电子稀疏时电子稀疏时，但时间足够长后，但时间足够长后，干涉花纹照样干涉花纹照样出现。出现。 21, 2 21

10、 . 波函数的玻恩（波函数的玻恩（Max Born,1926年年）几率诠释几率诠释几率波几率波 Max Born真正将量子粒子的微粒性和波动真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来。性统一起来。 如电子用一波函数如电子用一波函数 来描述，则来描述，则 从上面分析可以看到，在从上面分析可以看到，在 范围范围 内，接收到电子多少是与内，接收到电子多少是与 的大小的大小有关；有关； 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上接收到的电子几乎是接收到的电子几乎是“杂乱无章杂乱无章”的，但当时间的，但当时间足足 )x( dxxxdx)x(dx)x(P2 够长时，接收到的电子数

11、分布为够长时，接收到的电子数分布为 。 这表明，电子出现在接收器上的各个位置是这表明，电子出现在接收器上的各个位置是具有一定的几率的。当足够多的电子被接收后。具有一定的几率的。当足够多的电子被接收后。在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，即几率波）。即几率波）。 是电子出现在是电子出现在x x附近的几率密度附近的几率密度（如（如 ）。）。 电子通过双缝的描述，尽管类似水波那样用电子通过双缝的描述，尽管类似水波那样用一波函数来描述一波函数来描述 。但本质是不同的。但本

12、质是不同的。 2)x()x(P 1dx)x(P2)x()x(P 是描述或刻划一个电子的几率振幅是描述或刻划一个电子的几率振幅。 玻恩几率解释：玻恩几率解释：如果在时刻如果在时刻 ，对以波函数，对以波函数 描述的粒子进行位置测量，测得的结果可描述的粒子进行位置测量，测得的结果可以是不同的；而在一小区域以是不同的；而在一小区域 中发现该中发现该粒子的几粒子的几 率为率为 （ ）。 注意两点：注意两点： 不是对物理量的波动描述。它有意义不是对物理量的波动描述。它有意义的是，在体积元的是，在体积元 中发现粒子的几率为中发现粒子的几率为 ，所以它不代表物理实体，仅是一几，所以它不代表物理实体，仅是一几率

13、波；率波；),( trt),( trrrrdrrrrdtdtP2),(),(1rd) t , r (P) t , r ( rrdt2),(rrrd 粒子是由波函数粒子是由波函数 来描述，但波函来描述，但波函数并不能告诉你，数并不能告诉你， 时刻测量时，粒子在什么位时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位置可能在置。粒子位置可能在 ，可能在，可能在 ，而，而在在 中发现粒子的几率为中发现粒子的几率为 。也就是说，也就是说， 在某在某 处越大，则在处越大，则在 时刻时刻测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的们讲的是能

14、预言到什么，但我们不能说出测量的结果）。结果）。 ) t , x( 0t1x,x2dxxx11dx)t ,x(201 20)t , x( x0t 我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于系去测量发现粒子可能就处于 ，只测得一个，只测得一个值。值。 但可想像有很多很多同样的体系，对体系但可想像有很多很多同样的体系，对体系进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现 dxxxn111次dxxxn222次dxxxnmmm次1x 当对足够多的同样的体系进行测量后，即当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大

15、量的完全相同的体系中，同时测量，那发在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发现粒子在现粒子在 处的几率处的几率 体系的波函数体系的波函数 给出了体系所有信息给出了体系所有信息（可能范围内的），它给出体系一个完全的描述（可能范围内的），它给出体系一个完全的描述dx) t ,x(nn2immi ),( trdxxxii例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值和测得该能量值的几率等等。正得那些能量值和测得该能量值的几率等等。正因为如此，我们可以说波函数描述了体系所处的因为如此，我们可以说波函数描述了体系所处的量子状态，或称状态。以量子状态，或称状态

16、。以 描述体系，就称描述体系，就称体系处于体系处于 态，或称态，或称 为体系的态函数。为体系的态函数。),(tr),(tr),(tr 2.3 . 波函数的性质，态叠加原理波函数的性质，态叠加原理 既然体系状态的波函数既然体系状态的波函数 给出了体系有给出了体系有可能得到的信息，那么它有什么共同性质呢？可能得到的信息，那么它有什么共同性质呢？ （1）波函数的性质）波函数的性质 A. 归一化条件：归一化条件： 为为 时刻，发现粒子在时刻，发现粒子在 中中的几率。但测量时，总是要发现粒子的。所以，的几率。但测量时，总是要发现粒子的。所以，在整个空间中，发现粒子的几率之和应为在整个空间中，发现粒子的几

17、率之和应为 。rd2trdrr1),(tr因此，一个真正的实在的波函数，应该有因此，一个真正的实在的波函数，应该有 若波函数满足上述条件，则称该波函数已若波函数满足上述条件，则称该波函数已归一化。归一化。 应该注意，只有当波函数归一化后，才能应该注意，只有当波函数归一化后，才能说说 是几率。否则在区域是几率。否则在区域 中，中，发现粒子的几率为发现粒子的几率为 1),(2rdtrrdtr2),( rdrr若若 则归一化的波函数为则归一化的波函数为 （可差一相因子可差一相因子 ， 为实数为实数） 这时这时 才代表在才代表在 区域中区域中发现粒子的几率。发现粒子的几率。 22),(Adtrr ),

18、(1),(trAtr ie rdtr2),( ), (),(22rdtrrdtrrdrr 为了处理问题方便，如平面波为了处理问题方便，如平面波 等不能归一化的波函数也时常被利用。等不能归一化的波函数也时常被利用。事实上，这也是一大类波函数（本征值连续所相事实上，这也是一大类波函数（本征值连续所相应的波函数），我们将在以后讨论。应的波函数），我们将在以后讨论。 B波函数的自然条件：波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单值。一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 连续连续：由于：由于 为粒子处于为粒子处于 中的中的几率解释。所以几率解释。所以在在 和和 处几率处几率rrdt2),(

19、rrrd00r00r)(tierk)(ar当然应该相等。因此，在任何条件下当然应该相等。因此，在任何条件下 应连应连续；续； 有界：有界：我们讲有界是指我们讲有界是指 有界，有界，即使是在某些孤立奇点（对于即使是在某些孤立奇点（对于 ）也可能不）也可能不违违背波函数这一性质。只要在包含它的小区域中背波函数这一性质。只要在包含它的小区域中的几率有界，实际上就是的几率有界，实际上就是波函数平方可积波函数平方可积。 例如：例如： ， rrdt2),(),( tr 0r ),( tr 那只要在小区域（那只要在小区域（ 附近）附近） 有界即可。有界即可。所以要求所以要求 不快于不快于 ，即，即 时，时，若若 的渐近形式为的渐近形式为 ，则要求，则要求 。 对于一维对于一维 , 。当。当 ， 有界有界 对于二维对于二维 , , 。 当当 ， 有有界界 ;0r 2r034r(r,t)3 0r) t